Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

物理/☆☆線形代数

提供: Internet Web School

(版間での差分)
( 計量線形空間)
( ユークリッド空間)
 
(間の17版分が非表示)
1 行: 1 行:
= 線形代数 =
= 線形代数 =
== 線形空間 ==
== 線形空間 ==
-
=== 線形空間   ===
+
=== 線形空間(ベクトル空間) ===
-
=== 線形空間の基底と次元  ===
+
*[[wikipedia_ja:ベクトル空間|ウィキペディア(ベクトル空間)]]
-
=== 線形部分空間  ===
+
-
=== 線形写像とその行列表現 ===
+
-
==== 線形写像の定義  ====
+
-
 
+
-
==== 自己共役写像、正規写像、ユニタリ写像  ====
+
-
==== 線形空間の基底と線形写像の行列表現  ====
+
=== 計量線形空間===
=== 計量線形空間===
-
線形空間の任意の2元に対して、内積が定義されているとき、<br/>
 
-
軽量線形空間あるいは内積空間という。<br/><br/>
 
定義<br/>
定義<br/>
 +
Kを実数の集合(実数体)あるいは複素数の集合(複素数体)とする。<br/>  
K上の線形空間Vの任意の2元 x, y に対して<br/>
K上の線形空間Vの任意の2元 x, y に対して<br/>
-
内積と呼ぶKの元(x,y) が定まり、次の性質を持つ。<br/>
+
内積と呼ぶKの元(x,y) が定まり、次の性質を持つとき、
 +
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。<br/><br/>
 +
(1)(x,y1+y2)=(x,y1)+(x,y2) <br/>
 +
 (x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y) <br/>
 +
 (cx,y)=c(x,y),(x,cy)=¯c(x,y)<br/>
 +
 (x,y)=¯(y,x) <br/>
 +
 (x,x)R, (x,x)0, <br/>
 +
 (x,x)=0x=0 <br/>
== 固有値と固有ベクトル==
== 固有値と固有ベクトル==
-
=== 2次形式と2次曲線の分類===
+
[[wikibooks_ja:線型代数学/固有値と固有ベクトル|wikibooks_ja(線型代数学/固有値と固有ベクトル)]]
 +
 
== ジョルダンの標準形  ==
== ジョルダンの標準形  ==
-
=== 単因子に基ずく方法  ===
+
*[[wikipedia_ja:ジョルダンの標準形 |ウィキペディア(ジョルダンの標準形 )]]
-
=== 幾何学的方法  ===
+
 
 +
== 我々の住む空間の数学的公理化 ==
 +
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える(注参照)。<br/>
 +
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。<br/>
 +
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
 +
<br/>
 +
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。<br/>
 +
この空間のなかに<br/>
 +
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。<br/>
 +
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。<br/>
 +
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、<br/>以下ではn次元空間で説明する((n{0}N)。<br/>
 +
参考文献<br/>
 +
斎藤正彦 線形代数入門 東京大学出版会
 +
=== ユークリッド空間    ===
 +
定義<br/>
 +
Sを非空の集合、Vをn次元内積空間とする。<br/>
 +
SVの順序対(S,V)が次の3条件を満たすとき、n次元ユークリッド空間という。<br/>
 +
(1)Sの任意の2元P,Qの作る順序対(P,Q)に対してVの唯一の元aが対応する。<br/>
 +
このa¯(PQ)と書く。<br/>
 +
(2)$(\forall P\in S),(\forall a\in V),(\exists_{1} Q \in S)(\overline{(PQ)}=a)$<br/>
 +
(3)$ a=\overline{(PQ)},b=\overline{(QR)} \Rightarrow a+b=\overline{(PR)}$<br/>
 +
(注) ユークリッド空間(S,V)は、単にユークリッド空間Sと略記されることが多い。<br/><br/>
 +
定義<br/>
 +
ユークリッド空間(S,V)におけるVを、Sに付随する計量空間という。<br/>
 +
またSの元を点、Vの元をベクトルという。<br/><br/>

2024年8月23日 (金) 13:03 時点における最新版

目次

[非表示]

 線形代数

 線形空間

 線形空間(ベクトル空間)

 計量線形空間

定義
Kを実数の集合(実数体)あるいは複素数の集合(複素数体)とする。
   K上の線形空間Vの任意の2元 x, y に対して
内積と呼ぶKの元(x,y) が定まり、次の性質を持つとき、 計量線形空間(metric linear space)あるいは内積空間(inner product space)という。

(1)(x,y1+y2)=(x,y1)+(x,y2) 
 (x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y) 
 (cx,y)=c(x,y),(x,cy)=¯c(x,y)
 (x,y)=¯(y,x)
 (x,x)R, (x,x)0,
 (x,x)=0x=0

 固有値と固有ベクトル

wikibooks_ja(線型代数学/固有値と固有ベクトル)

 ジョルダンの標準形

 我々の住む空間の数学的公理化

今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える(注参照)。
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。
この空間のなかに
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、
以下ではn次元空間で説明する((n{0}N)。
参考文献
斎藤正彦 線形代数入門 東京大学出版会

 ユークリッド空間

定義
Sを非空の集合、Vをn次元内積空間とする。
SVの順序対(S,V)が次の3条件を満たすとき、n次元ユークリッド空間という。
(1)Sの任意の2元P,Qの作る順序対(P,Q)に対してVの唯一の元aが対応する。
このa¯(PQ)と書く。
(2)(PS),(aV),(1QS)(¯(PQ)=a)
(3)a=¯(PQ),b=¯(QR)a+b=¯(PR)
(注) ユークリッド空間(S,V)は、単にユークリッド空間Sと略記されることが多い。

定義
ユークリッド空間(S,V)におけるVを、Sに付随する計量空間という。
またSの元を点、Vの元をベクトルという。

個人用ツール