物理/平面と空間,ベクトル
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8.1 平面と空間のベクトル
目次 |
平面と空間,ベクトル
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。
集合と論理の導入部については
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
(数理的)論理
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。
ここで、命題(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。
命題論理
述語論理
集合について
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、
集合の素朴な定義と集合の表記法、
集合Ａの補集合 UNIQ196e71c633db821e-MathJax-320-QINU、
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,
ＡとＢが等しい Ａ＝Ｂ， ＡはＢの部分集合 UNIQ196e71c633db821e-MathJax-321-QINUあるいはUNIQ196e71c633db821e-MathJax-322-QINU、
AはＢの真の部分集合 UNIQ196e71c633db821e-MathJax-323-QINU
および、
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合UNIQ196e71c633db821e-MathJax-324-QINU、共通集合UNIQ196e71c633db821e-MathJax-325-QINU、差集合UNIQ196e71c633db821e-MathJax-326-QINU、対称差集合UNIQ196e71c633db821e-MathJax-327-QINU、直積UNIQ196e71c633db821e-MathJax-328-QINU）
などについて、以下の記事で学習してほしい。
平面と空間
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。
ベクトルの和と実数倍
平面や空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。
これを直線UNIQ196e71c633db821e-MathJax-329-QINUという。
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分UNIQ196e71c633db821e-MathJax-330-QINUという。
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分UNIQ196e71c633db821e-MathJax-331-QINUという。
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと
ベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-332-QINUが得られる。
このベクトルを空間ベクトルとも呼ぶ。
今後、ベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-333-QINU等は、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-334-QINU、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-335-QINUというように略記する。
ベクトルの定義や和や実数倍については
２章力学の「有向線分からベクトルへ」を参照のこと。
また、ベクトルについては次の文献にもくわしい解説がある。
内積とノルム
内積とノルムは物理学で良く使われる。
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。
以下では、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-336-QINUは、すべて同じ次元（２か３）の（空間）ベクトルとし、 UNIQ196e71c633db821e-MathJax-337-QINUは実数とする。
2-ノルムと内積の定義
実ベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-338-QINUの2-ノルム（あるいはユークリッドノルム）とは、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-339-QINUのことで、
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。
ここで、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-340-QINUは,UNIQ196e71c633db821e-MathJax-341-QINUの第UNIQ196e71c633db821e-MathJax-342-QINU座標成分を表す。ちなみに第１成分はx座標成分、第2成分はy座標成分、第３成分はｚ座標成分である。
実ベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-343-QINUの内積とは
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-344-QINU
ここで、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-345-QINUは、ベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-346-QINUのなす角(UNIQ196e71c633db821e-MathJax-347-QINU )である。
この定義から、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-348-QINU
であることが分かる。
以後、単にノルム、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-349-QINU とかけば、２－ノルムであるとする。
内積とノルムの性質
命題１
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-350-QINU
証明；内積の定義から明らか。
命題２
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-351-QINU
ここでUNIQ196e71c633db821e-MathJax-352-QINUは,それぞれのベクトルのx座標成分を表す。
同様に、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-353-QINUはそれぞれのベクトルのy座標成分<を表す。br/>
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。
証明
三角形の余弦定理を利用する。
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれUNIQ196e71c633db821e-MathJax-354-QINUとし、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-355-QINUとする。
すると、余弦定理により
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-356-QINU
命題２の証明
ベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-357-QINUとUNIQ196e71c633db821e-MathJax-358-QINUを、
始点が点UNIQ196e71c633db821e-MathJax-359-QINUである有向線分で表現し、その終点をUNIQ196e71c633db821e-MathJax-360-QINU,UNIQ196e71c633db821e-MathJax-361-QINUで表す。
するとUNIQ196e71c633db821e-MathJax-362-QINU, UNIQ196e71c633db821e-MathJax-363-QINUである。
ベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-364-QINUを導入すると、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-365-QINU
３角形UNIQ196e71c633db821e-MathJax-366-QINUを考え、第２余弦定理を適用しよう。
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-367-QINUとおく。すると、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-368-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-369-QINUが得られる。
この式を変形してUNIQ196e71c633db821e-MathJax-370-QINUだけを左辺に置くと、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-371-QINU 。
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-372-QINUなので、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-373-QINU
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-374-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-375-QINU
命題２の証明終わり。
命題３
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-376-QINU
証明
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。
系； UNIQ196e71c633db821e-MathJax-377-QINU
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。
命題４
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-378-QINU
が成り立つ。
証明
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。
命題５（シュワルツの不等式）
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-379-QINU
証明；UNIQ196e71c633db821e-MathJax-380-QINUなので内積の定義から、ただちに分かる。
命題６ ノルムの三角不等式
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-381-QINU
証明
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-382-QINU
命題３を使って計算すると、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-383-QINU
命題５より、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-384-QINU
故にUNIQ196e71c633db821e-MathJax-385-QINU
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。
ベクトル積
本節での全ての命題で、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-386-QINUは3次元ベクトル
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-387-QINUを実数とする。
定義
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-388-QINUは3次元ベクトルとする。
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）UNIQ196e71c633db821e-MathJax-389-QINUとは、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-390-QINUが平行の時は、零ベクトル、
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが UNIQ196e71c633db821e-MathJax-391-QINUと UNIQ196e71c633db821e-MathJax-392-QINUの作る平行四辺形の面積と等しいベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-393-QINUで、
向きは、3つのベクトル<<UNIQ196e71c633db821e-MathJax-394-QINU>> が右手系をなす向きであるものをいう。
（注）<<UNIQ196e71c633db821e-MathJax-395-QINU>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-396-QINUこれら３つのベクトルの集合UNIQ196e71c633db821e-MathJax-397-QINUとは異なる。
命題７
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-398-QINU を, UNIQ196e71c633db821e-MathJax-399-QINUと垂直な成分UNIQ196e71c633db821e-MathJax-400-QINU と,平行な成分UNIQ196e71c633db821e-MathJax-401-QINU の和に分解するとき、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-402-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-403-QINU
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。
命題８
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-404-QINU
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。
ベクトル積の定義から、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-405-QINU が示せた。
命題９
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-406-QINU
証明；実数UNIQ196e71c633db821e-MathJax-407-QINU が正、零、負の場合に分けて考える。
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。
命題１０
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-408-QINU
証明；
この証明には少し工夫が必要である。
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。
① UNIQ196e71c633db821e-MathJax-409-QINU とUNIQ196e71c633db821e-MathJax-410-QINU が直交する場合。図参照のこと
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点UNIQ196e71c633db821e-MathJax-411-QINU を始点とする有向線分で代表させる。
・UNIQ196e71c633db821e-MathJax-412-QINU と直交しUNIQ196e71c633db821e-MathJax-413-QINU を通る平面をUNIQ196e71c633db821e-MathJax-414-QINUとする。
・仮定よりUNIQ196e71c633db821e-MathJax-415-QINUは、ともに平面UNIQ196e71c633db821e-MathJax-416-QINU上のベクトルである。
・UNIQ196e71c633db821e-MathJax-417-QINUも、
ベクトル積の定義により、共にUNIQ196e71c633db821e-MathJax-418-QINU と直交するので、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-419-QINU上のベクトルである。
これら四つのベクトルはすべて平面UNIQ196e71c633db821e-MathJax-420-QINU上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。
ⅰ）UNIQ196e71c633db821e-MathJax-421-QINU の張る平行四辺形は,
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-422-QINUの張る平行四辺形を、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-423-QINU倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。
・UNIQ196e71c633db821e-MathJax-424-QINUは、ベクトル積の定義から、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-425-QINU と直交する。
そのため、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-426-QINU を平面UNIQ196e71c633db821e-MathJax-427-QINU上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。
・UNIQ196e71c633db821e-MathJax-428-QINUも、同様に考え、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-429-QINU を平面UNIQ196e71c633db821e-MathJax-430-QINU上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。
・UNIQ196e71c633db821e-MathJax-431-QINU の大きさは、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-432-QINU なので、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-433-QINU の大きさのUNIQ196e71c633db821e-MathJax-434-QINU倍になる。
同様に、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-435-QINU の大きさは、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-436-QINU の大きさのUNIQ196e71c633db821e-MathJax-437-QINU倍になる。
・以上の結果より、所望の結果は示された。
ⅱ）UNIQ196e71c633db821e-MathJax-438-QINUを示そう。
・ ⅰ)と同じ議論により、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-439-QINUはUNIQ196e71c633db821e-MathJax-440-QINUの張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-441-QINU倍させたものであることが分かる。
・すると、ⅰ)で示したことから、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-442-QINUは
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-443-QINU の張る平行四辺形の対角線UNIQ196e71c633db821e-MathJax-444-QINU に等しいことが分かる。
・以上で①が示せた。
② 一般の場合。
命題1より、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-445-QINU をUNIQ196e71c633db821e-MathJax-446-QINUと垂直な成分を表すとすると、 UNIQ196e71c633db821e-MathJax-447-QINU(1)
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-448-QINUなので、(1)式は、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-449-QINU
①より、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-450-QINU UNIQ196e71c633db821e-MathJax-451-QINU 命題４の証明終わり。
命題１０の系
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-452-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-453-QINU
証明；
命題８より、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-454-QINU 命題９から
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-455-QINU
命題４より、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-456-QINU
再び命題８より、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-457-QINU前半の証明終わり
命題８より、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-458-QINU
再び命題８より、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-459-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-460-QINU証明終わり。
命題１１
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-461-QINU を
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、右手系をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。
この時、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-462-QINU
証明；ベクトル積とUNIQ196e71c633db821e-MathJax-463-QINU の定義から明らかである。
命題１２
ベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-464-QINUを,命題５で用いた基底UNIQ196e71c633db821e-MathJax-465-QINUで決まる座標を用いて
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-466-QINU と表示しておく。
するとUNIQ196e71c633db821e-MathJax-467-QINU
証明；UNIQ196e71c633db821e-MathJax-468-QINU,
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-469-QINUと表せるので、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-470-QINU
命題３の系から
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-471-QINU UNIQ196e71c633db821e-MathJax-472-QINU (1)
式(1)の第１項
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-473-QINU
に
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-474-QINU
を代入して、命題３の系を使って変形すると、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-475-QINU UNIQ196e71c633db821e-MathJax-476-QINU (2)
命題１０と命題１１を使うと、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-477-QINU 。
同様の計算を行うと、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-478-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-479-QINU
式(2)にこれらを代入して、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-480-QINU UNIQ196e71c633db821e-MathJax-481-QINU (3)
式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-482-QINU UNIQ196e71c633db821e-MathJax-483-QINU (4)
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-484-QINU UNIQ196e71c633db821e-MathJax-485-QINU (5)
式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-486-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-487-QINU
命題１２の証明終わり。
命題１３
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-488-QINU
証明
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-489-QINUを証明しよう。
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。
右手系をなす一つの直交座標系を決める。
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-490-QINU とする。
命題１２から、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-491-QINU
内積の定義から
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-492-QINU
これを整頓すると
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-493-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-494-QINUも、これと同じように計算すると同じ式になる。
命題１３の証明終わり。
定義
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-495-QINU を３つのベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-496-QINU の行列式(determinant)という。
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。
命題１3の系１
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-497-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-498-QINU
命題１3の系２
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-499-QINU とする。
この時、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-500-QINU の行列式は
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-501-QINU
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。
命題１3の系３
行列式UNIQ196e71c633db821e-MathJax-502-QINU は、３つのベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-503-QINUの双線形関数である。すなわち
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-504-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-505-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-506-QINU
ここで、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-507-QINU は任意の実数、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-508-QINUは任意の３次元ベクトルである。
命題１４
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-509-QINU
証明
ベクトル積の定義を用いると、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-510-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-511-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-512-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-513-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-514-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-515-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-516-QINU
証明終わり
（注) この公式の覚え方。
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-517-QINU は UNIQ196e71c633db821e-MathJax-518-QINU、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-519-QINUの両方に直交、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-520-QINU は UNIQ196e71c633db821e-MathJax-521-QINU と直交。
これから、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-522-QINU は UNIQ196e71c633db821e-MathJax-523-QINU と UNIQ196e71c633db821e-MathJax-524-QINUが張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-525-QINU
各項の符号は、
命題１４の系１
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-526-QINU
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-527-QINU
証明
命題８から
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-528-QINU
この右辺に命題１４を適用すると、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-529-QINU
証明終わり
命題１４の系２
１）UNIQ196e71c633db821e-MathJax-530-QINU
２）UNIQ196e71c633db821e-MathJax-531-QINU
証明
１） UNIQ196e71c633db821e-MathJax-532-QINU とおくと、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-533-QINU
命題１４から
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-534-QINU
行列式の定義から、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-535-QINU
故に、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-536-QINU
２）は、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-537-QINU とおくと,
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。
命題１４の系３
１）UNIQ196e71c633db821e-MathJax-538-QINU
２）UNIQ196e71c633db821e-MathJax-539-QINU
証明
１） UNIQ196e71c633db821e-MathJax-540-QINU とおくと、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-541-QINU
行列式の性質から、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-542-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-543-QINU の定義式を代入して
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-544-QINU
命題１４の系１を適用して、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-545-QINU
内積の性質から
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-546-QINU
１）が示せた。
２）も、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-547-QINU とおけば、同様にして証明できる。
我々の住む空間の数学的モデル（１）
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。
詳しくは次節で説明する。
（１）私たちの住む（宇宙)空間UNIQ196e71c633db821e-MathJax-548-QINUを無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。
①この空間のどのような2点UNIQ196e71c633db821e-MathJax-549-QINUをとっても、
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。
直線UNIQ196e71c633db821e-MathJax-550-QINUと書く。
２点UNIQ196e71c633db821e-MathJax-551-QINUは、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、
正しいと認めた命題のこと。
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、
その性質が正確に規定される。無定義語という。
②直線UNIQ196e71c633db821e-MathJax-552-QINUは空間全体を覆わないので、直線外の空間の点UNIQ196e71c633db821e-MathJax-553-QINUをとれる。
３点UNIQ196e71c633db821e-MathJax-554-QINUを通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。
これを平面UNIQ196e71c633db821e-MathJax-555-QINUと書こう。
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間UNIQ196e71c633db821e-MathJax-556-QINUの性質）。
直線UNIQ196e71c633db821e-MathJax-557-QINUと直線UNIQ196e71c633db821e-MathJax-558-QINUは、平面UNIQ196e71c633db821e-MathJax-559-QINU上の直線であり、角度UNIQ196e71c633db821e-MathJax-560-QINUがきまる。
③空間の中の異なる２直線UNIQ196e71c633db821e-MathJax-561-QINUとUNIQ196e71c633db821e-MathJax-562-QINUの間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。
ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。
ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。
ⅲ）同一平面上にない。
平行な２直線は、同じ方向であるという。
④平面UNIQ196e71c633db821e-MathJax-563-QINUも空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点UNIQ196e71c633db821e-MathJax-564-QINUが存在する。
⑤空間の２点UNIQ196e71c633db821e-MathJax-565-QINUを結ぶ線分UNIQ196e71c633db821e-MathJax-566-QINU(直線UNIQ196e71c633db821e-MathJax-567-QINUの、点ＰとＱの間の部分)に
PからＱに向けた向きを付けた有向線分UNIQ196e71c633db821e-MathJax-568-QINUを考える。
これはＰ点からみたＱ点の位置を、
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。
Ｑ点が、Ｐ点から見て、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-569-QINUの方向・向きおよび距離の点であることを
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-570-QINUと表す。
次にＱ点からUNIQ196e71c633db821e-MathJax-571-QINUの方向・向きおよび距離にある点UNIQ196e71c633db821e-MathJax-572-QINUを考える
。
点Ｒは元の点ＰからUNIQ196e71c633db821e-MathJax-573-QINUの方向・向きおよび距離の位置にある。
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-574-QINUで、２つの有向線分の和を定義すると
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-575-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-576-QINUそこでUNIQ196e71c633db821e-MathJax-577-QINUと決めておけば
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-578-QINU
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-579-QINU
と記す。するとUNIQ196e71c633db821e-MathJax-580-QINU
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-581-QINUとUNIQ196e71c633db821e-MathJax-582-QINUはどのような関係にあるだろうか。
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-583-QINUの任意の要素UNIQ196e71c633db821e-MathJax-584-QINUと
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。
異なる３点UNIQ196e71c633db821e-MathJax-585-QINUを通る平面は常に唯一つ存在する。
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、
平行四辺形UNIQ196e71c633db821e-MathJax-586-QINUを作ることが出来る。
するとUNIQ196e71c633db821e-MathJax-587-QINUであり、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-588-QINUはUNIQ196e71c633db821e-MathJax-589-QINUと方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-590-QINUと書く。
すると経験上、空間UNIQ196e71c633db821e-MathJax-591-QINUはつぎの性質を持つことが分かっている。
空間UNIQ196e71c633db821e-MathJax-592-QINUの公理；
空間UNIQ196e71c633db821e-MathJax-593-QINUの任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-594-QINUの任意の要素には、
それとUNIQ196e71c633db821e-MathJax-595-QINUの関係にある、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-596-QINUの要素が一つ対応する。
逆に
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-597-QINUの任意の要素には、
それとUNIQ196e71c633db821e-MathJax-598-QINUの関係にある、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-599-QINUの要素が一つ対応する。
そこで、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-600-QINU関係のある有向線分を、おなじものと考えると
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-601-QINUとUNIQ196e71c633db821e-MathJax-602-QINUは同じ集合になる。
すなわちUNIQ196e71c633db821e-MathJax-603-QINU関係のある有向線分を、おなじものと考えると
どの点から空間を見た時も、
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、
皆同じである。
定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。
記号で書くと、
有向線分UNIQ196e71c633db821e-MathJax-604-QINU 有向線分UNIQ196e71c633db821e-MathJax-605-QINU
<==>
ベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-606-QINU ベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-607-QINU
今後はUNIQ196e71c633db821e-MathJax-608-QINUを有向線分とみなすときは、有向線分UNIQ196e71c633db821e-MathJax-609-QINU と書き、
ベクトルとみなす時は単にUNIQ196e71c633db821e-MathJax-610-QINUと書いて区別する。
空間の性質から、ベクトルの集合とみたUNIQ196e71c633db821e-MathJax-611-QINUは皆等しくなる。
これをベクトル集合UNIQ196e71c633db821e-MathJax-612-QINUで表す。
⑦空間の性質１
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-613-QINUの２つのベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-614-QINUを、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-615-QINUと表現すると、
ベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-616-QINUの和は
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-617-QINUで定義する。
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。
和の交換則と結合則が成り立つ。
ベクトルの実数倍も定義出来る。
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-618-QINUは線形空間(ベクトル空間ともいう）になる。
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。
⑧ 線形空間UNIQ196e71c633db821e-MathJax-619-QINUは３次元空間
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように
Ｐを通る平面UNIQ196e71c633db821e-MathJax-620-QINUが存在する。
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線UNIQ196e71c633db821e-MathJax-621-QINUとUNIQ196e71c633db821e-MathJax-622-QINUが存在する。
そこで２つのベクトルUNIQ196e71c633db821e-MathJax-623-QINUとUNIQ196e71c633db821e-MathJax-624-QINUを考える。
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離UNIQ196e71c633db821e-MathJax-625-QINUは、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-626-QINUとUNIQ196e71c633db821e-MathJax-627-QINUの線形結合UNIQ196e71c633db821e-MathJax-628-QINU
で表せる。ここで、UNIQ196e71c633db821e-MathJax-629-QINUは、適当な実数である。
逆に、任意の線形結合UNIQ196e71c633db821e-MathJax-630-QINUに対し、
平面上に点Ｒが定まり、
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-631-QINU
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。
空間は、平面UNIQ196e71c633db821e-MathJax-632-QINUで覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-633-QINUは線形結合UNIQ196e71c633db821e-MathJax-634-QINUでは表せない。
我々の住む空間の公理２
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-635-QINUは実数UNIQ196e71c633db821e-MathJax-636-QINU
空間UNIQ196e71c633db821e-MathJax-637-QINUを点をすべて記述するには
３つの独立なベクトルを用いなければならないので
UNIQ196e71c633db821e-MathJax-638-QINUは３次元空間とも呼ばれる。
⑩３次元空間の座標と座標表示
この空間には座標系を考えるができる。
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。
ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。
