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物理/エネルギーと保存則(その2)
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[[物理]] > [[物理/力学|力学]] > [[物理/エネルギーと保存則(その2)|エネルギーと保存則(その2)]] ==運動量と保存則== ===運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse) === 質点に力$\vec{F}(t)$が作用しているとする。<br/> 運動の第2法則$\vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$ の両辺を<br/> 時間に関して$t_1$から $t_2$まで積分してみよう。ここで$\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)$は質点の運動量。<br/> すると、<br/> $\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)$<br/> となる。<br/> 質点に作用する力を時間で積分した$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$を力積と呼ぶ。<br/> 力積は、運動量の変化に等しい。 *[[wikibooks_ja:高等学校理科 物理II 力と運動|ウィキブックス(高等学校理科 物理Ⅱ)]] の1.1.2 運動量と力積<br/> 質点系の運動量は、質点系の各質点の運動量の和で定義する。<br/> 質点系の場合も、各質点の力積の和(質点系の力積)は質点系の運動量の変化に等しいことが、<br/> 運動の第2法則から導ける。 ===運動量保存則=== 質点の場合、それに作用する外力の総和が零ならば、運動量は保存される(一定である)。<br/> 次のように質点系にも拡張できる。<br/> '''運動量保存則'''( law of conservation of momentum )<br/> 質点系に作用する外力のベクトル和が零ならば、<br/> 内力(質点系内の質点間に働く力)があっても、<br/> 運動量は保存される。<br/> 証明;<br/> 質点系の質点数をN個とする。<br/> 質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、<br/> 質点$m_i$ に作用する外力を$\vec{f_i}$、<br/> $m_i$ に、質点系の他の質点$m_j $から作用する内力を<br/> $\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。<br/> すると、各質点に対して、運動の第2法則により、<br/> $\frac{d\vec{p}_i(t)}{dt}=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $ <br/> 上の式を$i=1 \ldots N$について加え合わせると、<br/> $\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} =\sum_{i}(\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}})$<br/> $=\sum_{i}\vec{f_i}+\sum_{i}\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}}$<br/> 外力のベクトル和が零という仮定から、<br/> $=\sum_{i}\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}}$<br/> $=\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})$<br/> 上式の$\sum_{i<j}$は、すべての異なる$i<j$の組み合わせに関して和をとる意味である。<br/> 作用反作用の法則により、$ \vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$()なので、<br/> $\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})=0$<br/> 故に、<br/> $\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} =0 $ <br/> が得られる。<br/> $\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は時不変であり、保存される事が示された。<br/> *[[wikipedia_ja:運動量保存の法則|ウィキペディア(運動量保存の法則)]]
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