物理/音と音波
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周波数fの音を出している固定音源に、観測者がいて、<br/> | 周波数fの音を出している固定音源に、観測者がいて、<br/> | ||
速さ ｖ で近づく板からの反射音を観測すると、<br/> | 速さ ｖ で近づく板からの反射音を観測すると、<br/> | ||
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2016年8月6日 (土) 08:53時点における版
目次 |
音と音波
音波とは、狭い意味では、空気の粗密の振動が伝わっていく縦波である。
広義には、気体、液体、固体の中を伝わる縦波（粗密波）を音波という。
音波は波なので、反射、屈折、回折、干渉など、波に共通する特有の性質をもつ。
そのため、「4.1 波の性質」で述べたことは、すべて成立する。
音波の伝わり方
音波の速さ
乾燥した空気をつたわる音波の速さ $V$ は
空気温度 t℃ が高くなると早くなり、
$V=331.3+0.6 t \qquad \qquad (1)$
で表せる。
液体や固体中の音波の速さは、空気中よりずっと大きい。
音速の測定や理論研究の歴史、種々の媒質中の音速については、
を参照のこと。
音の3要素
音の3要素 とは次の3つである。
（１）音の高さ；
振動数の高い音ほど、高音に聞こえる。
１オクターブ高い音とは、振動数が2倍になることをいう。
ちなみに、人間の耳に聞こえる音は、振動数が20Ｈｚから2万Ｈｚの音である。
可聴音という。
（２）音の強さ；
音には強く聞こえる音と弱く聞こえる音がある。
音の強弱は、媒質の密度、波の振幅と振動数によって決まる。
媒質密度と振動数が同じならば、振幅の大きな音ほど強く聞こえる。
（３）音色；
発音体が違うと振動数と強さが同じ音でも、音の感じが違う。
これを音色あるいは、ねいろという。
波の多くは、波形が正弦関数で表せないので、
振動数や振幅が同じでも、波形が異なるため音色が異なる。
音の性質
以下の（１）から（７）までの音の性質については、
- [[wikibooks_ja:高等学校理科 物理I 波/音波と振動|高等学校理科 物理I 波/音波と振]動]で学んでください。
以下には、簡単に要点を補足をします。
この節では、座標系を考えるときは、空気が静止してみえる慣性座標系を用いる。
（１）音のうなり
振動数（または周波数）がわずかに異なる2つの音波（波）が干渉して、
振動数が中間とみなせる、
振幅がゆっくり周期的に変わる合成波を生ずる現象を言う。
（２）発音体の振動（その１）。弦の固有振動
張った弦をこすったり、はじいて振動させると、波が起き、両側に進行し、固定端で反射する。
反射波と進行波は重なり合って合成波である定常波ができる（注参照）。
弦の両端は固定され振動しないので、定常波の節になる。
この定常波の振動を、弦の固有振動、その振動数を固有振動数という。
（２－１）定常波の波長
両端の変位が零であることから、定常波動の波長 $\lambda$ と弦の長さ $l$ の間には次の関係が成立つことが分かる。
$l=\frac{\lambda}{2}n,\quad (n=1.2,3,,,)$ 変形すると
$\lambda=\frac{2l}{n},\quad (n=1.2,3,,,)$
ここで、ｎは定常波の腹の数。
上の式から、$\lambda$ は ｎ の関数であることがわかるので、$\lambda_n$ とかく。
すると
$\lambda_n=\frac{2l}{n},\quad (n=1.2,3,,,) \qquad \qquad (1)$
腹の数が１の固有振動を基本振動(１倍振動)、$n \geq 2$の固有振動を、ｎ倍振動と呼ぶ。
進行波の速さをＶとし、ｎ倍振動数を $f_n$ 、その波長を$\lambda_n$ とかくと、
$V=f_n \lambda_n$
$f_n =\frac{V}{2l}n \quad (n=1.2,3,,,) \qquad \qquad (2)$
が成立つ。
(注）「1.4.6.3 定常波と進行波」を参照のこと。
（２－２）弦を伝わる波の速さ
未完
（３）発音体の振動（その２）。気柱の振動
管の中の柱状の空気のことを気柱という。
管中の波は、その両端で反射し、元の波と反射波は重ねあって合成波をつくる。
この合成波は定常波になる。
その波長や周波数（振動数）は、ある固有の値しか取れない。
これらについて学ぶ。
波の変位量としてなにを用いているかで、同じ端でも自由端にも固定端にもなるので注意してくださ
い。
ウィキブックス(高等学校理科 物理I 波/音波と振動 1.3 気柱の振動)
$\quad $（3.1） 気柱の固有振動
$\quad $（3.2） 閉管の場合
$\qquad $ 閉管とは、一方が閉じ他端が開放されている音響管のこと。
$\qquad $ この管の定常波は、片方の端が腹で他端が節になる。
$\quad$（3.3） 開管の場合
$\qquad$ 開管とは、両端とも開放された音響管のこと。
$\qquad$ 波を空気の位置の振動とみると、両端は自由端であり、
$\qquad$ この管の定常波は、両方とも腹になる。
$\qquad$ 波を粗密の振動とみると、両端は固定端であり、
$\qquad$ この管の定常波は、両方とも節になる。
$\quad$（3.4） 開口端補正
なお、両端とも閉じた音響管を両端閉管という。管内の空気の固有振動は
両端を節とする定常波の振動である。
（４）固有振動と共鳴・共振
気柱の空気の振動など、振動する系は、それぞれ固有の振動数を持つ。
これを系の固有振動という。
振動系の固有振動数と等しい振動数の力をこの系に与えると
この系は激しく振動し始める。この現象を共鳴または共振と呼ぶ。
これについては下記もご覧ください。
（５）ドップラー効果
皆さんも、日ごろ
救急車のサイレンは、近づいているときは高い音に聞こえ、通り過ぎた瞬間に
低い音にかわることに気付いているでしょう。
一般に、音源の音を、音源に対し動いている人が聞くと、
元の音より高い周波数(＝振動数)や低い周波数に聞こえる。
これを「ドップラー効果」という。
命題１
音速を $V_s$ とする。
音源が周波数ｆの音を出し、静止している観測者に速度 V$\gt 0$ で近づくとき、
観測者が聞く音の周波数 $\tilde{f}$ は、
$\tilde{f}=\frac{V_s}{V_s-V}f \qquad \qquad (3)$
である。 ここで、$V \lt V_s$ である。
音源が通り過ぎて遠ざかるようになった瞬間に、観測周波数は急減し、
$\tilde{f}=\frac{V_s}{V_s+V}f \qquad \qquad (3')$
証明
音源から時刻 t=０ から一秒間だけ音を出すとする。
時刻０での、音源と観測者との距離を $L$ とすると、
この音が観測される時刻は $t_1=\frac{L}{V_s}$
最後(t=1)の音は、音源と観測者の距離が $L-V$ のとき発せられるので、
観測される時刻は $t_2=1+\frac{L-V}{V_s}$
この間にf回の振動が観測されるので、一秒間あたりの振動数（周波数）は
$\frac{f}{t_2-t_1}=\frac{V_s}{V_s-V}f$
命題２
静止音源が周波数ｆの音を出している。
観測者が速さ V($\gt 0$) で音源に近づいているときに聞くこの音の周波数 $\tilde{f}$ は、
$\tilde{f}=\frac{V_s+V}{V_s}f \qquad \qquad (4)$
ここで、 $V_s$ は、音速である。
観測者が音源を通り過ぎた瞬間に、観測音の周波数は急減し、
$\tilde{f}=\frac{V_s-V}{V_s}f \qquad \qquad (4')$
に変わる。
証明
音源から一秒間(時刻0から、時刻１まで)だけ周波数ｆの音を出すとする。
このときの観測者と音源の距離を L とおく。
すると、速さVで音源に近づく観測者が、
$\quad $ 最初の音を聞く時間 $t_1$ は、
$\qquad $ $L-Vt_1=V_s t_1$
$\quad $ 最後の音を聞く時間 $t_2$ は、
$\qquad $ $L-Vt_2=V_s (t_2-1)$
これら2式から、
$t_2-t_1=\frac{V_s}{V_s+V}$
この間に、音はf回 振動しているので、一秒当たりの振動の回数(周波数、振動数)は、
$\tilde{f}=\frac{V_s+V}{V_s}f$
同様に考えると、
観測者が音源を通り過ぎた瞬間からは、音源から 速さ V で遠ざかるため、
$\tilde{f}=\frac{V_s-V}{V_s}f$
が、得られる。
次に、一つの直線上を、音源と観測者がともに等速度で運動している場合の
ドップラー効果について考察する。
色々なケースを統一的に扱うため、空気が静止して見える一次元の慣性座標系を
用いる。
命題３
x軸上を、音源は速度 $v$ で等速運動しながら周波数(振動数)ｆの音を出す。
観測者はx軸上を速度 $u $ で等速運動している。
（１）観測者が音源の負側にいる場合
観測者は、
$\tilde{f}=\frac{V_s+u}{V_s+v}f \qquad \qquad (5)$
の周波数の音を聞く。 ここで、 $V_s$ は音速である。
（２）観測者が音源の正側にいる場合
観測者は、
$\tilde{f}=\frac{V_s-u}{V_s-v}f\qquad \qquad (5')$
の周波数の音を聞く。 ここで、 $V_s$ は音速である。
証明
証明終わり
（注）この命題から、観測者が音源とすれ違うか追い越すと、その瞬間に観測周波数は急変することが分かる。
最後に、超音波による血流速度の測定に応用される命題を説明する。
命題４
周波数fの音を出している固定音源に、観測者がいて、
速さ ｖ で近づく板からの反射音を観測すると、
$\tilde{f}=\frac{V_s+v}{V_s-v}}f=(1+\frac{2v}{V_s-v})f$
（７）音の干渉
音も波なので、波の重ね合わせの原理が成立つ。
そのため一般の波でおこる干渉も起こる。
