輸送問題

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製品を２つの工場A1,A2で製造し3社B1,B2,B3に納入している企業がある．これら3社からの注文は表2-1の通りである.この注文に応じるため表2-2のように工場A1,A2で製品を製造する.　製造した製品を工場A1,A2からそれぞれB1,B2,B3に輸送する際の１単位当たりのコストは表2-3の通りである. 3社B1,B2,B3からの注文を充足し,かつ,輸送コストを最小にするには, 工場A1,A2から3社B1,B2,B3への輸送数をどのように配分すれば良いか.

表2-1(注文数)

B1	65
B2	45
B3	50

表2-2(注文数)

A1	70
A2	90

表2-3(輸送コスト)

	B1	B2	B3
A1	5	7	11
A2	10	6	3

工場$A_i$から注文先$B_j$への製品の輸送量を

$x_{i,j}\left(\ i=1,2\ j=1,2,3\right)$ で表すと,

表2-1から工場$A_1,A_2$から注文先$B_1,B_2,B_3$への輸送について制約条件式

$x_{1,1}+x_{2,1}=65 \\　 x_{1,2}+x_{2,2}=45 \\　 x_{1,3}+x_{2,3}=50$

を満たす． また,表2-2から工場$A_1,A_2$の製造量について制約条件式

$x_{1,1}+x_{1,2}+x_{1,3}=70 \\　 x_{2,1}+x_{2,2}+x_{2,3}=90$　

を満たす．さらに製造量は非負であるから

${0\leqq x}_{i,j}　i=1,2;j=1,2,3$

これらの制約条件の下で輸送コストの総和

${5x}_{1,1}+{7x}_{1,2}+11x_{1,3}+{10x}_{2,1}+{6x}_{2,2}+{3x}_{2,3}$

の最小値を求める.この問題も生産計画と同様　線形計画法 に属する.

ファイル:輸送問題.pdfにMicrosoft Excel　のソルバーを用いたこの問題の解法例を示す.　

作成したデータは以下の通りである.

ソルバーのパラメータ　入力は以下の通りである.

ソルバーによる結果は以下の通りである. $x_{1,1}=65,x_{1,2}=5,x_{1,3}=0,x_{2,1}=0,x_{2,2}=40,x_{2,3}=50$

のとき輸送コストの総和 $x_{1,1}+7x_{1,2}+11x_{1,3}+10x_{2,1}+6x_{2,2}+3x_{2,3}$ が最小値750になることを示している.　表2-1,表2-2の制約条件を満たしている.

フリーソフトOpenOfficeの表計算(Calc)　でも同様に解くことができる.

Calcの線形計画法解析ソフトもExcelと同じ名前の「ソルバー」である. メニューの「ツール」の「ソルバー」である. Excelのソルバーと操作法は殆ど同じある.

ベクトルの内積もExcelと同様にsumproductである. 行ベクトルと行ベクトルとの区切りが,ではなく;であることが異なる。 ベクトル(B3,C3,D3) と(B8,C8,D8)の内積　B3*B8+C3*C8+D3*D8　 はsumproduct(B3:D3;B8:D8)で表される. また,

制約条件式　

$0 \leq x_{1,1},0 \leq x_{1,2},0 \leq x_{1,3},0 \leq x_{2,1},0 \leq x_{2,2},0 \leq x_{2,3}$ を入力するためには,ソルバーのメニューのオプションを使う. 変数を負でない　という　選択にチェックを入れる.

以下にデータの入力とソルバーの設定例を示す.