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- | =9章 物理数学(2)多変数の解析学と常微分方程式= | + | =「8章 物理数学(2)多変数の解析学と常微分方程式」= |
- | この章では、多変数関数を対象にした解析学と常微分方程式について紹介する。 | + | この章では、多変数関数を対象にした解析学と常微分方程式について紹介する。<br/><br/> |
| + | 目次<br/> |
| + | *8.1 [[物理/多変数解析学|多変数解析学]] |
| + | *8.2 [[物理/ベクトル解析|☆☆ベクトル解析]] |
| + | *8.3 [[物理/常微分方程式|常微分方程式]] |
| + | *8.4 [[物理/偏微分方程式|☆☆偏微分方程式]] |
| + | *9 [[物理/物理学のテキストへの補足。 エネルギー変換とエネルギーの保存| 物理学のテキストへの補足。 エネルギー変換とエネルギーの保存]] |
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- | ==多変数の実数値関数の微分 == | + | = CAIテスト = |
- | ${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開区間 <br/>
| + | |
- | $I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$を考える。<br/>
| + | |
- | 一変数関数の議論から類推するために<br/>
| + | |
- | 以後、${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。<br/>
| + | |
- | この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。<br/>
| + | |
- | 一変数の微分から類推すると<br/>
| + | |
- | 微小なベクトル $h=(h_1,h_2,,,h_n)$ を考え、極限<br/>
| + | |
- | $\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }$<br/>
| + | |
- | が存在するとき、関数fは微分可能と定義することが考えられる。<br/>
| + | |
- | しかし残念ながら、<br/>
| + | |
- | ${\bf h}$はn次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
| + | |
- | ===偏微分===
| + | |
- | そこで、$f$ の変数 $\bf x$ の第i成分 $x_i$ だけを変数とし、<br/>
| + | |
- | 他の変数は固定 $\left(x_j=x_{j,0}(j\neq i)\right)$ して得られる一変数関数<br/>
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- | $\phi^{i}(x_i)$
| + | |
- | $:=f(\bf x),$ (ここで$\quad x_j=x_{j,0}(j\neq i)$)<br/>
| + | |
- | を考える。<br/>
| + | |
- | この関数は、一変数なので、その微分 <br/>
| + | |
- | $\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }$<br/> <br/>
| + | |
- | を考えることができる。<br/><br/>
| + | |
- | 定義(偏微分)<br/>
| + | |
- | 変数 $\bf x$ の第i成分以外は、$x_j=x_{j,0}(j\neq i)$ に固定する。<br/>
| + | |
- | もし、$\phi^i(x_i)=f(\bf x)$ が $x_{i}=x_{i,0}$ で微分可能ならば、<br/>
| + | |
- | 関数fは、$\bf x=(x_{1,0}, x_{2,0},,,x_{n,0})$ において、$x_i$ に関して'''偏微分可能'''のであると言い,<br/>
| + | |
- | $\frac{\partial f}{\partial x_i} :=\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}$<br/>
| + | |
- | を、$f(\bf x)$ の $\bf x=(x_{1,0},x_{2,0},,,x_{n,0}$ における、$x_i$ に関する'''偏微分係数'''という。<br/><br/>
| + | |
- | 定義(偏導関数)<br/>
| + | |
- | $R^n$ のある集合 $G$ の内部の全ての点$\bf x$で<br/>
| + | |
- | $f(\bf x)$ が $x_i$ に関して偏微分可能であるならば、<br/>
| + | |
- | $G$ の内部の全ての点$\bf x$に、そこでの $x_i$ に関する偏微分係数を対応させると、新しい関数が得られる。<br/>
| + | |
- | これを、$f(\bf x)$ の $x_i$ に関する偏導関数といい、記号<br/>
| + | |
- | $f_{x_[i]}(\bf x),\quad D_{x_i}f(\bf x),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\bf x),\quad \partial f/\partial x_i$<br/>
| + | |
- | などで表示する。<br/><br/>
| + | |
- | *[[wikipedia_ja:偏微分 |ウィキペディア(偏微分)]]
| + | |
- | 定理(合成関数の微分)<br/>
| + | |
- | $R^2$ から $R$ への関数$f(x,y)$ と<br/>
| + | |
- | $R$ から $R$ への関数$g(x,y)$ の合成関数 <br/>
| + | |
- | $h(x,y)=g(f(x,y)$ <br/>
| + | |
- | を考える。<br/>
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- | もし、$f(x,y)$ が $(x_0,y_0)$ で、xに関して偏微分可能で,<br/>
| + | |
- | $\quad g(x,y)$ が、$z_0=f(x_0,y_0)$ において微分可能ならば、<br/>
| + | |
- | $h(x,y)=g(f(x,y)$ は $(x_0,y_0)$ で、xに関して偏微分可能であり,<br/>
| + | |
- | ====方向微分====
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- | ===微分(全微分) ===
| + | *<span class="pops"> [[cai_ja:GENPHY00010008|CAIテストのページへ(新しいWindowが開きます)]] </span> |
- | 定義1;微分可能(全微分可能ともいう)、導値(微分係数)、導関数<br/>
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- | 定理1;<br/>
| + | |
- | 微分可能ならば、偏微分可能<br/><br/>
| + | |
- | 定理2<br/>
| + | |
- | $C^{1}$級の関数は微分可能<br/>
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- | | + | |
- | == ベクトル解析 == | + | |
- | == 常微分方程式 ==
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- | =
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- | ==多変数の実数値関数の微分 ==
| + | |
- | ${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開区間 <br/>
| + | |
- | $I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$を考える。<br/>
| + | |
- | 一変数関数の議論から類推するために<br/>
| + | |
- | 以後、${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。<br/>
| + | |
- | この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。<br/>
| + | |
- | 一変数の微分から類推すると<br/>
| + | |
- | 微小なベクトル $h=(h_1,h_2,,,h_n)$ を考え、極限<br/>
| + | |
- | $\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }$<br/>
| + | |
- | が存在するとき、関数fは微分可能と定義することが考えられる。<br/>
| + | |
- | しかし残念ながら、<br/>
| + | |
- | ${\bf h}$はn次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
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- | ===偏微分===
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- | そこで、$f$ の変数 $\bf x$ の第i成分 $x_i$ だけを変数とし、<br/>
| + | |
- | 他の変数は固定 $\left(x_j=x_{j,0}(j\neq i)\right)$ して得られる一変数関数<br/>
| + | |
- | $\phi^{i}(x_i)$
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- | $:=f(\bf x),$ (ここで$\quad x_j=x_{j,0}(j\neq i)$)<br/>
| + | |
- | を考える。<br/>
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- | この関数は、一変数なので、その微分 <br/>
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- | $\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }$<br/> <br/>
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- | を考えることができる。<br/><br/>
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- | 定義(偏微分)<br/>
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- | 変数 $\bf x$ の第i成分以外は、$x_j=x_{j,0}(j\neq i)$ に固定する。<br/>
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- | もし、$\phi^i(x_i)=f(\bf x)$ が $x_{i}=x_{i,0}$ で微分可能ならば、<br/>
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- | 関数fは、$\bf x=(x_{1,0}, x_{2,0},,,x_{n,0})$ において、$x_i$ に関して'''偏微分可能'''のであると言い,<br/>
| + | |
- | $\frac{\partial f}{\partial x_i} :=\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}$<br/>
| + | |
- | を、$f(\bf x)$ の $\bf x=(x_{1,0},x_{2,0},,,x_{n,0}$ における、$x_i$ に関する'''偏微分係数'''という。<br/><br/>
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- | 定義(偏導関数)<br/>
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- | $R^n$ のある集合 $G$ の内部の全ての点$\bf x$で<br/>
| + | |
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- | $G$ の内部の全ての点$\bf x$に、そこでの $x_i$ に関する偏微分係数を対応させると、新しい関数が得られる。<br/>
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- | これを、$f(\bf x)$ の $x_i$ に関する偏導関数といい、記号<br/>
| + | |
- | $f_{x_[i]}(\bf x),\quad D_{x_i}f(\bf x),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\bf x),\quad \partial f/\partial x_i$<br/>
| + | |
- | などで表示する。<br/><br/>
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- | *[[wikipedia_ja:偏微分 |ウィキペディア(偏微分)]]
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- | 定理(合成関数の微分)<br/>
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- | $R^2$ から $R$ への関数$f(x,y)$ と<br/>
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- | $R$ から $R$ への関数$g(x,y)$ の合成関数 <br/>
| + | |
- | $h(x,y)=g(f(x,y)$ <br/>
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- | を考える。<br/>
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- | もし、$f(x,y)$ が $(x_0,y_0)$ で、xに関して偏微分可能で,<br/>
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- | $\quad g(x,y)$ が、$z_0=f(x_0,y_0)$ において微分可能ならば、<br/>
| + | |
- | $h(x,y)=g(f(x,y)$ は $(x_0,y_0)$ で、xに関して偏微分可能であり,<br/>
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- | ====方向微分====
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- | | + | |
- | ===微分(全微分) ===
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- | 定義1;微分可能(全微分可能ともいう)、導値(微分係数)、導関数<br/>
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- | 定理1;<br/>
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- | 微分可能ならば、偏微分可能<br/><br/>
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- | 定理2<br/>
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- | $C^{1}$級の関数は微分可能<br/>
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- | == ベクトル解析 ==
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- | == 常微分方程式 ==
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