物理/運動の法則の応用
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(→回転力 ) |
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→PQx=−y(Δθ)、→PQy=x(Δθ)、→PQz=0<br/> | →PQx=−y(Δθ)、→PQy=x(Δθ)、→PQz=0<br/> | ||
力→F=(Fx,Fy,Fz)が、物体を→PQだけ動かしたので、その仕事は | 力→F=(Fx,Fy,Fz)が、物体を→PQだけ動かしたので、その仕事は | ||
- | Δ W=→F⋅→PQ。この右辺を内積の性質を用いて座標成分で表すと、$F_{x} | + | Δ W=→F⋅→PQ。この右辺を内積の性質を用いて座標成分で表すと、Fx(−y)Δθ+FyxΔθ+Fz0<br/> |
- | $=(xF_{y}-yF_{x}) | + | =(xFy−yFx)Δθ 。<br/> |
ゆえに、力→Fのz軸まわりの回転力はΔW/Δθ=xFy−yFx | ゆえに、力→Fのz軸まわりの回転力はΔW/Δθ=xFy−yFx | ||
2013年5月27日 (月) 06:15時点における版
運動の3法則と力の法則を用いると、分子から銀河まであらゆる物体の運動を求めることが出来きます(その正しさは人工衛星や惑星の運動などで確かめられているが、もっとはるかかなたの天体運動にも正しいというのは仮説である)。 運動の3法則からはエネルギー保存則や運動量保存則などの重要な保存則を導く事が出来る(次章で学ぶ)。
目次[非表示] |
質点の色々な運動
最初に質点とみなせる物体のいくつかの運動を考える。
落体運動
地球上の物体は高いところから落とすと、時間とともに速度を増しながら落下する。
質点の質量をMとすると、そこに作用する重力による力は、真下(地球の重心)の方向に大きさMg。
落下の方向を負にした一次元座標を考え方向まで考慮すると、重力加速度は−g、力は−Mg。
落下の加速度をαと置くと、運動の第2法則よりMα=−Mg.
ゆえに質点の落下加速度αは負の重力加速度−gに等しい。
tで微分して−gとなる関数は−gt+cなので、質点の速度は−gt+cである(cは定数で、初期時刻0における質点の初期速度)。微分して−gt+cとなる関数を求めれば質点の位置x(t)=−12gt2+ct+d(dは定数で初期時刻0での質点の高さ)が得られる。
これはガリレオが得た落体法則と一致する。
参考文献;
放物運動
これもガリレオによって発見されたが、ニュートンの第2法則と万有引力の法則から導ける。
- ウィキブックス(高等学校理科 物理I 運動とエネルギー)の2.4.1 ニュートン方程式
惑星運動
前述のようにケプラーは、火星の観測データをユークリッド幾何学を巧みに利用して分析し次の惑星運動の3法則を発見した。
この3法則は、運動の第2法則と万有引力の法則から導くことが出来るが少し難しい数学が必要なので大学で学ぶ。
惑星の軌道を円運動に限定すると、高校の数学の知識で3法則を導けるので説明する。
等速円運動
等速円運動の速度と加速度
等速円運動の遠心力
円軌道の場合のケプラーの法則の導出
振り子と単振動
- ウィキペディア(単振動)の「振り子」の項を見てください。
質点のつり合い
質点に力F1,,Fnが作用し、質点が静止したまま(あるいは等速直線運動)であるとき、それらの力は釣り合っているという。釣り合いの条件は、F1+ +Fn=0です(運動の第2法則と力の合成則から導出できる)。
仕事とエネルギー
仕事とは何か
物体に力を加えて動かす時、力はこの物体に仕事をするという。
- ウィキペディア(仕事)を参照のこと。
仕事とエネルギーの単位
質点系の運動
2個以上の質点が集まって出来ている系を質点系という。
質点系の運動を考えよう。
質点系の運動と重心
質点系とは、いくつかの質点が集まって作っている系のこと。
系の各質点は離れ離れでも良く、また系の任意の2つの質点間には作用・反作用の法則を満たす力が働いていてもよい。この力を質点系の”内力”という。
質点系の各質点に外部から力(外力という)が加わる時、この質点系はどんな運動をするだろうか。
質点系の各質点の位置を→ri、質量をmiとし、質点mi に作用する外力を→fi、他の質点mjからうける内力を→fijとする(i,j=1…N)。
すると、各質点に対して、運動の第2法則により、d(mi→vi)/dt=→fi+∑j≠i→fij, ここで→vi=d→ri/dt、
i=1…Nについて加え合わせると、→fij+→fji=0なので、
d2dt2∑imi→ri=ddt∑imi→vi=∑i→fi
が得られる。質点系の全質量M=∑imiと質点系に働く全外力→F=∑i→fiを用いて書きなおすと、
Md2dt2(∑imi→ri/M)=→F
質点系の重心→Rを →R=∑imi→ri/M で定義すると、
Md2dt2R=→F
この式は、力→Fをうける質量Mの質点の運動方程式と同じであることに注目してください。
以下の解説も参考にしてください。
剛体の運動とつり合い
剛体
剛体(Rigid body)とは、質点の集まりであって、どの質点の間の距離も変わらない(変形しない)、特殊な質点系のことを言う。固くて変形しにくい物質を理想化した概念である。
剛体の運動
剛体は変形しない質点系なので、その運動は、重心の運動と、重心の周りの回転運動を合成したものになる。
重心の運動は前の節で説明したように、質点の運動と同じように扱える。
重心の周りの回転運動について解析するには、少し難しい数学が必要になる。
- ウィキペディア(剛体の力学)を参照のこと。
このテキストでは、固定軸の周りの回転と釣り合いの条件だけを学ぶ。
一般の回転運動については、大学で学ぶ。
固定軸のまわりの回転運動
剛体が、剛体の中を通る固定軸の周りを回転する運動を考える(他の応用も考え、回転軸は重心を通らなくてもよいように一般化しておく)。
回転運動の表示法
固定軸まわりの剛体の運動はどのように表示したらよいだろうか。
・剛体の位置;固定軸の周りを回転するので、(軸上にない)剛体の一点につけた印は、軸を中心とする円周上を回転する。その回転角を指定すれば剛体の位置(姿勢)が分かる。
議論を簡単にするため、 剛体につけた印から固定軸へ垂線をひき、その足を原点,固定軸をz座標とする3次元座標xyzを考える。
剛体の印はxy平面上の点になるので、x軸から反時計まわりの角度ϕが決まる。
これが剛体の位置を指定する一次元変数である。
ゆえに剛体の固定軸まわりの回転は一次元の運動である。
・このϕの時間変化ϕ=ϕ(t)を明らかにすれば、剛体の回転運動は定まる。
これを時間で微分したdϕ(t)/dtを角速度、
さらにもう一回時間微分したd2ϕ(t)/dt2を角加速度と呼ぶ。
回転力
一次元の直線運動においては、物体に力Fを作用させてxだけ動かせば、力のなした仕事は、W=Fxである。
逆に物体に一定の力を加えxだけ動かす時の仕事Wが分かれば、この力は
F=W/x
で求められる。
固定軸まわりの回転も一次元の運動でその変位は回転角度で表すので、これに倣って、
回転力を、
W/回転した角度
で、定義しよう。
図4.1のように剛体の任意の一点P(x,y,z)を考える。この点に力F=(Fx,Fy,Fz)が作用して、微小角Δθだけ回転したときの仕事ΔWを計算し回転力を求めよう。
P点から回転軸(z軸)に垂線を下ろし、その足をOとする。
→OPの長さをr、x軸となす角をθラジアンと置く。θ=ϕ+定数である。
剛体が微小角Δθ回転して、点Pが図の点Qに移動したとする。
すると角∠OPQはほぼ直角(=π/2)で→PQの長さPQは、PQ=r(Δθ)。
→PQのx成分とy成分は、図4-1中に示したように、それぞれ、−QR=−PQ×y/r、PR=PQ×x/r。
PQ=r(Δθ)を代入すると、
→PQx=−y(Δθ)、→PQy=x(Δθ)、→PQz=0
力→F=(Fx,Fy,Fz)が、物体を→PQだけ動かしたので、その仕事は
Δ W=→F⋅→PQ。この右辺を内積の性質を用いて座標成分で表すと、Fx(−y)Δθ+FyxΔθ+Fz0
=(xFy−yFx)Δθ 。
ゆえに、力→Fのz軸まわりの回転力はΔW/Δθ=xFy−yFx
回転運動の方程式
てこの原理と力のモーメント
てこの原理については、
- ウィキペディア(てこの原理)を参照のこと。
何故てこの原理が成り立つかを考えてみよう。 力のモーメントについては、
- ウィキペディア(力のモーメント)を参照のこと。
なお、これを理解するには、ベクトル積(クロス積)の知識が必要です。
ベクトル積またはクロス積
これを用いると、位置ベクトル→rを作用点とする力→Fの、原点のまわりのモーメント→Nは
→N=→r×→F
ベクトル積の性質
→a,→b,→cを2次元あるいは3次元ベクトルとする。
性質0. →a を, →bと垂直な成分→a⊥ と,平行な成分→a∥ の和に分解するとき、
→a×→c=(→a⊥+→a∥)×→c=→a⊥×→c
性質1.→a×→b=−→b×→a
性質2.(→a+→b)×→c=→a×→c+→b×→c
性質3.(e1,e2,e3) をそれぞれ長さ1で互いに直交し、右手系をなす、ベクトルとする。この時、
e1×e2=e3,e2×e3=e1,e3×e1=e2
性質0の証明;ベクトル積の定義から明らかである。
性質1の証明;ベクトル積の定義から明らかである。
性質2の証明;① →a,→b と→c が直交する場合。
→a×→cは、→aを、→cと垂直な平面H内で90度回転(右ねじを→aから→cへ回した時の進行方向)して、長さをc=|→c|倍したベクトル。→b×→cは、同じ平面H内で→bを、同じ方向に、90度回転して、長さをc=|→c|倍したベクトル。(→a+→b)×→cも、同じ平面内を同じ向きに90度回転し、長さをc=|→c|倍したベクトル。従って→aと→bから作られる平行四辺形と→a×→c と→b×→cからつくられる平行四辺形は相似となり、(→a+→b)×→c=→a×→c+→b×→cが示せる。
② 一般の場合。
性質0より、⊥ を→cと垂直な成分を表すとすると、 (→a+→b)×→c=(→a+→b)⊥×→c(1)
(→a+→b)⊥=→a⊥+→b⊥なので、(1)式は、
=(→a⊥+→b⊥)×→c,①より、
=→a⊥×→c+→b⊥×→c=→a×→c+→b→c 証明終わり。
性質3の証明;ベクトル積と(e1,e2,e3) の定義から、明らかである。
力の作用線と作用線の定理
力の作用線とは、力の作用点を通り、力の方向と重なる直線のこと。
剛体の場合、作用線に沿って力の作用点を移動しても、力の作用は変わらない。何故かは、考えてみましょう。
剛体のつり合い
いくつかの力が作用し、剛体が静止したままであるか、重心が等速直線運動を続け、重心の周りの回転が無い場合に、剛体(に作用している力)は釣り合っているという。