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| | =「9章 物理数学(2)多変数の解析学と常微分方程式」= | | =「9章 物理数学(2)多変数の解析学と常微分方程式」= |
| - | この章では、多変数関数を対象にした解析学と常微分方程式について紹介する。 | + | この章では、多変数関数を対象にした解析学と常微分方程式について紹介する。<br/><br/> |
| - | | + | 目次<br/> |
| - | ==多変数の実数値関数の微分 ==
| + | *9.1 [[物理/多変数解析学|多変数解析学]] |
| - | ${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開区間 <br/>
| + | *5.2 [[物理/ベクトル解析|ベクトル解析]] |
| - | $I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$を考える。<br/>
| + | *5.3 [[物理/常微分方程式|常微分方程式]] |
| - | 一変数関数の議論から類推するために<br/>
| + | |
| - | 以後、${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。<br/>
| + | |
| - | この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。<br/>
| + | |
| - | 一変数の微分から類推すると<br/>
| + | |
| - | 微小なベクトル $h=(h_1,h_2,,,h_n)$ を考え、極限<br/>
| + | |
| - | $\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }$<br/>
| + | |
| - | が存在するとき、関数ｆは微分可能と定義することが考えられる。<br/>
| + | |
| - | しかし残念ながら、<br/>
| + | |
| - | ${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
| + | |
| - | ===偏微分===
| + | |
| - | そこで、$f$ の変数 $\bf x$ の第i成分 $x_i$ だけを変数とし、<br/>
| + | |
| - | 他の変数は固定 $\left(x_j=x_{j,0}(j\neq i)\right)$ して得られる一変数関数<br/>
| + | |
| - | $\phi^{i}(x_i)$
| + | |
| - | $:=f(\bf x),$ （ここで$\quad x_j=x_{j,0}(j\neq i)$）<br/>
| + | |
| - | を考える。<br/>
| + | |
| - | この関数は、一変数なので、その微分 <br/>
| + | |
| - | $\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }$<br/> <br/>
| + | |
| - | を考えることができる。<br/><br/>
| + | |
| - | 定義（偏微分）<br/>
| + | |
| - | 変数 $\bf x$ の第i成分以外は、$x_j=x_{j,0}(j\neq i)$ に固定する。<br/>
| + | |
| - | もし、$\phi^i(x_i)=f(\bf x)$ が $x_{i}=x_{i,0}$ で微分可能ならば、<br/>
| + | |
| - | 関数ｆは、$\bf x=(x_{1,0}, x_{2,0},,,x_{n,0})$ において、$x_i$ に関して'''偏微分可能'''のであると言い,<br/>
| + | |
| - | $\frac{\partial f}{\partial x_i} :=\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}$<br/>
| + | |
| - | を、$f(\bf x)$ の $\bf x=(x_{1,0},x_{2,0},,,x_{n,0}$ における、$x_i$ に関する'''偏微分係数'''という。<br/><br/>
| + | |
| - | 定義（偏導関数）<br/>
| + | |
| - | $R^n$ のある集合 $G$ の内部の全ての点$\bf x$で<br/>
| + | |
| - | $f(\bf x)$ が $x_i$ に関して偏微分可能であるならば、<br/>
| + | |
| - | $G$ の内部の全ての点$\bf x$に、そこでの $x_i$ に関する偏微分係数を対応させると、新しい関数が得られる。<br/>
| + | |
| - | これを、$f(\bf x)$ の $x_i$ に関する偏導関数といい、記号<br/>
| + | |
| - | $f_{x_[i]}(\bf x),\quad D_{x_i}f(\bf x),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\bf x),\quad \partial f/\partial x_i$<br/>
| + | |
| - | などで表示する。<br/><br/>
| + | |
| - | *[[wikipedia_ja:偏微分 |ウィキペディア(偏微分)]] | + | |
| - | 定理（合成関数の微分）<br/>
| + | |
| - | $R^2$ から $R$ への関数$f(x,y)$ と<br/>
| + | |
| - | $R$ から $R$ への関数$g(x,y)$ の合成関数 <br/>
| + | |
| - | $h(x,y)=g(f(x,y)$ <br/>
| + | |
| - | を考える。<br/>
| + | |
| - | もし、$f(x,y)$ が $(x_0,y_0)$ で、ｘに関して偏微分可能で,<br/>
| + | |
| - | $\quad g(x,y)$ が、$z_0=f(x_0,y_0)$ において微分可能ならば、<br/>
| + | |
| - | $h(x,y)=g(f(x,y)$ は $(x_0,y_0)$ で、ｘに関して偏微分可能であり,<br/>
| + | |
| - | ====方向微分====
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| - | | + | |
| - | ===微分(全微分） ===
| + | |
| - | 定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数<br/>
| + | |
| - | 定理１；<br/>
| + | |
| - | 微分可能ならば、偏微分可能<br/><br/>
| + | |
| - | 定理２<br/>
| + | |
| - | $C^{1}$級の関数は微分可能<br/>
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| - | | + | |
| - | == ベクトル解析 ==
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| - | == 常微分方程式 ==
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| - | =
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| - | ==多変数の実数値関数の微分 ==
| + | |
| - | ${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開区間 <br/>
| + | |
| - | $I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$を考える。<br/>
| + | |
| - | 一変数関数の議論から類推するために<br/>
| + | |
| - | 以後、${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。<br/>
| + | |
| - | この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。<br/>
| + | |
| - | 一変数の微分から類推すると<br/>
| + | |
| - | 微小なベクトル $h=(h_1,h_2,,,h_n)$ を考え、極限<br/>
| + | |
| - | $\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }$<br/>
| + | |
| - | が存在するとき、関数ｆは微分可能と定義することが考えられる。<br/>
| + | |
| - | しかし残念ながら、<br/>
| + | |
| - | ${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
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| - | ===偏微分===
| + | |
| - | そこで、$f$ の変数 $\bf x$ の第i成分 $x_i$ だけを変数とし、<br/>
| + | |
| - | 他の変数は固定 $\left(x_j=x_{j,0}(j\neq i)\right)$ して得られる一変数関数<br/>
| + | |
| - | $\phi^{i}(x_i)$
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| - | $:=f(\bf x),$ （ここで$\quad x_j=x_{j,0}(j\neq i)$）<br/>
| + | |
| - | を考える。<br/>
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| - | この関数は、一変数なので、その微分 <br/>
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| - | $\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }$<br/> <br/>
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| - | を考えることができる。<br/><br/>
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| - | 定義（偏微分）<br/>
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| - | 変数 $\bf x$ の第i成分以外は、$x_j=x_{j,0}(j\neq i)$ に固定する。<br/>
| + | |
| - | もし、$\phi^i(x_i)=f(\bf x)$ が $x_{i}=x_{i,0}$ で微分可能ならば、<br/>
| + | |
| - | 関数ｆは、$\bf x=(x_{1,0}, x_{2,0},,,x_{n,0})$ において、$x_i$ に関して'''偏微分可能'''のであると言い,<br/>
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| - | $\frac{\partial f}{\partial x_i} :=\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}$<br/>
| + | |
| - | を、$f(\bf x)$ の $\bf x=(x_{1,0},x_{2,0},,,x_{n,0}$ における、$x_i$ に関する'''偏微分係数'''という。<br/><br/>
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| - | 定義（偏導関数）<br/>
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| - | $R^n$ のある集合 $G$ の内部の全ての点$\bf x$で<br/>
| + | |
| - | $f(\bf x)$ が $x_i$ に関して偏微分可能であるならば、<br/>
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| - | $G$ の内部の全ての点$\bf x$に、そこでの $x_i$ に関する偏微分係数を対応させると、新しい関数が得られる。<br/>
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| - | これを、$f(\bf x)$ の $x_i$ に関する偏導関数といい、記号<br/>
| + | |
| - | $f_{x_[i]}(\bf x),\quad D_{x_i}f(\bf x),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\bf x),\quad \partial f/\partial x_i$<br/>
| + | |
| - | などで表示する。<br/><br/>
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| - | *[[wikipedia_ja:偏微分 |ウィキペディア(偏微分)]] | + | |
| - | 定理（合成関数の微分）<br/>
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| - | $R^2$ から $R$ への関数$f(x,y)$ と<br/>
| + | |
| - | $R$ から $R$ への関数$g(x,y)$ の合成関数 <br/>
| + | |
| - | $h(x,y)=g(f(x,y)$ <br/>
| + | |
| - | を考える。<br/>
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| - | もし、$f(x,y)$ が $(x_0,y_0)$ で、ｘに関して偏微分可能で,<br/>
| + | |
| - | $\quad g(x,y)$ が、$z_0=f(x_0,y_0)$ において微分可能ならば、<br/>
| + | |
| - | $h(x,y)=g(f(x,y)$ は $(x_0,y_0)$ で、ｘに関して偏微分可能であり,<br/>
| + | |
| - | ====方向微分====
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| - | ===微分(全微分） ===
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| - | 定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数<br/>
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| - | 定理１；<br/>
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| - | 微分可能ならば、偏微分可能<br/><br/>
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| - | 定理２<br/>
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| - | $C^{1}$級の関数は微分可能<br/>
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| - | == ベクトル解析 ==
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| - | == 常微分方程式 ==
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