物理/☆☆線形代数
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K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して<br/> | K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して<br/> | ||
内積と呼ぶKの元$(x,y)$ が定まり、次の性質を持つとき、 | 内積と呼ぶKの元$(x,y)$ が定まり、次の性質を持つとき、 | ||
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。<br/><br/> | '''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。<br/><br/> | ||
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定義<br/> | 定義<br/> | ||
| - | + | $S$を非空の集合、$V$をn次元内積空間とする。<br/> | |
| + | $S$と$V$の順序対$(S,V)$が次の３条件を満たすとき、ｎ次元ユークリッド空間という。<br/> | ||
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| + | この$a$を$\overline{(PQ)}$と書く。<br/> | ||
| + | （２）$(\forall P\in S),(\forall a\in V),(\exists_{1} Q \in S)(\overline{(PQ)}=a)$<br/> | ||
| + | （３）$ a=\overline{(PQ)},b=\overline{(QR)} \Rightarrow a+b=\overline{(PR)}$<br/> | ||
| + | (注) ユークリッド空間$(S,V)$は、単にユークリッド空間$S$と略記されることが多い。<br/><br/> | ||
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| + | ユークリッド空間$(S,V)$における$V$を、$S$に付随する計量空間という。<br/> | ||
| + | また$S$の元を点、$V$の元をベクトルという。<br/><br/> | ||
2024年8月23日 (金) 13:03 時点における最新版
目次 |
線形代数
線形空間
線形空間(ベクトル空間)
計量線形空間
定義
Kを実数の集合（実数体）あるいは複素数の集合（複素数体）とする。
K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して
内積と呼ぶKの元$(x,y)$ が定まり、次の性質を持つとき、
計量線形空間(metric linear space)あるいは内積空間(inner product space)という。
（１）$(x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $
$\qquad \ (x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $
$（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$
$（３）\ (x,y) = \overline{(y,x)}$
$（４）\ (x,x) \in {\bf R},\ (x,x)\geq 0, $
$\qquad \ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 $
固有値と固有ベクトル
wikibooks_ja(線型代数学/固有値と固有ベクトル)
ジョルダンの標準形
我々の住む空間の数学的公理化
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。
この空間のなかに
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、
以下ではｎ次元空間で説明する($(n\in \{0\} \cup \bf{N}$)。
参考文献
斎藤正彦 線形代数入門 東京大学出版会
ユークリッド空間
定義
$S$を非空の集合、$V$をn次元内積空間とする。
$S$と$V$の順序対$(S,V)$が次の３条件を満たすとき、ｎ次元ユークリッド空間という。
（１）$S$の任意の2元$P,Q$の作る順序対$(P,Q)$に対して$V$の唯一の元$a$が対応する。
この$a$を$\overline{(PQ)}$と書く。
（２）$(\forall P\in S),(\forall a\in V),(\exists_{1} Q \in S)(\overline{(PQ)}=a)$
（３）$ a=\overline{(PQ)},b=\overline{(QR)} \Rightarrow a+b=\overline{(PR)}$
(注) ユークリッド空間$(S,V)$は、単にユークリッド空間$S$と略記されることが多い。
定義
ユークリッド空間$(S,V)$における$V$を、$S$に付随する計量空間という。
また$S$の元を点、$V$の元をベクトルという。
