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物理/☆☆線形代数

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(版間での差分)
( 我々の住む空間の数学的公理化)
( 計量線形空間)
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内積と呼ぶKの元(x,y) が定まり、次の性質を持つとき、
内積と呼ぶKの元(x,y) が定まり、次の性質を持つとき、
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。<br/><br/>
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。<br/><br/>
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 (1)(x,y1+y2)=(x,y1)+(x,y2) <br/>
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        (x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y) <br/>
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  (2)(cx,y)=c(x,y),(x,cy)=¯c(x,y)<br/>
== 固有値と固有ベクトル==
== 固有値と固有ベクトル==

2018年5月20日 (日) 10:56時点における版

目次

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 線形代数

 線形空間

 線形空間

 線形空間の基底と次元

 線形部分空間

 線形写像とその行列表現

 線形写像の定義

 自己共役写像、正規写像、ユニタリ写像

 線形空間の基底と線形写像の行列表現

 計量線形空間

定義
K上の線形空間Vの任意の2元 x, y に対して
内積と呼ぶKの元(x,y) が定まり、次の性質を持つとき、 計量線形空間(metric linear space)あるいは内積空間(inner product space)という。

 (1)(x,y1+y2)=(x,y1)+(x,y2) 

       (x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y) 
(2)(cx,y)=c(x,y),(x,cy)=¯c(x,y)

 固有値と固有ベクトル

 2次形式と2次曲線の分類

 ジョルダンの標準形

 単因子に基ずく方法

 幾何学的方法

 我々の住む空間の数学的公理化

今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える(注参照)。
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。
この空間のなかに
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、
以下ではn次元空間で説明する((n{0}N)。
参考文献
斎藤正彦 線形代数入門 東京大学出版会

 ユークリッド空間

定義
Sを非空の集合、Vをn次元内積空間とする。

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