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物理/☆☆線形代数

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= 線形代数 =
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== 線形空間 ==
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=== 線形空間(ベクトル空間) ===
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*[[wikipedia_ja:ベクトル空間|ウィキペディア(ベクトル空間)]]
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*[[wikipedia_ja:ベクトル空間|ウィキペディア(ベクトル空間)]]
=== 計量線形空間===
=== 計量線形空間===
定義<br/>
定義<br/>
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Kを実数の集合(実数体)あるいは複素数の集合(複素数体)とする。<br/>  
K上の線形空間Vの任意の2元 x, y に対して<br/>
K上の線形空間Vの任意の2元 x, y に対して<br/>
内積と呼ぶKの元(x,y) が定まり、次の性質を持つとき、
内積と呼ぶKの元(x,y) が定まり、次の性質を持つとき、
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== 固有値と固有ベクトル==
== 固有値と固有ベクトル==
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=== 2次形式と2次曲線の分類===
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[[wikibooks_ja:線型代数学/固有値と固有ベクトル|wikibooks_ja(線型代数学/固有値と固有ベクトル)]]
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== ジョルダンの標準形  ==
== ジョルダンの標準形  ==
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=== 単因子に基ずく方法  ===
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*[[wikipedia_ja:ジョルダンの標準形 |ウィキペディア(ジョルダンの標準形 )]]
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=== 幾何学的方法  ===
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== 我々の住む空間の数学的公理化 ==
== 我々の住む空間の数学的公理化 ==
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える(注参照)。<br/>
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える(注参照)。<br/>
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ユークリッド空間(S,V)におけるVを、Sに付随する計量空間という。<br/>
ユークリッド空間(S,V)におけるVを、Sに付随する計量空間という。<br/>
またSの元を点、Vの元をベクトルという。<br/><br/>
またSの元を点、Vの元をベクトルという。<br/><br/>
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命題<br/>
 

2024年8月23日 (金) 13:03 時点における最新版

目次

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 線形代数

 線形空間

 線形空間(ベクトル空間)

 計量線形空間

定義
Kを実数の集合(実数体)あるいは複素数の集合(複素数体)とする。
   K上の線形空間Vの任意の2元 x, y に対して
内積と呼ぶKの元(x,y) が定まり、次の性質を持つとき、 計量線形空間(metric linear space)あるいは内積空間(inner product space)という。

(1)(x,y1+y2)=(x,y1)+(x,y2) 
 (x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y) 
 (cx,y)=c(x,y),(x,cy)=¯c(x,y)
 (x,y)=¯(y,x)
 (x,x)R, (x,x)0,
 (x,x)=0x=0

 固有値と固有ベクトル

wikibooks_ja(線型代数学/固有値と固有ベクトル)

 ジョルダンの標準形

 我々の住む空間の数学的公理化

今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える(注参照)。
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。
この空間のなかに
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、
以下ではn次元空間で説明する((n{0}N)。
参考文献
斎藤正彦 線形代数入門 東京大学出版会

 ユークリッド空間

定義
Sを非空の集合、Vをn次元内積空間とする。
SVの順序対(S,V)が次の3条件を満たすとき、n次元ユークリッド空間という。
(1)Sの任意の2元P,Qの作る順序対(P,Q)に対してVの唯一の元aが対応する。
このa¯(PQ)と書く。
(2)(PS),(aV),(1QS)(¯(PQ)=a)
(3)a=¯(PQ),b=¯(QR)a+b=¯(PR)
(注) ユークリッド空間(S,V)は、単にユークリッド空間Sと略記されることが多い。

定義
ユークリッド空間(S,V)におけるVを、Sに付随する計量空間という。
またSの元を点、Vの元をベクトルという。

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