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-	====　ナブラ∇ とそれを用いた勾配の表現　====	+	==　ベクトル場とスカラー場 ==
		+	===　スカラー場の勾配  ===
		+	===　ナブラ∇ とそれを用いた勾配の表現　===
	===　ベクトル場の発散  ===		===　ベクトル場の発散  ===
	===　ベクトル場の回転　===		===　ベクトル場の回転　===
	===　テンソル表示とテンソル計算  ===		===　テンソル表示とテンソル計算  ===
-	==　線積分と面積分　==	+	=　線積分と面積分　=
-	===　単連結領域 ===	+	==　単連結領域 ==
-	===　線積分 ===	+	==　線積分 ==
-	===　保存場 ===	+	==　保存場 ==
-	====　ポテンシャル ====	+	===　ポテンシャル  ===
-	====　ベクトルポテンシャル  ====	+	====　保存場とポテンシャル(関数)　====
-	===　面積分 ===	+	定理<br/>
-	==== 有向局面  ====	+
-	==== 面積分 ====	+	====　ポテンシャルの存在定理 ====
		+	定理（ポアンカレの定理）<br/>
		+	定義（２端を共有する２つの連続曲線の連続可変性）<br/>
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		+	$D$；$\bf{R^n}$(i=2,3)の単連結領域<br/>
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		+	磁場$B$はつねに$div B = 0$を満たす（第５章電磁気学参照のこと）。<br/>
		+	$A$が$C^2$級のベクトル場ならば<br/>
		+	$F \triangleq rot\ A$とおくと、<br/>
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		+	$div F  = 0$ならば<br/>
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		+	がなりたてば、磁場$B$はつねにある$C^2$級のベクトル場$A$を用いて、
		+	$B = rot A$　と書けることになる。<br/>
		+	この$C^2$級のベクトル場$A$を$B$の'''ベクトルポテンシャル'''という。
		+	====　ベクトルポテンシャルの存在定理　====
		+	定理<br/>
		+
		+	==　面積分 ==
		+	===　有向局面 ===
		+	===　面積分  ===
		+
	== グリーンの定理  ==		== グリーンの定理  ==
	== ストークスの定理  ==		== ストークスの定理  ==
	== ガウスの発散定理  ==		== ガウスの発散定理  ==

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2018年5月15日 (火) 05:04 時点における最新版

目次 [非表示] 1 　8.2　ベクトル解析 2 　ベクトル場の微分 2.1 　ベクトル場とスカラー場 2.1.1 　スカラー場の勾配 2.1.2 　ナブラ∇ とそれを用いた勾配の表現　 2.1.3 　ベクトル場の発散 2.1.4 　ベクトル場の回転　 2.1.5 　テンソル表示とテンソル計算 3 　線積分と面積分　 3.1 　単連結領域 3.2 　線積分 3.3 　保存場 3.3.1 　ポテンシャル 3.3.1.1 　保存場とポテンシャル(関数)　 3.3.1.2 　ポテンシャルの存在定理 3.3.2 　ベクトルポテンシャル 3.3.2.1 　ベクトルポテンシャルの存在定理　 3.4 　面積分 3.4.1 　有向局面 3.4.2 　面積分 3.5 グリーンの定理 3.6 ストークスの定理 3.7 ガウスの発散定理

　8.2　ベクトル解析

　ベクトル場の微分

　ベクトル場とスカラー場

　スカラー場の勾配

　ナブラ∇ とそれを用いた勾配の表現　

　ベクトル場の発散

　ベクトル場の回転　

　テンソル表示とテンソル計算

　線積分と面積分　

　単連結領域

　線積分

　保存場

　ポテンシャル

　保存場とポテンシャル(関数)　

定理
　

　ポテンシャルの存在定理

定理（ポアンカレの定理）
　 定義（２端を共有する２つの連続曲線の連続可変性）
　 定義　単連結領域

命題
定理
$D$；$\bf{R^n}$(i=2,3)の単連結領域
$F \in C^{1}(D,\bf{R^n})$
とする。
すると次の３条件は同値である。
（１）
（２）
（３）
証明

　ベクトルポテンシャル

磁場$B$はつねに$div B = 0$を満たす（第５章電磁気学参照のこと）。
$A$が$C^2$級のベクトル場ならば
　 $F \triangleq rot\ A$とおくと、
$div\ F= 0$
であった。
この逆命題
$div F = 0$ならば
ある$C^2$級のベクトル場$A$が存在して $F = rot A$　。
がなりたてば、磁場$B$はつねにある$C^2$級のベクトル場$A$を用いて、 $B = rot A$　と書けることになる。
この$C^2$級のベクトル場$A$を$B$のベクトルポテンシャルという。

　ベクトルポテンシャルの存在定理　

定理

　面積分

　有向局面

　面積分

グリーンの定理

ストークスの定理

ガウスの発散定理