物理/力と運動の法則
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2014年10月27日 (月) 17:34時点における版
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目次 |
力とその働き
物を動かす時、人は筋力を使ったり、牛馬の力を使う。こうした労働の経験から、大昔から、人は、力という概念が認識し、言語化してきた。 力の理解を深めるには、その働きについて理解する必要がある。
力の働き
力は物体の運動（速度）を変化させたり、物体を変形させる働きがある。
の 「2.2.1 力の性質」と 「6.1.2 力による運動の変化」 を見てください。
力の三要素とベクトル表示
多くの経験から、力の働きは、
力の大きさ、力の向き、力が作用する作用点
の、3つで決まる事が知られている。
これらを力の三要素という。
力は、その作用点を始点とする(束縛）ベクトルで表わすと都合がよい。
力の作用線
力のベクトルに重ねて引いた直線を力の作用線という。
力の作用線はその作用点を通る。
いろいろな力とその法則
力には、いろいろなものがある。
人間・動物の筋肉の力、万有引力 ,重力、電気力（電荷のクーロンの法則)、磁気力（磁荷のクーロンの法則)、弾性力（ばねなどの力）)、摩擦力、、機械の生み出す力、浮力、張力
など、である。
これらの力のいくつかを学ぶ。
万有引力
ニュートンは、地上の物体の運動も天体の運動も同じ法則に従うと考えた。
惑星は慣性法則により、等速直線運動をしようとするが、太陽から引力を受け、太陽に向かって落下して、楕円軌道を描くと推測した。
そこで、惑星が受けている力を、ケプラーの法則と、後述する、運動の第２法則から求めた。するとその力の向きは、太陽に向かっていた。
月の運動の解析からも、月は地球の向きに力を受けていることが分かった。地上の物体も地球の中心向きの引力を受け落下運動をする。
これらの考察から、ニュートンは、任意の２物体間には、引力が働くという性質を自然は持っていると確信し、
万有引力の法則と名付けた。
この法則の理解には質量（正確には重力質量）という概念が必要です。
重さと質量について
人間は,物を持つと重さを感じる。そこで、人類は大昔から重さについて認識していた。
重い物を持ち上げるため、梃子(てこ）という器具を発明し、重さを正確に知る必要性が高まるとともに梃子の性質を利用した「天秤ばかり」という器具を発明した。
梃子の原理
梃子はすでに、紀元前５０００年のエジプトのピラミッド建設でも利用されていた。
この当時、人類は、この梃子にかんする簡単な性質は、かなり知っていたのである。
一般的な梃子の原理もかなり前から経験的に知っていたと思われる。
ギリシャのアリストテレスやアルキメデス（Archimedes、紀元前287年 - 紀元前212年）は、梃子の一般原理を正確に述べ、
なぜこの原理が成立するか、論証を試みている。
アルキメデスは、経験から得られている梃子のつり合いに関するいくつかの簡単な事実を前提として、
厳密に梃子の一般原理を論証で導いた。
天秤ばかり
天秤ばかりは、紀元前5000年ころにはエジプトで使われていた。
均質な一本の棒の真ん中を支点にして、支点から等距離にある両端に皿を固定(あるいは、ぶらさげ)、
片方の皿に計量したい物体をのせ(棒は傾く)、次に他方の皿に「分銅」という重さの分かっている重りを次々とのせて、
釣り合わせる(＝棒を水平な状態に保つ）。このときの分銅の重さの合計が、物体の重さになる。
天秤は、支点から等距離に働く、同じ大きさの重さ(地球中心への力）は釣り合うという、梃子の性質を利用したもの。
質量(正確には重力質量）
重さ（地球に向かう力）が、なぜ生じるのか、長い間不明であった。
ニュートンは、地上の物体が地球の中心に向かうによる万有引力の法則の発見とともに、
質量の測り方
基準物質の質量を１ｋｇと定めておく。
当初の基準物質は、水１リットル(1000cc)と定められた。
質量を知りたい物体を天秤ばかりの片側のさらに乗せ、これと釣り合うように、もう一方の天秤の皿に水を注ぐ。
この時の水の体積を計量すれば、物質の重さが測れる。
これでは不便なので、色々な体積の水とつりあう分銅を作っておき、これを水の代わりにする。
万有引力の法則
万有引力の式中の万有引力定数Ｇについては、
を参照のこと。
ケプラーの法則とニュートンの運動の第2法則から、万有引力の法則は、数学を利用して、導ける。次章で紹介する。
地球の重力と重力加速度
地球上の物体に対して働く地球の万有引力と地球自転による遠心力（４章1節参照）との合力を地球の重力という。
物体に作用する重力を質量で割ったものを重力加速度といい、$g$で表す。場所によって多少異なるが、地球表面近くでは、ほぼ$g=9.8 m/s^2$である。
この定義により、質量$M$の質点に働く重力は、$Mg$となる。
（注）ニュートンの運動の第２法則により、重力加速度は、重力という力をうけて落下する物体の加速度に等しいことが分かる（4章一節）。
このため、これを重力加速度の定義にする場合もある。
質量と重さ
物質は、その質量$M$に比例した力（重力）$Mg$を地球から受ける。人が、物体を持った時重さ(重量）を感じるのは、重力を受けて落ちようとする物体を支えるために、重力と、同じ大きさで逆むきの力、を使うからである。
物質の重量は、場所によって、重力加速度が変わるため、変わる。
しかし、質量は、その物質固有のもので、不変である。
天秤ばかりでは計量すべき物体と分銅はわずかな距離しか離れていないため、両者に働く重力加速度は、場所によって変わるものの、
同一である。両者の質量を$M,m$とし、その場所の重力加速度を$g$とすると、天秤が釣り合う（両者に作用する重力が等しい）ことを式で書くと$Mg=mg$ であり、$M=m$となる。
天秤ばかりは、分銅の質量と計量物体の質量が同じかどうかを判断する器具であることが分かった。
電気力、磁気力
9章で学ぶ。簡単な説明は、 ウィキブックス（中学校理科 第1分野） の4章を参照のこと。
弾性力とフックの法則
- 高等学校理科 物理I 運動とエネルギー（ウィキブックス）の「2 運動の法則、2.3 弾性力」
摩擦力
圧力
気体や液体の中におかれた物体の表面は、気体や液体から力を受ける。
単位面積の面に働く力を圧力といい、気体の場合は気圧、水の場合は水圧ともいう。
気体で圧力が生じるのは、それらを構成する膨大な個数の分子・原子がいろいろな方向に、はげしく飛び回っているため物体の面に衝突し、力を与えるためである。
水圧は、水の流動性と重力にもとずく。
次の法則が知られている。
①気圧や水圧は、同じ場所ならば、どのような向きの面に対しても一定である。
②下部になるほど、圧力は大きくなる。但し気体の場合はわずかである。
水圧についての法則は、運動法則が必要なので、
４章4節
で学ぶ。
気圧については、「７章 気体の分子運動論」で学ぶ。
作用・反作用の法則に基づく力
力の一般法則
作用・反作用の法則（運動の第3法則）
第一の物体が第二の物体に力（作用と呼ぶ）を及ぼすときは、
第二の物体は第一の物体に力（反作用）を及ぼす。
作用・反作用の力の作用線は同一であり、力の大きさは等しく向きは逆である
という経験則（実験や観測で確かめられた法則のこと）である。
力の合成と分解の法則
一つの質点に、力 $F_1, F_2, \cdots , F_n$ が同時に働いた時と、$F = F_1 + \cdots + F_n$（ベクトルとしての和）という一つの力が働いたときとは、この質点の運動は同一であることが実験により、確かめられている。
このため、力 $F_1, F_2, \cdots , F_n$の和は、力$F = F_1 + \cdots + F_n$と同一であるとみなせる。但しこれらの力の作用点は同じである必要がある。
逆に一つの力を同一点に作用する２つ以上の力の和に分解すると物体の運動を簡単に見つけられることがある。これらについては
- 力(wikipedia) の「4 力の合成と分解」を見てください。
運動の3法則
ニュートンは以下に述べる運動の３法則と万有引力の法則を基本法則として採用した。
これらの４法則と力の合成則を用いて、地上の物体と惑星や彗星の運動のしかたを明らかにした。
これ以降、これらの法則は地上のあらゆる物体（気体、液体、固体）の運動や天体の運動の解明に決定的役割を果たし、
最近まで、万能と思われてきた。
（注）２０世紀になって、この法則がなりたたない現象（光速に近い非常に高速な運動や原子や電子など微小な物質の運動）が認識され、
相対論的力学や量子力学が生まれた。
これらは大学で学ぶ。
運動の第一法則（慣性法則）
慣性法則とは、
慣性系から観測すると、合力(作用する力の合計のこと）が零となる質点は等速直線運動をするという法則であり,
慣性系は存在する
と主張する法則である。
地上で静止した観測系は、ほぼ慣性系とみなせることが、実験の結果、分かっている(地上の物体は地球からの引力を常に受けるので、この力を打ち消し、合力が零となる力が作用する時のみ、等速直線運動を行うことに注意）。
ニュートンは、ガリレオ、デカルトにより、発見された慣性法則を、運動の基本法則の第一番目に採用したのである。
運動の第二法則（運動法則）
一般に、物体がことなれば、同じ大きさの力を加えても、速度の変わり方はことなる。
速度変化への抵抗力が異なるからだと考えられる。
前述のように、ギリシャ時代には、物体の速度$v$ は、加えた力$ｆ$ に比例し、抵抗力$r$に反比例して変わると考えられた。
式で書くと$v \propto f/r$、変形すると $f \propto rv$
しかし慣性法則が発見され、力が作用しないと $v$、 $rv$ は不変であること、従ってアリストテレスの運動法則はあやまりであることが、明らかになった。
また、地球から一定の引力をうけて落下する物体は,速度 $v$ を時間に比例させて増加(すなわち $rv$ を時間に比例させて増加)させることから、
$f\propto r{dv}/{dt}=d(rv)/dt$ と修正することが自然であろう。
比例定数が１となるように単位を選べば$f=r*dv/dt=d(rv)/dt$
これをヴェクトル量として正確に表現し、抵抗力についても正確にしたものが、運動の第２法則である。
この法則の理解には運動変化への抵抗力である慣性質量と運動量という概念が必要である。
慣性質量
ギリシャ時代の運動変化への抵抗力は、主として、物体を取り囲む媒質（空中の物体は空気、水中なら水）からの力であった。
これだと真空にすると抵抗力はなくなり矛盾が生じてしまう。
物質により、同じ力でも、簡単に運動状態を変えるもの、変えないものがあり、運動変化への物質固有の抵抗の大きさがあると考えられる。
経験的には重いもの程、運動を変えにくいことが分かっているので、抵抗の大きさが、重さに関係しそうだが、全く同じかどうかは分からない。
そこでニュートンは、物質がもつ運動変化への抵抗の大きさを、その物質のその固有の性質として認め、慣性質量と名付けた。
運動量
ニュートン以前にも、物質の運動状態そのものをとらえようとして、多くの先人たちによって、運動量の萌芽的概念が唱えられ、運動の法則の表現に用いられてきた。
アリストテレスでいえば、物体に働く強制力 $F$ 、運動への抵抗力 $r$ と物体の速さ $v$ には, $ rv∝F$ という関係があった。
$ rv$を運動量とみなせば、これが、運動量概念を用いた運動法則である。
ガリレオは、重さ $m$、速さ $v$ の物体は、$mv$ という、運動の量を持つと考え、慣性法則を、物質に働く合力が零ならば、その物質の運動量は保存されるという法則とも捉えた。
デカルトは、物体の集合は、その外部から力を受けなければ、運動の量の合計が保たれるように運動すると唱え、運動量保存則の端緒を開いた。
これを２つの玉の衝突問題（衝突後、２つの玉は、どのように運動するか）に利用した。
ホイヘンスは、デカルトの研究をさらに発展させた。
しかし彼等は、部分的にしか正しい結論は得られなかった。
その原因は、運動の方向を考慮できず、速度ベクトルでなく、速さを用いて運動量の定義をしたことにある。
ニュートンは、初めて正しい運動量の概念を与えた。
ニュートンの運動量の定義； 慣性質量$ｍ$で速度ベクトル$\vec v$ を持つ質点の運動量$\vec P$ は、$\vec P=m\vec v$
質点の速さでなく、速度ベクトルを用いて、運動量をベクトル量として捉えたところが
鍵である。
ニュートンは、作用・反作用の法則(運動の第３法則）と運動の第２法則を用いて、運動量の保存則を証明した。後で説明する。
運動量についてさらに知りたい方は以下をどうぞ。
運動の第二法則と微分方程式
この準備のもとで運動の第2法則は、運動量の時間変化は加えた力に等しい、と述べられる。数式で書くと
$d\vec P(t)/dt=\vec F$
この式はベクトル値の時間関数 $\vec P(t)$ の時間 $t$ についての微分項を含むので、微分方程式と呼ばれる。
慣性質量が運動中一定の場合、上式の右辺は
$\frac{d\vec P(t)}{dt}=\frac{dm\vec v(t)}{dt}=m\frac{d\vec v(t)}{dt}=m\frac{d^2\vec x(t)}{d^2t}=m\vec a(t)$
と変形出来る。
この変形は、質点の加速度$\vec a$、速度$\vec v$、位置$\vec x$を求める時に便利である。
例えば、加速度を求めたときは、
$m\vec a(t)=\vec F$ を解いて、$\vec a(t)=\vec F/m$ < br/>
速度を求めたいときは、$m\frac{d\vec v(t)}{dt}=\vec F$を解けば良い。
今後は特に断らないときは力$\vec{F}$は一定として議論をする。
$\vec{F}$ が時間とともに変わる時は、微分方程式の知識が必要なので大学で学ぶ。
第二法則の多義性
第二法則は、質量と加速度（あるいは運動量の時間変化）と力の間の関係を与えるので、色々な意味を持つ。
（１）慣性質量の定義と計測法を与える
加える力が一定のとき、$m\vec a)=\vec F$、ベクトルの絶対値(ノルムともいう）をとると、$m|\vec a)|=|\vec F|$。これより$m=|\vec F|/|\vec a|$。この式が慣性質量の定義を与える。
慣性質量の値は、力や加速度の単位をきめ、これらを数値化しないと、計算できない。しかし通常、力の単位は、質量の単位も使って定義し、質量と加速度を数値化して計算する。従って慣性質量の定義式から直接質量の値を決めることは出来ない。
そこで、基準となる物質を選び、この慣性質量との比で、他の物質の慣性質量を求める。
単位の基準となる物質(質点とみなせる)を選び、慣性質量を$m_{0}$と書く。
質量を計測したい物質の質量を$m$と書く。
この両物質に同じ力$\vec F$を加え、その加速度$\vec a_0,\vec a$を測定する。
運動の第２法則から、$m_{0}\vec a_0=\vec F$、$m\vec a=\vec F$ なので、
$m_{0}\vec a_0=m\vec a$ が得られる。
両辺の絶対値をとると、$m_{0}|\vec a_0|=m|\vec a|$ 。
∴ $m=m_{0}|\vec a_0|/|\vec a|$
基準物質として、１kg(重力質量）を選び、これを１kg(慣性)と名付ければ、慣性質量でもkgの単位が入り、物質の慣性質量が計測できる。
慣性質量と重力質量の等価性
色々な実験により、両質量は一致したので、ニュートンは両者が等価であると考え同一視した。
その後実験に工夫を重ねて非常に大きな精度で両者は一致していることが確かめられた。現在の物理学では両者は等価であるとされている。
（２）力の定義と力の大きさの計測
質量の分かっている質点に力を作用させ、その運動量の時間変化（あるいは加速度）を測れば、力の大きさが分かる。
（３）質量と作用する合力がわかれば、質点の運動(速度、運動量、位置の時間変化）が正確に分かる。
質量と作用する合力の大きさから、$F$ が（力の法則などから）分かると、初期時刻 $0$ の質点の位置と速度を与えれば、この方程式を解いて、任意の時刻 $t \ge 0$ の質点加速度、速度、位置が分かる。
$\quad F$が一定の場合の、方程式の解
$\qquad$質点の質量を$m$、作用する力を$\vec F$（一定）、初期時刻$t=0$における質点位置を$\vec x_0$,初期速度を$\vec v_0$とする。
$\qquad$ 運動方程式;$m (d^2/dt^2)\vec x(t)=\vec F$
$\qquad$ 加速度；$(d^2/dt^2)\vec x(t)=\vec F/m$
$\qquad$ 速度；$\vec{v}(t)=(d/dt)\vec x(t)=(\vec F/m)t+\vec v_0$$\quad$(検算：微分すると加速度$\vec F/m$が得られ,初期速度は$\vec v_0$なので、速度の解である）
$\qquad$ 位置；$\vec{x(t)}=\frac{1}{2}(\vec{F}/m)t^2+\vec{v_0}t+\vec x_0$
$\quad$(検算：初期位置$\vec{x_0}$、$t$で微分すると速度の解となる）
運動の第三法則（作用・反作用の法則）
これについてはすでに３節で説明した。
この法則は,ニュートンが、２つの玉の衝突の問題を考察する際に発見したといわれる。
ガリレイ変換とガリレイの相対性原理
どのような慣性系で観測しても力学の法則は同じであるという原理。 一つの慣性系にたいして等速直線運動する観測系を考えると、力の働いてない物体はやはり、等速直線運動するので慣性系であり、運動の第２、第３法則は成立することを主張している。
この原理は長い間物理学の指導原理となっていたが、２０世紀になって、アインシュタインによって修正された。
