物理/☆☆線形代数
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内積と呼ぶKの元(x,y) が定まり、次の性質を持つとき、 | 内積と呼ぶKの元(x,y) が定まり、次の性質を持つとき、 | ||
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。<br/><br/> | '''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。<br/><br/> | ||
| - | （１）(x,y1+y2)=(x,y1)+(x,y2) <br/> | + | （１）$\ (x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $ <br/> |
| - | (x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y) <br/> | + | $\qquad \ \ (x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $ <br/> |
| - | $ | + | $（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$<br/> |
| + | （３） (x,y)=¯(y,x) <br/> | ||
| + | （４） (x,x)∈R, (x,x)≥0 <br/> | ||
| + | $\qquad \ \ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 $ <br/> | ||
== 固有値と固有ベクトル== | == 固有値と固有ベクトル== | ||
2018年5月20日 (日) 15:21時点における版
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線形代数
線形空間
線形空間
線形空間の基底と次元
線形部分空間
線形写像とその行列表現
線形写像の定義
自己共役写像、正規写像、ユニタリ写像
線形空間の基底と線形写像の行列表現
計量線形空間
定義
K上の線形空間Vの任意の2元 x, y に対して
内積と呼ぶKの元(x,y) が定まり、次の性質を持つとき、
計量線形空間(metric linear space)あるいは内積空間(inner product space)という。
（１） (x,y1+y2)=(x,y1)+(x,y2)
(x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y)
（２） (cx,y)=c(x,y),(x,cy)=¯c(x,y)
（３） (x,y)=¯(y,x)
（４） (x,x)∈R, (x,x)≥0
(x,x)=0⇔x=0
固有値と固有ベクトル
２次形式と2次曲線の分類
ジョルダンの標準形
単因子に基ずく方法
幾何学的方法
我々の住む空間の数学的公理化
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。
この空間のなかに
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、
以下ではｎ次元空間で説明する((n∈{0}∪N)。
参考文献
斎藤正彦 線形代数入門 東京大学出版会
ユークリッド空間
定義
Sを非空の集合、Vをn次元内積空間とする。
