物理/ベクトル解析
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== 保存場 == | == 保存場 == | ||
=== ポテンシャル === | === ポテンシャル === | ||
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| + | 定理（ポアンカレの定理）<br/> | ||
| + | 定義（２端を共有する２つの連続曲線の連続可変性）<br/> | ||
| + | 定義 単連結領域<br/> | ||
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| + | D；Rn(i=2,3)の単連結領域<br/> | ||
| + | F∈C1(D,Rn)<br/> | ||
| + | とする。<br/> | ||
| + | すると次の３条件は同値である。<br/> | ||
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| + | （２）<br/> | ||
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| + | 証明<br/> | ||
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=== ベクトルポテンシャル === | === ベクトルポテンシャル === | ||
| + | 磁場BはつねにdivB=0を満たす（第５章電磁気学参照のこと）。<br/> | ||
| + | AがC2級のベクトル場ならば<br/> | ||
| + | F≜とおくと、<br/> | ||
| + | div\ F= 0<br/> | ||
| + | であった。<br/> | ||
| + | この逆命題<br/> | ||
| + | div F = 0ならば<br/> | ||
| + | あるC^2級のベクトル場Aが存在して | ||
| + | F = rot A 。<br/> | ||
| + | がなりたてば、磁場BはつねにあるC^2級のベクトル場Aを用いて、 | ||
| + | B = rot A と書けることになる。<br/> | ||
| + | このC^2級のベクトル場AをBの'''ベクトルポテンシャル'''という。 | ||
| + | ==== ベクトルポテンシャルの存在定理 ==== | ||
| + | 定理<br/> | ||
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== 面積分 == | == 面積分 == | ||
=== 有向局面 === | === 有向局面 === | ||
2018年5月15日 (火) 05:04 時点における最新版
目次[非表示] |
8.2 ベクトル解析
ベクトル場の微分
ベクトル場とスカラー場
スカラー場の勾配
ナブラ∇ とそれを用いた勾配の表現
ベクトル場の発散
ベクトル場の回転
テンソル表示とテンソル計算
線積分と面積分
単連結領域
線積分
保存場
ポテンシャル
保存場とポテンシャル(関数)
定理
ポテンシャルの存在定理
定理（ポアンカレの定理）
定義（２端を共有する２つの連続曲線の連続可変性）
定義 単連結領域
命題
定理
D；\bf{R^n}(i=2,3)の単連結領域
F \in C^{1}(D,\bf{R^n})
とする。
すると次の３条件は同値である。
（１）
（２）
（３）
証明
ベクトルポテンシャル
磁場Bはつねにdiv B = 0を満たす（第５章電磁気学参照のこと）。
AがC^2級のベクトル場ならば
F \triangleq rot\ Aとおくと、
div\ F= 0
であった。
この逆命題
div F = 0ならば
あるC^2級のベクトル場Aが存在して
F = rot A 。
がなりたてば、磁場BはつねにあるC^2級のベクトル場Aを用いて、
B = rot A と書けることになる。
このC^2級のベクトル場AをBのベクトルポテンシャルという。
ベクトルポテンシャルの存在定理
定理
