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2015年3月19日 (木) 16:13時点における版

質点の運動の表し方　

高校では主に質点（大きさがなく重さだけがある点状の物体）の運動を学び、　
その法則を明らかにします。

なぜ質点の運動から、学ぶのか

大きさのある物体は、物体の箇所によって位置がことなる。また大きさのある物体は変形する。
このため、その位置を表すのが難しい。
さらに運動も平行移動だけでなく回転などを行い複雑となる。
質点は、大きさのない点なので位置は明確で、その場所を簡単に表示できる。しかも変形も回転もない。
このため、その取り扱いは、大きさのある物体に比べて、格段に、易しくなる。
しかし、重さがあって大きさのない、仮想の物質である質点の運動法則など何の役にも立たないと思う人もいるでしょう。
ところが、応用範囲は結構広いのです。
例えば、地球の公転運動(太陽の周りの回転）は、地球を質点とみなして解析してもほぼ正しい。
さらに、大きさを考慮して解析しなければならない物体の運動も、質点の運動法則を利用して解明できる。
これには高校数学より高度な数学を必要とする。
そこで、大きさのある物体の運動は主に、大学で学ぶ。

質点の運動を数式で表すにはどうするか？

我々が住む世界は、３次元の空間であり、縦、横、高さという3つの方向がある。この空間には距離という概念がある(注参照）。
また時間という時の経過が存在する。
。この世界の物質は運動していて、その場所を時間とともに変える。
１章の４節で紹介したように近代の力学は、
運動を質点の位置の時間変化と考え、
質点の位置や速度を正確に測定し、それらの変化の法則を明らかにして、
数式で正確にあらわすという方法で発展した。
まず、時間と距離の測り方から紹介する。
（注）空間について、もう少し詳しく知りたい方は、
「８章、物理数学」の「平面と空間のベクトル」を御覧ください。

時間と距離の測り方

時間は時計で正確に測れる。
詳しくはウィキペディア（時間）の4.1 ニュートン力学での時間
を参照のこと。

また距離（あるいは長さ）は、距離の原器を使って正確に測れる。
詳しくは、

ウィキペディア（距離）

空間の点の位置の表現　

　有向線分

空間中の任意の点$P,Q$をとると、その2点を結ぶ線分が引ける。
この点$P$から点$Q$にむけた向きを入れる。これを有向線分$\vec{PQ}$という。
点$P$をこの有向ベクトルの始点、点$Q$を終点という。

位置の特定には基準点が必要

空間中の点の位置は、どの場所から観測するかで、距離も方向も異なってしまう。
位置を指定するには基準点が必要である。
そこで$S^3$の適当な点$O$を基準点に選び、原点と呼ぶ。

有向線分を用いた位置の表示

空間の任意の点$P$に対し,有向線分$\vec{OP}$を考えると、その終点が点Ｐを表す。
空間の点Ｏとこれを始点とする有向線分$\vec{OP}$との和を
$O+\vec{OP}:=P$で定義すると便利である。

有向線分からベクトルへ

有向線分のままだと、
始点のことなるすべての有向線分を考えないと、位置の指定は出来ない。
非常に不便である。
原点Ｏからみた点Ｐの位置の指定で必須のものを抜き出すと、
　①線分$OP$の長さ。
　②2点$O,P$を通る直線が示す方向
　③Ｏからみて、点Ｐは直線$OP$のどちら側にあるか(向き）
の3要素である。
従って、有向線分$\vec{OP}$と
①長さ(大きさ、距離）が等しく、②方向が等しく　③向きが等しい
任意の有向線分$\vec{O'P'}$を用いても、
点Ｐの位置は正確に指定できる。

①長さについて；長さを測れば判断出来る。
②空間の方向について；
空間の方向は直線を用いて記述出来る。
平行な2直線は等しい方向を持つという。
そこで、直線$OP$と直線$O'P'$が平行ならば、有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{O'P'}$は方向が等しい。
平行な直線をすべて同じものだとみなせば、空間中のすべての直線を使えば、あらゆる方向を表せる。

③大きさが等しく、方向・向きが等しいか否かは、次のようにして簡単に判断できる。
線分$OP$と線分$O'P'$が、ある一つの平面上にあり、
この平面上の四角形$OAA'O'$が平行四辺形ならば、
2つの有向線分$\vec{OP}$と$\vec{O'P'}$は、大きさが等しく、方向・向きが等しい。
有向線分$\vec{OP}$を向きと方向が変わらないように、始点の位置を移動することを、平行移動という。
2つの有向線分$\vec{OP}$と$\vec{O'P'}$が、大きさと方向・向きが等しい、
必要十分条件は
有向線分$\vec{OP}$を平行移動して始点を$O'$に移すと$\vec{O'P'}$になることである。
定義；ベクトル
空間中のあらゆる有向線分を考える。
この中で、大きさ、方向・向きの等しいものは同じものとみなして、
一つの量とみなしたものをベクトルという。
例えば、
有向線分$\vec{OP}$と大きさ、方向・向きの等しい有向線分をすべて集めた
有向線分からなる集合を、
(これ等の有向線分と同じ)大きさ、方向・向きだけを持ち、始点はない量とみなしてベクトルとよび、$[\vec{OP}]$などと書く。
もし$\vec{OP}$と$\vec{O'P'}$が、大きさが等しく、方向・向きが等しいならば
$[\vec{OP}]=[\vec{O'P'}]$となることは明らかであろう。
逆に$[\vec{OP}]=[\vec{O'P'}]$ならば、
有向線分$\vec{OP}$と$\vec{O'P'}$は
大きさが等しく、方向・向きも等しい。
(注）多くの本ではベクトル$[\vec{OP}]$を、単に$\vec{OP}$とかくので、
有向線分とベクトルの区別が、記号だけでは、出来ないので、注意が必要である。

ベクトルを用いた位置の表示

どの点を原点(Ｐと書く）としても、
ベクトルを用いると、空間の任意の点の位置を記述できる。
今、原点Ｐから見て、ベクトル$\vec a$の大きさ、方向・向きにある点は
どのようにして見つけることができるのか？
それには、ベクトル$\vec a$の名前の付いた有向線分の集合の中から、
始点がＰであるもの、$\vec{PQ}$をとりだせばよい。
このような有向線分をベクトル$\vec a$に属す有向線分と呼ぼう。
この有向ベクトル$\vec{PQ}$は$\vec a$と同じ大きさ、方向・向きをもち、
始点が原点なので、点Ｑが求める点になる。
これを数学記号でかくと
$P+\vec a=P+[\vec{PQ}]:=P+\vec{PQ}=Q$

逆に点$Q$の位置を表すベクトルは、$[\vec{PQ}]$である。
これを数学記号でかくと
$P+[\vec{PQ}]:=P+\vec{PQ}=Q$

定義：位置ベクトル
本テキストでは、ベクトルを位置の表示に用いるとき、位置ベクトルと呼ぶ。

他のベクトル

物理学では、位置ベクトル以外にも、
速度や、加速度、力などは、大きさと方向、向きを持つ量なのでベクトルである。
物理学では、ある程度のベクトルの知識が必要である。
以下に、ベクトルについて、簡単に紹介する。
まったくベクトルについて学習してない方は次の文献をご覧ください。

[[wikibooks_ja:高等学校数学B ベクトル|ウィキブックス（高等学校数学B ベクトル）]

２つのベクトルの和

定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。
・$\vec{A}$に属す有向線分$\vec{OP}$と$\vec{B}$に属す有向線分$\vec{PQ}$を用いて、
有向線分$\vec{OQ}$を求める。これに対応するベクトル$[\vec{OQ}]$を、
ベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和という。ベクトル和の図参照。
すなわち、
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ}$；

(注）もし$\vec{A}$に属す、別の有向線分$\vec{O'P'}$をとり、$\vec{B}$に属す有向線分$\vec{P'Q'}$を用い、和のベクトル$[\vec{O'Q'}]$を作ったら、 $[\vec{OQ}]$とは別のベクトルになってしまった、この定義は破たんする。幸い$[\vec{O'Q'}]=[\vec{OQ}]$であることが、
ユークリッド幾何学で明らかにされた平行四辺形の性質を使って
容易に証明できる。図参照。

ベクトル$\vec{A}$と$\vec{B}$を
始点の同じ有向ベクトル$\vec{OP}$ と$\vec{OR}$で表すと、
これを２辺とする平行四辺形$OPQ'R$の対角線$OQ'$に向きを付けた$\vec{OQ'}$の表すベクトル$[\vec{OQ'}]$は、
$\vec{A}+\vec{B}$に等しいことが容易に分かる。ベクトル和の図参照のこと。
ベクトル和の定義から、
必要ならば適切に平行移動しユークリッド幾何の知識を使うと、
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}$　;　交換法則　
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})$　；結合法則　
が成立することを証明できる。試みてください。
零ベクトル　
$P=Q$という特殊な場合、$\vec{PQ}=\vec{PP}$は、
Ｐ点から見たＱ点の位置(同じ位置)であることを示すので、有向線分として認める。
このように長さが零で一点に退化したすべての有向線分は
大きさが等しく、方向・向きを持たないので、
同一とみなして、零ベクトルと呼ぶ。
$\vec 0=[\vec{PP}]:=\{\vec{QQ}\mid Q\in S^3\}$
すると
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}$　；零元の存在；　　
であることが、容易に証明できる。
$\vec{0}$は、数の加法において、零が果たしている役割を
ベクトルの加法で果たすので、零ベクトル、あるいは零元という。
逆ベクトル　
ベクトル$\vec{A}$に対し、その逆ベクトル$-\vec{A}$とは、
$\vec{A}$を加えると$\vec{0}$になる、ベクトルのことである。
どんな$\vec{A}$も、逆ベクトルを一つ、そして一つだけ持つ。；逆元の存在
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。
証明は容易。
以後、$\vec{A}+(-\vec{B})$を、$\vec{A}-\vec{B}$で表す。
ベクトルの実数倍
$a$を任意の実数とする。
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。
このように定義すると、
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。
次の諸規則が証明できる。
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}$
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}$
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})$
$1\vec{A}=\vec{A}$

　位置の座標とベクトルの座標成分表示　

ベクトルの記号（例えば$\vec{A}$）を用いた力学の法則の表示や演算は、ベクトル記号のまま扱うと、大変簡潔で、見通しが良い。
しかし、ベクトル記号のままでは、具体的な問題で、質点がどこにいるか、その速度は、どの方向で、いくらか、などを求めたいときには、大変である。
ベクトルを図示し、図を使って、ベクトル演算をしなければならなくなるからである。
平面の場合でさえ、ベクトルを正確に図示することはできず、手間も大変である。
3次元空間では、平面である紙の上には、正確に書くことは出来ない。

そこで点$P$の位置、位置ベクトル$\vec{OP}$やその他のベクトルを、いくつかの数字が順番に並んだ、数字の組で表わす方法が考えだされた。
図ではなく数字を使って位置やベクトルを表せるなら、数学で知られた色々な計算方法が利用でき、具体的な計算は飛躍的に進化する。
点の位置をいくつかの数字の組で表示するのは座標表示と呼ばれ、
ベクトルをいくつかの数字の組で表現することはベクトルの座標成分表示と呼ばれる。
色々な座標を使った表示法がみつかっている。
最も広く利用されている方法を説明しよう。

　直交座標を用いる表示　

空間に定めた原点$O$をとおる、縦と横と高さ方向の互いに直交する３つの直線を引く。
各直線上の原点$O$から単位の距離にある点(原点の両側にある）の一方に＋１を、他方にー１を振る。
他の点にも、原点からの距離に＋－符合(原点に関して、＋１と同じ側の点には＋）をつけた数字(実数）を割り振る。
このように、各点に数字が割り振られた直線に、数字が増大する向きに矢印をつける。
この直線を数直線と呼び、各点に割り振られた数字をこの点の座標と呼ぶ。図＿数直線参照。
縦(手前と奥)方向の数直線をｘ軸、横(左右)方向の数直線をy軸、高さ(上下)方向の数直線をz軸と呼ぶ。
数式表記に便利なようにしばしば、
ｘ軸を$x_1$軸、ｙ軸を$x_2$軸、ｚ軸を$x_3$軸と呼ぶ。

任意の点$P$の位置や３次元ベクトルは、これ等の数直線を利用して、以下のようにして、３つの実数の組で表示できる。
（１）点の位置の座標表示　

任意の点$P$から、x軸に下ろした垂線の足の座標$P_{x}$, y軸に下ろした垂線の足の座標$P_{y}$,z軸に下ろした垂線の足の座標$P_{z}$を求める。
$P_{x}$、$P_{y}$、$P_{z}$をそれぞれ、点Pのx座標、y座標、ｚ座標と呼ぶ。点$P$にたいして３つの数字の組$(P_{x},P_{y}, P_{z})$が、唯一つ定まる。これを点$P$の座標と呼ぶ。
ここで、数字は、x座標、ｙ座標、ｚ座標の順序で並べなければならない。
逆に３つの実数の組$(a_{x},a_{y}, a_{z})$に対して、それを座標にもつ点$P$が、唯一つ決まる。図＿座標表示を参照のこと。

ウィキペディア(直交座標系)

（２）ベクトルの座標成分表示　　
・ベクトルは平行移動しても同じものなので、平行移動して、始点を原点とするベクトル$\vec{OP}$を考える。
位置ベクトルは、初めから始点が原点に固定された束縛ベクトルなので移動しなくて良い。　　
・ベクトル$\vec{OP}$の終点$P$の座標$(P_{x},P_{y},P_{z})$を、ベクトル$\vec{OP}$の座標成分表示という。
位置ベクトル$\vec{OP}$では、その成分は、点$P$の座標成分と同じである。
・このように、すべてのベクトルにひと組の数字の組が定まること、
逆に３つの実数の組を与えると、唯一つのベクトルが決まることが分かるであろう。

ｘ軸、y軸、z軸は、座標を決めるときに使われるので、座標軸と呼ばれる。

紹介した座標表示法では、3本の軸は直交するようにとってあるので、それを明示したいときは直交という形容をつけて、直交座標成分、直交座標軸などと呼ぶ。

(3)ベクトルと、その直交座標成分表示の関係について　　
ｘ軸上に、長さが１で、正の向き（座標の増加する向きのこと）の有向線分をとり、これによって決まるベクトルを$\vec{e_x}$とおく。
同様に、ｙ軸上の長さ１で正の向きの有向線分に対応するベクトルを$\vec{e_y}$,
ｚ軸上に、長さ１で正の向きの有向線分に対応するベクトルを$\vec{e_z}$とおく。
すると、任意のベクトル$\vec A$は、その直交座標成分$(A_x,A_y,A_z)$を用いて、
$\vec A=A_x\vec{e_x}+A_y\vec{e_y}+A_z\vec{e_z}$
と表せることが、簡単に証明できる。
このように、どんなベクトルも、3つのベクトル$\vec{e_x},\vec{e_y},\vec{e_z}$を用いて表示できるので、
これらを順番に並べた
$(\vec{e_x},\vec{e_y},\vec{e_z})$を、3次元空間の基底と呼ぶ。
直交していることを明示したいときは、直交基底という。
さらに、基底ベクトルの大きさが１にとってあるので、
これを明示したいときには、正規直交基底と呼ぶ。
逆に、
直交基底$\vec{e_x},\vec{e_y},\vec{e_z}$が与えられると、
直交座標系が決まる。

　直交座標系には右手系と左手系の2種類がある　

（１）3次元空間の場合；
空間に一つの直交座標系をとる。
3つの座標軸のうち、一つの座標軸の正負を逆にした座標系をつくる。たとえばz軸の正負を逆にしてみよう。
右手の親指、人差し指、中指をそれぞれ直角になるように延ばし、親指をx軸の正部分に、人差し指をｙ軸の正部分に重ねる。
すると中指はz軸と重なるが、
片方の座標系では、向きまで一致する。
もう一方の座標系では、向きは逆になってしまう。
一致するほうの座標系を右手系、逆向きの座標系を左手系とよぶ。図参照。
x軸やy軸の向きを変える場合でも全く同じことが起こることを確かめてほしい。

（２）平面の場合；
ｘ軸を原点を中心に90度だけ反時計回りに回転してx軸とy軸を重ねたときb、向きまで一致する座標系を右手系といい、逆向きになる時左手系という。

（３）物理では右手系を用いる。
どちらの座標系を使っても、あらゆることが、同じように議論できるが、
どちらの座標系を使っているかで法則の表現が違ったり、
２種の座標系を混在させて使うと過ちになるなど、
不具合が生じてしまうので、
物理の世界では、右手系を使うことにしている。
直交座標系については、ウィキペディア（直交座標系）
を参照のこと。

色々な座標

ベクトルを実数の組で表示する、座標表示の方法は、色々考案されている。
それは、運動の種類に応じて、使いやすい座標と使いにくい座標があるからである。直交座標は最も多く使われるが、円運度や楕円運動では極座標が便利である。

極座標については、ウィキペディア（極座標系）
その他の座標系も含む色々な座標系についてはウィキペディア（座標）
を参照のこと。
（注）座標系をつかい、数字の計算で図形等の性質を調べることは１６世紀にデカルトが見つけた偉大な方法である。
この方法が、運動を法則を解明する時に、不可欠の役割を果たしている。

座標表示の欠点

座標系を定めて位置を数値化すのため、当然のことながら、
位置を表示する数値は座標系に依存する。
このため、異なる座標系で表現したいときには、正しい数値にするため、
場合によってはかなり複雑な変換をする必要が起こる。
ベクトル表示は、座標を用いないので、この種の煩わしさは無い。

物理で利用するベクトルの演算についての注意

数学で扱うベクトルは、文字通り、大きさと方向・向きの等しいベクトルは皆同じものとみなし、平行移動したり、ベクトル同士の演算も自由にできる。自由ベクトルと呼ばれる。
ところが
力は大きさと方向・向きを持つのでベクトルだが、作用する場所が変われば、その効果もまったく異なる。すなわち、ベクトルの始点がどこにあるかが、重要なベクトルである。そこで平行移動や始点の異なるベクトルの和は許さない。このようなベクトルは束縛ベクトルという。
物理に現れるベクトルは束縛ベクトルであることが良く起こるので、
物理的意味を考えて、数学を利用する必要がある。

物理/質点の運動の表し方