物理/ベクトル解析
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=== ベクトル場の回転 === | === ベクトル場の回転 === | ||
=== テンソル表示とテンソル計算 === | === テンソル表示とテンソル計算 === | ||
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+ | 定理(ポアンカレの定理)<br/> | ||
+ | 定義(2端を共有する2つの連続曲線の連続可変性)<br/> | ||
+ | 定義 単連結領域<br/> | ||
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+ | D;Rn(i=2,3)の単連結領域<br/> | ||
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+ | とする。<br/> | ||
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+ | 磁場Bはつねに$div B = 0$を満たす(第5章電磁気学参照のこと)。<br/> | ||
+ | AがC2級のベクトル場ならば<br/> | ||
+ | F≜とおくと、<br/> | ||
+ | $div\ F= 0$<br/> | ||
+ | であった。<br/> | ||
+ | この逆命題<br/> | ||
+ | $div F = 0$ならば<br/> | ||
+ | あるC^2級のベクトル場Aが存在して | ||
+ | F = rot A 。<br/> | ||
+ | がなりたてば、磁場BはつねにあるC^2級のベクトル場Aを用いて、 | ||
+ | B = rot A と書けることになる。<br/> | ||
+ | このC^2級のベクトル場AをBの'''ベクトルポテンシャル'''という。 | ||
+ | ==== ベクトルポテンシャルの存在定理 ==== | ||
+ | 定理<br/> | ||
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+ | == 面積分 == | ||
+ | === 有向局面 === | ||
+ | === 面積分 === | ||
== グリーンの定理 == | == グリーンの定理 == | ||
== ストークスの定理 == | == ストークスの定理 == | ||
== ガウスの発散定理 == | == ガウスの発散定理 == |
2018年5月15日 (火) 05:04 時点における最新版
目次[非表示] |
8.2 ベクトル解析
ベクトル場の微分
ベクトル場とスカラー場
スカラー場の勾配
ナブラ∇ とそれを用いた勾配の表現
ベクトル場の発散
ベクトル場の回転
テンソル表示とテンソル計算
線積分と面積分
単連結領域
線積分
保存場
ポテンシャル
保存場とポテンシャル(関数)
定理
ポテンシャルの存在定理
定理(ポアンカレの定理)
定義(2端を共有する2つの連続曲線の連続可変性)
定義 単連結領域
命題
定理
D;\bf{R^n}(i=2,3)の単連結領域
F \in C^{1}(D,\bf{R^n})
とする。
すると次の3条件は同値である。
(1)
(2)
(3)
証明
ベクトルポテンシャル
磁場Bはつねにdiv B = 0を満たす(第5章電磁気学参照のこと)。
AがC^2級のベクトル場ならば
F \triangleq rot\ Aとおくと、
div\ F= 0
であった。
この逆命題
div F = 0ならば
あるC^2級のベクトル場Aが存在して
F = rot A 。
がなりたてば、磁場BはつねにあるC^2級のベクトル場Aを用いて、
B = rot A と書けることになる。
このC^2級のベクトル場AをBのベクトルポテンシャルという。
ベクトルポテンシャルの存在定理
定理