物理/☆☆線形代数
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内積と呼ぶKの元$(x,y)$ が定まり、次の性質を持つとき、 | 内積と呼ぶKの元$(x,y)$ が定まり、次の性質を持つとき、 | ||
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。<br/><br/> | '''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。<br/><br/> | ||
| - | （１）$ | + | （１）$(x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $ <br/> |
| - | $\qquad | + | $\qquad \ (x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $ <br/> |
$（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$<br/> | $（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$<br/> | ||
$（３）\ (x,y) = \overline{(y,x)}$ <br/> | $（３）\ (x,y) = \overline{(y,x)}$ <br/> | ||
| - | $（４）\ (x,x) \in {\bf R},\ (x,x)\geq 0$ <br/> | + | $（４）\ (x,x) \in {\bf R},\ (x,x)\geq 0, $ <br/> |
| - | $\qquad | + | $\qquad \ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 $ <br/> |
== 固有値と固有ベクトル== | == 固有値と固有ベクトル== | ||
2018年5月20日 (日) 15:26時点における版
目次 |
線形代数
線形空間
線形空間
線形空間の基底と次元
線形部分空間
線形写像とその行列表現
線形写像の定義
自己共役写像、正規写像、ユニタリ写像
線形空間の基底と線形写像の行列表現
計量線形空間
定義
K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して
内積と呼ぶKの元$(x,y)$ が定まり、次の性質を持つとき、
計量線形空間(metric linear space)あるいは内積空間(inner product space)という。
（１）$(x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $
$\qquad \ (x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $
$（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$
$（３）\ (x,y) = \overline{(y,x)}$
$（４）\ (x,x) \in {\bf R},\ (x,x)\geq 0, $
$\qquad \ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 $
固有値と固有ベクトル
２次形式と2次曲線の分類
ジョルダンの標準形
単因子に基ずく方法
幾何学的方法
我々の住む空間の数学的公理化
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。
この空間のなかに
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、
以下ではｎ次元空間で説明する($(n\in \{0\} \cup \bf{N}$)。
参考文献
斎藤正彦 線形代数入門 東京大学出版会
ユークリッド空間
定義
Sを非空の集合、Vをn次元内積空間とする。
