物理/音と音波
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ここで、ξ1=ν+Δ2Δθ 、 <br/> | ここで、ξ1=ν+Δ2Δθ 、 <br/> | ||
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2016年8月30日 (火) 17:24時点における版
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音と音波
音波とは、狭い意味では、空気の粗密の振動が伝わっていく縦波である。
広義には、気体、液体、固体の中を伝わる縦波（粗密波）を音波という。
音波は波なので、反射、屈折、回折、干渉など、波に共通する特有の性質をもつ。
そのため、「4.1 波の性質」で述べたことは、すべて成立する。
音波の伝わり方
音波の速さ
乾燥した空気をつたわる音波の速さ V は
空気温度 t℃ が高くなると早くなり、
V=331.3+0.6t(1)
で表せる(注参照）。
液体や固体中の音波の速さは、空気中よりずっと大きい。
音速の測定や理論研究の歴史、種々の媒質中の音速については、
を参照のこと。
(注) 空気は静止していると仮定している。
一定速度で動く空気中では、
その空気に対する音の相対速度が、式（１）で表される。
音の3要素
音の3要素 とは次の3つである。
（１）音の高さ；
振動数の高い音ほど、高音に聞こえる。
１オクターブ高い音とは、振動数が2倍になることをいう。
ちなみに、人間の耳に聞こえる音は、振動数が20Ｈｚから2万Ｈｚの音である。
可聴音という。
（２）音の強さ；
音には強く聞こえる音と弱く聞こえる音がある。
音の強弱は、媒質の密度、波の振幅と振動数によって決まる。
媒質密度と振動数が同じならば、振幅の大きな音ほど強く聞こえる。
（３）音色；
発音体が違うと振動数と強さが同じ音でも、音の感じが違う。
これを音色あるいは、ねいろという。
波の多くは、波形が正弦関数で表せないので、
振動数や振幅が同じでも、波形が異なるため音色が異なる。
音の性質
以下の（１）から（７）までの音の性質については、
- [[wikibooks_ja:高等学校理科 物理I 波/音波と振動|高等学校理科 物理I 波/音波と振]動]で学んでください。
以下には、簡単に要点を補足をします。
この節では、座標系を考えるときは、空気が静止してみえる慣性座標系を用いる。
（１）音のうなり
振動数（周波数）がわずかに異なり、変位の方向が等しい2つの音波（波）が干渉して、
振動数が中間とみなせ、
振幅がゆっくり周期的(振動数は2つの音波の振動数の差に等しい)に変わる合成波を生ずる現象を言う（注参照）。
一般の波でも、うなりは当然生じる。
（注）
2つの波の変位の方向が同じなので、その方向を、変位量の座標軸(ｙ軸)に選ぶ。すると
音源１と音源２からの正弦波を個別に、ある地点Aで観測すると、
その変位量は,時刻原点を適切に選べば、
y1=A1sin2πν1t
y2=A2sin(2πν2t+θ)
と書ける。
ここで、 |ν1−ν2| は微小数。
この2つの波が同時にA地点にくる場合、その合成波は次の命題で与えられる。
命題；
適切に時間の原点を選び、
ν:=ν1+ν22、 Δ:=ν1−ν22 とおけば、
y(s):=y1(s)+y2(s)=√A21+A22+2A1A2cos(2π2Δs+2ξ1)sin(2πνs+ξ)()
ここで、ξ1=ν+Δ2Δθ 、
ξ は、
tanξ=(A1−A2)sin2πΔs+ξ1(A1+A2)cos2πΔs+ξ1で与えられる。これより2つの正弦波の合成波は、「振動数(周波数)が2つの元の波の振動数の中間で、その振幅が 振動数|2\Delta|=|\nu _{1}-\nu _{2}|振動する波形」に近いことが分かる。証明；\nu_1=\nu+\Delta,\quad \nu_2=\nu-\Deltaなので、y_1=A_1\sin{2\pi \nu _{1}t}=A_1\sin{(2\pi \nu t + 2\pi \Delta t)}y_2=A_2\sin{(2\pi \nu _{2}t +\theta)}=A_2\sin{(2\pi \nu t - 2\pi \Delta t +\theta)}両者の初期位相角が、絶対値が等しく、逆符号になるよう、時間の原点を変えよう。そのため、時間原点を a だけ移動させた時間を s とおくと、t=s+a。これを、上の2つの式に代入して、変形するとy_1=A_1\sin{2\pi \nu s +2\pi \Delta s+(2\pi \nu a+2\pi \Delta a)}y_2=A_2\sin{2\pi \nu s -2\pi \Delta s+(2\pi \nu a-2\pi \Delta a +\theta)}初期位相条件を満たすような a を求めるため、(2\pi \nu a+2\pi \Delta a)=-(2\pi \nu a-2\pi \Delta a +\theta)とおき、a を求めると、a=\frac{-\theta}{4\pi \nu}すると、それぞれの初期位相は、\xi_1=(2\pi \nu +2\pi \Delta )\frac{-\theta}{4\pi \nu}=-\frac{\nu+\Delta}{2\nu}\theta \xi_2=-\left((2\pi \nu -2\pi \Delta)\frac{-\theta}{4\pi \nu} +\theta\right)=-\xi_1このため、y_1=A_1\sin{\left(2\pi \nu s +(2\pi \Delta s+\xi_1)\right)}y_2=A_2\sin{2\pi \nu s -(2\pi \Delta s+\xi_1)これら2式に、三角関数の加法定理を適用すると、y_1=A_1\sin{\left(2\pi \nu s +(2\pi \Delta s+\xi_1)\right)}=A_1\sin{2\pi \nu s}\cos{(2\pi \Delta s+\xi_1)}+A_1\cos{2\pi \nu s}\sin{(2\pi \Delta s+\xi_1)}y_2=A_2\sin{2\pi \nu s}\cos{(2\pi \Delta s+\xi_1)}-A_2\cos{2\pi \nu s}\sin{(2\pi \Delta s+\xi_1)}従ってy=y_1+y_2=(A_1+A_2)\sin{2\pi \nu s}\cos{(2\pi \Delta s+\xi_1)}+(A_1-A_2)\cos{2\pi \nu s}\sin{(2\pi \Delta s+\xi_1)}===‴\lambda と弦の長さ l の間には次の関係が成立つことが分かる。
l=\frac{\lambda}{2}n,\quad (n=1.2,3,,,) 変形すると
\lambda=\frac{2l}{n},\quad (n=1.2,3,,,)
ここで、ｎは定常波の腹の数。
上の式から、\lambda は ｎ の関数であることがわかるので、\lambda_n とかく。
すると
\lambda_n=\frac{2l}{n},\quad (n=1.2,3,,,) \qquad \qquad (2)
腹の数が１の固有振動を基本振動(１倍振動)、n \geq 2の固有振動を、ｎ倍振動と呼ぶ。
進行波の速さをＶとし、ｎ倍振動数を f_n 、その波長を\lambda_n とかくと、
V=f_n \lambda_n
f_n =\frac{V}{2l}n \quad (n=1.2,3,,,) \qquad \qquad (3)
が成立つ。
(注）「1.4.6.3 定常波と進行波」を参照のこと。
'''（２－２）弦を伝わる波の速さ'''
未完
'''（３）発音体の振動（その２）。気柱の振動'''
細長い管の中の柱状の空気のことを気柱という（注参照）。
管中の波は、その両端で反射し、元の波と反射波は重ねあって合成波をつくる。
この合成波は定常波になる。
その波長や周波数（振動数）は、ある固有の値しか取れない。
これらについて学ぶ。
波の変位量としてなにを用いているかで、同じ端でも自由端にも固定端にもなるので注意してください。
(注)管の断面の大きさが音波の波長に比べて小さいと、
管のなかの音波は、管の軸に沿って進む平面波になる。
気柱ではこのような波を扱う。
参考文献；
[[wikibooks_ja:高等学校理科 物理I 波/音波と振動|ウィキブックス(高等学校理科 物理I 波/音波と振動 1.3 気柱の振動)]]
\quad '''(3.1） 気柱の固有振動'''
以下では、管の長さを l ,音速を V_s で表す。
\qquad '''(3.1.1） 閉管の場合'''
図を参照のこと。
[[File:GENPHY00010402-022.pdf|right|frame|図 閉環の中の気柱にできる定常波]]
\qquad \quad 閉管とは、一方が閉じ他端が開放されている音響管のこと。
\qquad \quad この管の定常波は、片方の端が腹で他端が節になる。
\qquad \quad 音を空気の位置の振動とみると、閉端は固定端で定常波の節、開放端は自由端で、定常波の腹になる。
\qquad \quad 疎密波と考えると、閉端は自由端で定常波の腹、開放端は固定端で定常波の節になる。
\qquad \quad 波長が最も長い定常波は、
\qquad \quad 一方の端が腹で他端が節になり、他に腹も節もない波であり、
\qquad \quad '''基本振動'''という。この定常波は、気柱の長さ ｌ の中に\frac{1}{4} 波長あるので、
\qquad \quad 波長は \lambda_1=4l,周波数は f_1=\frac{V_s}{\lambda_1}=\frac{V_s}{4l} である。
\qquad \quad 波長が２蕃目に長い定常波は、
\qquad \quad 節である固定端から \frac{2l}{3} の所にも節をもち、この間は波長の2分の一、
\qquad \quad 残りの部分に波長の4分の一があるので、
\qquad \quad 気柱部分は \frac{3}{4} 波長である。
\qquad \quad 故に波長は \lambda_2=\frac{4l}{3},周波数はf_2=\frac{V_s}{\lambda_2}=\frac{3V_s}{4l}=3f_1で3倍振動である。
\qquad \quad 一般にｎ(\geq 1)番目の振動は、長さｌの気柱の中に
\frac{1}{2}(n-1)+\frac{1}{4}=\frac{2n-1}{4} 波長分あるので、
l=\frac{\lambda_{n}}{2}(n-1) +\frac{\lambda_{n}}{4} \qquad \qquad (a)
\qquad \quad ここで、\lambda_n はこの定常波の波長、\frac{\lambda_{n}}{2} は、節と節の間の距離(=腹と腹の距離)を表す。
\qquad \quad 故に波長 \lambda_n=\frac{4l}{2n-1}、 周波数 f_n=\frac{V_s}{\lambda_n}=\frac{(2n-1)V_s}{4l}=(2n-1)f_1 で,(2n-1)倍振動。
\qquad'''(3.1.2） 開管の場合'''
図を参照のこと。
[[File:GENPHY00010402-03.pdf|right|frame|図 開環の中の気柱の定常波]]
\qquad \quad '''開管'''とは、両端とも開放された音響管のこと。
\qquad \quad 波を空気の位置の振動とみると、両端は自由端であり、
\qquad \quad この管の定常波は、両方とも腹になる。
\qquad \quad 波を粗密波とみると、両端は固定端であり、
\qquad \quad この管の定常波は、両方とも節になる。
\qquad \quad 波長が最も長い定常波は、腹(ないし節)が両端にだけあるもので、
\qquad \quad '''基本振動'''と呼ぶ。長さｌの気柱中に2分の一波長あるので、
\qquad \quad 波長は \lambda_1=2l、周波数(振動数)は f_1=\frac{V_s}{\lambda_1}=\frac{V_s}{2l}である。
\qquad \quad ２番目に波長の長い定常波は、両端と管の真中に腹（あるいは節)がある波で、
\qquad \quad 波長は \lambda_2=l、周波数は f_2=\frac{V_s}{\lambda_2}=\frac{V_s}{l}=2f_1であり、'''2倍振動'''という。
\qquad \quad 一般にｎ(\geq 1)番目の振動は、長さｌの気柱の中に
\frac{1}{2}n 波長分あるので、
\qquad \quad l=\frac{1}{2}n\lambda_n \qquad \qquad (b)
\qquad \quad 故に、波長は \lambda_n=\frac{2l}{n} ,周波数は f_n=\frac{nV_s}{2l} でｎ倍振動。
\qquad'''(3.1.3）両端閉管'''
\qquad \quad 両端とも閉じた音響管を'''両端閉管'''という。
\qquad \quad 管内の空気の疎密波の固有振動は
\qquad \quad 両端を節とする定常波の振動である。
\quad（3.1.4）開口端補正
\qquad \quad これまで開口端の圧力は大気圧と等しい一定値になると仮定し、
\qquad \quad 疎密波として考えると節、空気の位置の振動と考えると、腹になるとしてきた。
\qquad \quad しかし厳密には、開口部から空気を吹き出そうとすると、
\qquad \quad 外の空気から圧力を受けるので、管の入り口は完全に自由に空気の移動ができるわけではない。
\qquad \quad そのため、音を疎密波と考えると節、また空気の位置変動の振動と考えるときには腹は、開口部から少しはみ出す。
\qquad \quad そこで、腹の位置を一層正確に知るためには、この量を補正する必要がある。
\qquad \quad 本テキストでは、この問題は扱わない。
==='''（４）固有振動と共鳴・共振'''===
張った弦や気柱の空気の振動などは、それぞれ固有の定常振動数をもつことが分かった。一般に、振動する系は、それぞれ固有の振動数を持つ。
これを系の'''固有振動'''という。
振動系の固有振動数と等しい振動数の力をこの系に与えると
この系は激しく振動し始める。この現象を'''共鳴'''または'''共振'''と呼ぶ。
これについては下記もご覧ください。
*[[wikipedia_ja:固有振動|ウィキペディア（固有振動）]]
*[[wikipedia_ja:共鳴|ウィキペディア（共鳴）]]
==='''（５）ドップラー効果'''===
皆さんも、日ごろ
救急車のサイレンは、近づいているときは高い音に聞こえ、通り過ぎた瞬間に
低い音にかわることに気付いているでしょう。
一般に、音源の音を、音源に対し動いている人が聞くと、
元の音より高い周波数(＝振動数)や低い周波数に聞こえる。
これを「ドップラー効果」という。
実用上重要な原理なので、やや詳細に議論しよう。
命題１
音速を V_s とする。
音源が周波数ｆの音を出し、静止している観測者に速度 V\gt 0 で近づくとき、
観測者が聞く音の周波数 \tilde{f} は、
\tilde{f}=\frac{V_s}{V_s-V}f \qquad \qquad (4)
である。 ここで、V \lt V_s である。
音源が通り過ぎて遠ざかるようになった瞬間に、観測周波数は急減し、
\tilde{f}=\frac{V_s}{V_s+V}f \qquad \qquad (4')
証明
音源から時刻 t=０ から一秒間だけ音を出すとする。
時刻０での、音源と観測者との距離を L とすると、
この音が観測される時刻は t_1=\frac{L}{V_s}
最後(t=1)の音は、音源と観測者の距離が L-V のとき発せられるので、
観測される時刻は t_2=1+\frac{L-V}{V_s}
この間にf回の振動が観測されるので、一秒間あたりの振動数（周波数）は
\frac{f}{t_2-t_1}=\frac{V_s}{V_s-V}f
命題２
静止音源が周波数ｆの音を出している。
観測者が速さ V(\gt 0) で音源に近づいているときに聞くこの音の周波数 \tilde{f} は、
\tilde{f}=\frac{V_s+V}{V_s}f \qquad \qquad (5)
ここで、 V_s は、音速である。
観測者が音源を通り過ぎた瞬間に、観測音の周波数は急減し、
\tilde{f}=\frac{V_s-V}{V_s}f \qquad \qquad (5')
に変わる。
証明
音源から一秒間(時刻0から、時刻１まで)だけ周波数ｆの音を出すとする。
このときの観測者と音源の距離を L とおく。
すると、速さVで音源に近づく観測者が、
\quad 最初の音を聞く時間 t_1 は、
\qquad L-Vt_1=V_s t_1
\quad 最後の音を聞く時間 t_2 は、
\qquad L-Vt_2=V_s (t_2-1)
これら2式から、
t_2-t_1=\frac{V_s}{V_s+V}
この間に、音はf回 振動しているので、一秒当たりの振動の回数(周波数、振動数)は、
\tilde{f}=\frac{V_s+V}{V_s}f
同様に考えると、
観測者が音源を通り過ぎた瞬間からは、音源から 速さ V で遠ざかるため、
\tilde{f}=\frac{V_s-V}{V_s}f
が、得られる。
次に、一つの直線上を、音源と観測者がともに等速度で運動している場合の
ドップラー効果について考察する。
色々なケースを統一的に扱うため、空気が静止して見える一次元の慣性座標系を
用いる。
命題３
x軸上を、音源は速度 v で等速運動しながら周波数(振動数) f の音を出す。
観測者はx軸上を速度 u で等速運動している。
（１）観測者が音源の負側にいる場合
観測者は、
\tilde{f}=\frac{V_s+u}{V_s+v}f \qquad \qquad (6)
の周波数の音を聞く。 ここで、 V_s は音速である。
（２）観測者が音源の正側にいる場合
観測者は、
\tilde{f}=\frac{V_s-u}{V_s-v}f\qquad \qquad (6')
の周波数の音を聞く。 ここで、 V_s は音速である。
証明
(1)の場合（図参照）
[[File:GENPHY00010402-04.pdf|right|frame|図 ]]
音源が時刻 t \in [0,1] の間だけ、周波数ｆの音を出すと仮定する。
時刻 t=0 における観測者と音源の距離を L とおく。
すると、観測者が最初の音を聞く時刻 t_1 は
L-ut_1=V_st_1
を満たす。
時刻ｔ＝１のときの、観測者と音源の距離は L-u+v なので
観測者が最後の音を聞く時刻 t_2 は、
L-u+v-u(t_2-1)=V_s(t_2-1)
を満たす。
これら2式から
t_2-t_1=\frac{V_s+v}{V_s+u}
この間に、観測者の聞く音は、f回振動しているので、
一秒間あたりの振動の回数(周波数あるいは振動数)は
\tilde{f}=f \div (t_2-t_1)=\frac{V_s+u}{V_s+v}f
(2) 観測者が音源の正側にいる場合
同様にして証明できるので省略。
証明終わり
（注）この命題から、観測者が音源とすれ違うか追い越すと、その瞬間に観測周波数は急変することが分かる。
最後に、超音波による血流速度の測定に応用される命題を説明する。
命題４
周波数fの音を出している固定音源に、観測者がいて、
速さ ｖ で近づく板からの反射音を観測すると、周波数は
\tilde{f}=\frac{V_s+v}{V_s-v}f=(1+\frac{2v}{V_s-v})f
証明
記述を簡単にするため、音源は、時刻０から一秒間だけ音を出すとする。
時刻ｔ＝０ の、音源と板との距離を L とおくと、
時刻 ｔ における音源と板との距離は L(t)=L-vt で表せる。
（１）最初(t=0)にだした音の反射音が聞こえる時刻 t_1
最初の音が出たときの音源と板との距離は L(0)=L
最初の音が板に届く時刻を t^{1}_{1} とする。
この間、音は V_{s}t^{1}_{1} だけ進み、
板は 音源方向に vt^{1}_{1} だけ近づくので、
\quad V_{s}t^{1}_{1}+vt^{1}_{1}=L(0)
故に、 t^{1}_{1}=\frac{L(0)}{V_{s}+v} \qquad \qquad (7)
この時刻に最初の音の反響音が発生する。
このときの反響音源と観測者の距離は、L(t^{1}_{1}) なので、
観測者に到達するまでに要する時間は \frac{L(t^{1}_{1})}{V_s}
故に、
t_1=t^{1}_{1}+\frac{L(t^{1}_{1})}{V_s}\qquad \qquad (8)
（2）最後(t=1)にだした音の反射音が聞こえる時刻 t_2
最後(t=1)の音が出たときの音源と板との距離は L(1) 。
最後の音が板に届く時刻を t^{2}_{1} とする。
この間、音は V_{s}(t^{2}_{1}-1) だけ進み、
板は 音源方向に v(t^{2}_{1}-1) だけ近づくので、
\quad V_{s}(t^{2}_{1}-1)+v(t^{2}_{1}-1)=L(1)
故に、 t^{2}_{1}=\frac{L(1)+V_s+v}{V_{s}+v}= \frac{L(0)+V_s}{V_{s}+v}\qquad \qquad (9)
この時刻に最初の音の反響音が発生する。
このときの反響音源と観測者の距離は、L(t^{2}_{1})
なので、観測者に到達するまでに要する時間は \frac{L(t^{2}_{1})}{V_s}
故に、
t_2=t^{2}_{1}+\frac{L(t^{2}_{1})}{V_s}\qquad \qquad (10)
(3)観測者の聞く反響音の周波数
最初の音の反響音から、最後の音の反響音までの時間は,式(8)、(10)から
T:=t_2-t_1=t^{2}_{1}-t^{1}_{1}+\frac{1}{V_s}(L(t^{2}_{1})-L(t^{1}_{1}))
=(t_2-t_1)(1-\frac{v}{V_s})=\frac{V_s-v}{V_s+v}
この間にf回の振動があるので、周波数は
\tilde{f}=\frac{f}{T}=\frac{V_s+v}{V_s-v}f
命題５（命題4の一般化)
原点にある静止音源Oが、周波数 ｆ で同位相の音を四方に出している。
この音源を通る x 軸上を,
観測者 P_1 と反射板 P_2 がそれぞれ等速 v_1、v_2 で運動している。
前者の時刻 ｔ の位置を L_1(t)=L_{1,0}+v_{1}t と表わし、
後者の時刻 ｔ 位置を L_2(t)=L_{2,0}+v_{2}t と表す。
但し,考察時間[0,T]中は、 0 \lt L_1(t) \lt L_2(t) と仮定し、
音速は V_s とする。
このとき、観測者 P_1 が聞く、
反射板 P_2 による反射音の周波数は、
\tilde{f}=\frac{V_s+v_1}{V_s+v_2}\frac{V_s-v_2}{V_s}f
証明；
記述を簡単にするため、音源は時刻０から一秒間だけ音を出すと仮定する。
この音が反射板で反射し、観測者に聞こえる時間区間
[t^{0}_{P_1},t^{1}_{P_1}] を求めよう。
(1) まず、t=0 に音源から出た音が反射して観測者に届く時刻 t^{0}_{P_1} を求めよう。
2段階にわけて計算する。
1)、最初(t=0)の音が反射板で反射する時刻 t^{0}_{P_2} 。
音は x 軸の正方向にも速度 V_s で進むので、時刻 t^{0}_{P_2} には、 座標 V_{s}t^{0}_{P_2} の点に達する。
時刻 t^{0}_{P_2} における反射板の位置は、 L_2(t^{0}_{P_2})=L_{2,0}+v_{2}t^{0}_{P_2} なので、
V_{s}t^{0}_{P_2}=L_{2,0}+v_{2}t^{0}_{P_2}
これより、t^{0}_{P_2}=\frac{L_{2,0}}{V_s-v_2}
2) 反射音が観測者に届く時刻 t^{0}_{P_1} 。
反射板 P_2 で反射した音は、ｘ軸 の負方向に V_s の速さで進む。
他方、観測者は ｘ軸 の正方向に、速さ v_1 で進むので
両者は V_s+v_1 の速さで近づく。
音が反射した瞬間の、観測者と反射板の距離は L_2(t^{0}_{P_2})-L_1(t^{0}_{P_2})
そこで、音が反射後、観測者に届くまでにかかる時間は、
\frac{L_2(t^{0}_{P_2})-L_1(t^{0}_{P_2})}{V_s+v_1}
=\frac{(L_{2,0}-L_{1,0})+(v_2-v_1)t^{0}_{P_2}}{V_s+v_1}
故に、
t^{0}_{P_1}=t^{0}_{P_2}+\frac{(L_{2,0}-L_{1,0})+(v_2-v_1)t^{0}_{P_2}}{V_s+v_1}
=\frac{L_{2,0}-L_{1,0}}{V_s+v_1}+(1+\frac{v_2-v_1}{V_s+v_1})t^{0}_{P_2}
=\frac{L_{2,0}-L_{1,0}}{V_s+v_1}+\frac{V_S+v_2}{V_s+v_1}t^{0}_{P_2}\qquad \qquad (a)
(2) t=1 に音源から出た音が反射して観測者に届く時刻 t^{0}_{P_1} を求めよう。
t=0 の時と同様に考えればよいので、概略を示す。
１）t=1 に音源から出た音が反射板に到達する時刻 t^{1}_{P_2} ；
(t^{1}_{P_2}-1)V_s=L_2(t^{1}_{P_2})=L_{2,0}+v_{2}t^{1}_{P_2}
を満たす。
これを解くと、
t^{1}_{P_2}=\frac{L_{2,0}+V_s}{V_s-v_2}
２））t=1 に音源から出た音が反射して観測者に到達する時刻 t^{1}_{P_1} ；
反射した瞬間の観測者と反射板の距離は L_2(t^{1}_{P_2})-L_1(t^{1}_{P_2})
反射後、反射音が観測者まで届くにに要する時間は \frac{L_2(t^{1}_{P_2})-L_1(t^{1}_{P_2})}{V_s+v_1}
故に
t^{1}_{P_1}=t^{1}_{P_2}+\frac{L_2(t^{1}_{P_2})-L_1(t^{1}_{P_2})}{V_s+v_1}
=\frac{(L_{2,0}-L_{1,0})}{V_s+v_1}+\frac{V_s+v_2}{V_s+v_1}t^{1}_{P_2}=\frac{(L_{2,0}-L_{1,0})}{V_s+v_1}+\frac{V_s+v_2}{V_s+v_1}\frac{L_{2,0}+V_s}{V_s-v_2}
(3) 観測者が聞く反射音の周波数
以上から、観測者は
時間間隔 \delta t:=t^{1}_{P_2}-t^{0}_{P_2} の間に
f 回の振動音を聞くことが分かった。
従って、その周波数（振動数） \tilde{f} は、
\tilde{f}=\frac{f}{\delta t}=\frac{V_s+v_2}{V_s+v_1}\frac{V_s}{V_s-v_2}f$
（７）音の干渉
音も波なので、波の重ね合わせの原理が成立つ。
そのため一般の波でおこる干渉も起こる。
