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2016年8月8日 (月) 17:44時点における版

音と音波

音波とは、狭い意味では、空気の粗密の振動が伝わっていく縦波である。
広義には、気体、液体、固体の中を伝わる縦波（粗密波）を音波という。
音波は波なので、反射、屈折、回折、干渉など、波に共通する特有の性質をもつ。
そのため、「4.1　波の性質」で述べたことは、すべて成立する。

音波の伝わり方

音波の速さ

乾燥した空気をつたわる音波の速さ　$V$　は
空気温度 t℃　が高くなると早くなり、
$V=331.3+0.6 t \qquad \qquad (1)$
で表せる(注参照）。
液体や固体中の音波の速さは、空気中よりずっと大きい。
音速の測定や理論研究の歴史、種々の媒質中の音速については、

• ウィキペディア(音速)

を参照のこと。

(注)　空気は静止していると仮定している。
一定速度で動く空気中では、
その空気に対する音の相対速度が、式（１）で表される。

音の3要素

音の3要素 とは次の3つである。

（１）音の高さ；
振動数の高い音ほど、高音に聞こえる。
１オクターブ高い音とは、振動数が2倍になることをいう。
ちなみに、人間の耳に聞こえる音は、振動数が20Ｈｚから2万Ｈｚの音である。
可聴音という。
（２）音の強さ；
音には強く聞こえる音と弱く聞こえる音がある。
音の強弱は、媒質の密度、波の振幅と振動数によって決まる。
媒質密度と振動数が同じならば、振幅の大きな音ほど強く聞こえる。
（３）音色；
発音体が違うと振動数と強さが同じ音でも、音の感じが違う。
これを音色あるいは、ねいろという。
波の多くは、波形が正弦関数で表せないので、
振動数や振幅が同じでも、波形が異なるため音色が異なる。

音の性質

以下の（１）から（７）までの音の性質については、

• [[wikibooks_ja:高等学校理科 物理I 波/音波と振動|高等学校理科 物理I 波/音波と振]動]で学んでください。
  

以下には、簡単に要点を補足をします。
この節では、座標系を考えるときは、空気が静止してみえる慣性座標系を用いる。

（１）音のうなり
振動数（または周波数）がわずかに異なる2つの音波（波）が干渉して、
振動数が中間とみなせる、
振幅がゆっくり周期的に変わる合成波を生ずる現象を言う。

• ウィキペディア(うなり)

（２）発音体の振動（その１）。弦の固有振動
張った弦をこすったり、はじいて振動させると、波が起き、両側に進行し、固定端で反射する。
反射波と進行波は重なり合って合成波である定常波ができる（注参照）。
弦の両端は固定され振動しないので、定常波の節になる。

この定常波の振動を、弦の固有振動、その振動数を固有振動数という。
（２－１）定常波の波長
両端の変位が零であることから、定常波動の波長　$\lambda$　と弦の長さ　$l$　の間には次の関係が成立つことが分かる。
$l=\frac{\lambda}{2}n,\quad (n=1.2,3,,,)$　変形すると
$\lambda=\frac{2l}{n},\quad (n=1.2,3,,,)$
ここで、ｎは定常波の腹の数。
上の式から、$\lambda$　は　ｎ　の関数であることがわかるので、$\lambda_n$ とかく。
すると
$\lambda_n=\frac{2l}{n},\quad (n=1.2,3,,,) \qquad \qquad (1)$
腹の数が１の固有振動を基本振動(１倍振動)、$n \geq 2$の固有振動を、ｎ倍振動と呼ぶ。

ファイル:GENPHY00010402-01.pdf

進行波の速さをＶとし、ｎ倍振動数を $f_n$　、その波長を$\lambda_n$　とかくと、 $V=f_n \lambda_n$　
$f_n =\frac{V}{2l}n \quad (n=1.2,3,,,) \qquad \qquad (2)$
が成立つ。

(注）「1.4.6.3 定常波と進行波」を参照のこと。

（２－２）弦を伝わる波の速さ
未完
（３）発音体の振動（その２）。気柱の振動
管の中の柱状の空気のことを気柱という。
管中の波は、その両端で反射し、元の波と反射波は重ねあって合成波をつくる。
この合成波は定常波になる。
その波長や周波数（振動数）は、ある固有の値しか取れない。
これらについて学ぶ。
波の変位量としてなにを用いているかで、同じ端でも自由端にも固定端にもなるので注意してくださ

い。
ウィキブックス(高等学校理科 物理I 波/音波と振動 1.3 気柱の振動)
$\quad $（3.1） 気柱の固有振動
$\quad $（3.2）　閉管の場合
$\qquad $　閉管とは、一方が閉じ他端が開放されている音響管のこと。
$\qquad $ この管の定常波は、片方の端が腹で他端が節になる。
$\quad$（3.3）　開管の場合
$\qquad$　開管とは、両端とも開放された音響管のこと。
$\qquad$　波を空気の位置の振動とみると、両端は自由端であり、
$\qquad$　この管の定常波は、両方とも腹になる。
$\qquad$　波を粗密の振動とみると、両端は固定端であり、
$\qquad$　この管の定常波は、両方とも節になる。
$\quad$（3.4）　開口端補正

なお、両端とも閉じた音響管を両端閉管という。管内の空気の固有振動は 両端を節とする定常波の振動である。

（４）固有振動と共鳴・共振
気柱の空気の振動など、振動する系は、それぞれ固有の振動数を持つ。
これを系の固有振動という。
振動系の固有振動数と等しい振動数の力をこの系に与えると
この系は激しく振動し始める。この現象を共鳴または共振と呼ぶ。
これについては下記もご覧ください。

• ウィキペディア（固有振動）
• ウィキペディア（共鳴）

（５）ドップラー効果
皆さんも、日ごろ
救急車のサイレンは、近づいているときは高い音に聞こえ、通り過ぎた瞬間に
低い音にかわることに気付いているでしょう。
一般に、音源の音を、音源に対し動いている人が聞くと、 元の音より高い周波数(＝振動数)や低い周波数に聞こえる。 これを「ドップラー効果」という。

命題１
音速を $V_s$　とする。
音源が周波数ｆの音を出し、静止している観測者に速度　V$\gt 0$　で近づくとき、
観測者が聞く音の周波数　$\tilde{f}$　は、
$\tilde{f}=\frac{V_s}{V_s-V}f　\qquad \qquad (3)$　
である。　ここで、$V \lt V_s$　である。
音源が通り過ぎて遠ざかるようになった瞬間に、観測周波数は急減し、
$\tilde{f}=\frac{V_s}{V_s+V}f　\qquad \qquad (3')$　

証明　
音源から時刻　t=０　から一秒間だけ音を出すとする。
時刻０での、音源と観測者との距離を　$L$　とすると、
この音が観測される時刻は　$t_1=\frac{L}{V_s}$
最後(t=1)の音は、音源と観測者の距離が　$L-V$　のとき発せられるので、
観測される時刻は　$t_2=1+\frac{L-V}{V_s}$　
この間にf回の振動が観測されるので、一秒間あたりの振動数（周波数）は
$\frac{f}{t_2-t_1}=\frac{V_s}{V_s-V}f$

命題２
静止音源が周波数ｆの音を出している。
観測者が速さ　V($\gt 0$)　で音源に近づいているときに聞くこの音の周波数 $\tilde{f}$ は、
$\tilde{f}=\frac{V_s+V}{V_s}f　\qquad \qquad (4)$
ここで、　$V_s$　は、音速である。
観測者が音源を通り過ぎた瞬間に、観測音の周波数は急減し、 $\tilde{f}=\frac{V_s-V}{V_s}f　\qquad \qquad (4')$
に変わる。

証明
音源から一秒間(時刻0から、時刻１まで)だけ周波数ｆの音を出すとする。
このときの観測者と音源の距離を　L　とおく。
すると、速さVで音源に近づく観測者が、
$\quad $ 最初の音を聞く時間　$t_1$　は、
$\qquad $ $L-Vt_1=V_s t_1$
$\quad $ 最後の音を聞く時間　$t_2$　は、
$\qquad $ $L-Vt_2=V_s (t_2-1)$
これら2式から、
$t_2-t_1=\frac{V_s}{V_s+V}$ この間に、音はf回　振動しているので、一秒当たりの振動の回数(周波数、振動数)は、
$\tilde{f}=\frac{V_s+V}{V_s}f$
同様に考えると、 観測者が音源を通り過ぎた瞬間からは、音源から　速さ　V　で遠ざかるため、 $\tilde{f}=\frac{V_s-V}{V_s}f$
が、得られる。

次に、一つの直線上を、音源と観測者がともに等速度で運動している場合の
ドップラー効果について考察する。
色々なケースを統一的に扱うため、空気が静止して見える一次元の慣性座標系を 用いる。

命題３
x軸上を、音源は速度　$v$　で等速運動しながら周波数(振動数)ｆの音を出す。 観測者はx軸上を速度　$u $　で等速運動している。
（１）観測者が音源の負側にいる場合
観測者は、
$\tilde{f}=\frac{V_s+u}{V_s+v}f \qquad \qquad (5)$
の周波数の音を聞く。 ここで、　$V_s$　は音速である。
（２）観測者が音源の正側にいる場合
観測者は、
$\tilde{f}=\frac{V_s-u}{V_s-v}f\qquad \qquad (5')$
の周波数の音を聞く。 ここで、　$V_s$　は音速である。

証明
(1)の場合（図参照）

ファイル:GENPHY00010402-02.pdf

音源が時刻　$t \in [0,1]$　の間だけ、周波数ｆの音を出すと仮定する。
時刻　t=0　における観測者と音源の距離を　L　とおく。
すると、観測者が最初の音を聞く時刻　$t_1$　は
$L-ut_1=V_st_1$
を満たす。
時刻ｔ＝１のときの、観測者と音源の距離は　$L-u+v$ なので
観測者が最後の音を聞く時刻　$t_2$　は、
$L-u+v-u(t_2-1)=V_s(t_2-1)$
を満たす。
これら2式から
$t_2-t_1=\frac{V_s+v}{V_s+u}$
この間に、観測者の聞く音は、f回振動しているので、
一秒間あたりの振動の回数(周波数あるいは振動数)は
$\tilde{f}=f \div (t_2-t_1)=\frac{V_s+u}{V_s+v}f$

(2)　観測者が音源の正側にいる場合
同様にして証明できるので省略。
証明終わり

（注）この命題から、観測者が音源とすれ違うか追い越すと、その瞬間に観測周波数は急変することが分かる。

最後に、超音波による血流速度の測定に応用される命題を説明する。
命題４
周波数fの音を出している固定音源に、観測者がいて、
速さ　ｖ　で近づく板からの反射音を観測すると、周波数は
$\tilde{f}=\frac{V_s+v}{V_s-v}f=(1+\frac{2v}{V_s-v})f$

証明
記述を簡単にするため、音源は、時刻０から一秒間だけ音を出すとする。
時刻ｔ＝０　の、音源と板との距離を　L　とおくと、
時刻　ｔ　における音源と板との距離は　$L(t)=L-vt$　で表せる。
（１）最初(t=0)にだした音の反射音が聞こえる時刻　$t_1$
最初の音が出たときの音源と板との距離は　$L(0)=L$。
最初の音が板に届く時刻を　$t^{1}_{1}$　とする。
この間、音は　$V_{s}t^{1}_{1}$　だけ進み、 板は　音源方向に　$vt^{1}_{1}$　だけ近づくので、
$\quad V_{s}t^{1}_{1}+vt^{1}_{1}=L(0)$
故に、　$t^{1}_{1}=\frac{L(0)}{V_{s}+v} \qquad \qquad ()$ この時刻に最初の音の反響音が発生する。
このときの反響音源と観測者の距離は、$L(t^{1}_{1})$
なので、観測者に到達するまでに要する時間は　$\frac{L(t^{1}_{1})}{V_s}$
故に、
$t_1=t^{1}_{1}+\frac{L(t^{1}_{1})}{V_s}\qquad \qquad ()$
（2）最後(t=1)にだした音の反射音が聞こえる時刻　$t_2$
最後(t=1)の音が出たときの音源と板との距離は　$L(1)$。
最後の音が板に届く時刻を　$t^{2}_{1}$　とする。
この間、音は　$V_{s}(t^{2}_{1}-1)$　だけ進み、 板は　音源方向に　$v(t^{2}_{1}-1)$　だけ近づくので、
$\quad V_{s}(t^{2}_{1}-1)+v(t^{2}_{1}-1)=L(1)$
故に、　$t^{2}_{1}=\frac{L(1)+V_s+v}{V_{s}+v}= \frac{L(0)+V_s}{V_{s}+v}\qquad \qquad ()$
この時刻に最初の音の反響音が発生する。
このときの反響音源と観測者の距離は、$L(t^{2}_{1})$
なので、観測者に到達するまでに要する時間は　$\frac{L(t^{2}_{1})}{V_s}$
故に、
$t_2=t^{2}_{1}+\frac{L(t^{2}_{1})}{V_s}\qquad \qquad ()$
(3)観測者の聞く反響音の周波数
最初の音の反響音から、最後の音の反響音までの時間は,式()、()から
$T:=t_2-t_1=$t^{2}_{1}-t^{1}_{1}+\frac{1}{V_s}(L(t^{2}_{1})-L(t^{1}_{1}))$
$=(t_2-t_1)(1-\frac{v}{V_s}=\frac{V_s-v}{V_s+v}$
この間にf回の振動があるので、周波数は
$\tilde{f}=\frac{f}{T}=\frac{V_s+v}{V_s-v}f$

（７）音の干渉
音も波なので、波の重ね合わせの原理が成立つ。
そのため一般の波でおこる干渉も起こる。