物理/ベクトル解析
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| - | + | == ベクトル場とスカラー場 == | |
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| + | === ナブラ∇ とそれを用いた勾配の表現 === | ||
=== ベクトル場の発散 === | === ベクトル場の発散 === | ||
=== ベクトル場の回転 === | === ベクトル場の回転 === | ||
=== テンソル表示とテンソル計算 === | === テンソル表示とテンソル計算 === | ||
| - | + | = 線積分と面積分 = | |
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| - | === | + | == 線積分 == |
| - | === | + | == 保存場 == |
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| - | ==== ベクトルポテンシャル ==== | + | ==== 保存場とポテンシャル(関数) ==== |
| - | === | + | 定理<br/> |
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| - | + | ==== ポテンシャルの存在定理 ==== | |
| + | 定理（ポアンカレの定理）<br/> | ||
| + | 定義（２端を共有する２つの連続曲線の連続可変性）<br/> | ||
| + | 定義 単連結領域<br/> | ||
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| + | 命題<br/> | ||
| + | 定理<br/> | ||
| + | $D$；$\bf{R^n}$(i=2,3)の単連結領域<br/> | ||
| + | $F \in C^{1}(D,\bf{R^n})$<br/> | ||
| + | とする。<br/> | ||
| + | すると次の３条件は同値である。<br/> | ||
| + | （１）<br/> | ||
| + | （２）<br/> | ||
| + | （３）<br/> | ||
| + | 証明<br/> | ||
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| + | === ベクトルポテンシャル === | ||
| + | 磁場$B$はつねに$div B = 0$を満たす（第５章電磁気学参照のこと）。<br/> | ||
| + | $A$が$C^2$級のベクトル場ならば<br/> | ||
| + | $F \triangleq rot\ A$とおくと、<br/> | ||
| + | $div\ F= 0$<br/> | ||
| + | であった。<br/> | ||
| + | この逆命題<br/> | ||
| + | $div F = 0$ならば<br/> | ||
| + | ある$C^2$級のベクトル場$A$が存在して | ||
| + | $F = rot A$ 。<br/> | ||
| + | がなりたてば、磁場$B$はつねにある$C^2$級のベクトル場$A$を用いて、 | ||
| + | $B = rot A$ と書けることになる。<br/> | ||
| + | この$C^2$級のベクトル場$A$を$B$の'''ベクトルポテンシャル'''という。 | ||
| + | ==== ベクトルポテンシャルの存在定理 ==== | ||
| + | 定理<br/> | ||
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| + | == 面積分 == | ||
| + | === 有向局面 === | ||
| + | === 面積分 === | ||
== グリーンの定理 == | == グリーンの定理 == | ||
== ストークスの定理 == | == ストークスの定理 == | ||
== ガウスの発散定理 == | == ガウスの発散定理 == | ||
2018年5月15日 (火) 05:04 時点における最新版
目次 |
8.2 ベクトル解析
ベクトル場の微分
ベクトル場とスカラー場
スカラー場の勾配
ナブラ∇ とそれを用いた勾配の表現
ベクトル場の発散
ベクトル場の回転
テンソル表示とテンソル計算
線積分と面積分
単連結領域
線積分
保存場
ポテンシャル
保存場とポテンシャル(関数)
定理
ポテンシャルの存在定理
定理（ポアンカレの定理）
定義（２端を共有する２つの連続曲線の連続可変性）
定義 単連結領域
命題
定理
$D$；$\bf{R^n}$(i=2,3)の単連結領域
$F \in C^{1}(D,\bf{R^n})$
とする。
すると次の３条件は同値である。
（１）
（２）
（３）
証明
ベクトルポテンシャル
磁場$B$はつねに$div B = 0$を満たす（第５章電磁気学参照のこと）。
$A$が$C^2$級のベクトル場ならば
$F \triangleq rot\ A$とおくと、
$div\ F= 0$
であった。
この逆命題
$div F = 0$ならば
ある$C^2$級のベクトル場$A$が存在して
$F = rot A$ 。
がなりたてば、磁場$B$はつねにある$C^2$級のベクトル場$A$を用いて、
$B = rot A$ と書けることになる。
この$C^2$級のベクトル場$A$を$B$のベクトルポテンシャルという。
ベクトルポテンシャルの存在定理
定理
