物理/運動の法則の応用

提供: Internet Web School

UNIQ88b9008216be8e6-MathJax-2-QINU2 による版

物理＞４章　力学(3) 運動の法則の応用運動の3法則と力の法則を用いると、分子から銀河まであらゆる物体の運動を求めることが出来きます（その正しさは人工衛星や惑星の運動などで確かめられているが、もっとはるかかなたの天体運動にも正しいというのは仮説である）。運動の３法則からはエネルギー保存則や運動量保存則などの重要な保存則を導く事が出来ます（５章で学びます）。

質点の色々な運動

最初に質点とみなせる物体のいくつかの運動を考える。

落体運動

地球上の物体は高いところから落とすと、時間とともに速度を増しながら落下する。この運動の法則は、ガリレオによって発見されたが、ニュートンの第２法則と万有引力の法則から導ける。

ウィキブックス（高等学校理科物理I 運動とエネルギー）の2.4.1 ニュートン方程式

放物運動

これもガリレオによって発見されたが、ニュートンの第２法則と万有引力の法則から導ける。

ウィキブックス（高等学校理科物理I 運動とエネルギー）の2.4.1 ニュートン方程式

振り子と単振動

ウィキペディア（単振動）の「振り子」の項を見てください。

惑星運動

ケプラーは、火星の観測データをユークリッド幾何学を巧みに利用して分析し次の惑星運動の３法則を発見しました。

ウィキペディア（ケプラーの３法則）

この３法則は、運動の第２法則と万有引力の法則から導くことが出来ますが少し難しい数学が必要なので大学で学びます。惑星の軌道を円運動に限定すると、高校の数学の知識で３法則を導けるので、興味がある方はぜひ挑戦してください。

質点のつり合い

質点に力Ｆ１，，Ｆｎが作用し、質点が静止したまま（あるいは等速直線運動）であるとき、それらの力は釣り合っているという。釣り合いの条件は、F1+ +Fn=0です(運動の第2法則と力の合成則から導出できる）。

質点系の運動

質点系の運動を考えよう。

質点系の運動と重心

質点系とは、いくつかの質点が集まって作っている系のこと。　　
系の各質点は離れ離れでも良く、また系の任意の２つの質点間には作用・反作用の法則を満たす力が働いていてもよい。この力を質点系の内力という。　　
質点系の各質点に外部から力（外力という）が加わる時、この質点系はどんな運動をするだろうか。
質点系の各質点の位置を $\vec{r_i}$ 、質量を $m_i$ とし、質点 $m_i$ に作用する外力を $\vec{f_i}$ 、他の質点 $m_j$ からうける内力を $\vec{f_{ij}}$ とする( $i=1 \ldots N$ )。
すると、各質点に対して、運動の第２法則により、 $\frac{d m_i \vec{v_i}}{dt}=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}}$ , ここで $\vec{v_i}=\frac{d\vec{r_i}}{dt}$ 、
加え合わせると、 $\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$ なので、
$\frac{d^2}{dt^2} \sum_i{ m_i \vec{r_i}} =\frac{d}{dt} \sum_i{ m_i \vec{v_i}} =\sum_i{\vec{f_i}}$
が得られる。質点系の全質量 $M= \sum_i{m_i}$ と質点系の働く全外力 $\vec{F}= \sum_i{\vec{f_i}}$ を用いて書きなおすと、
$M\frac{d^2}{dt^2}(\sum_i{ m_i \vec{r_i}}/M)= \vec{F}$
質点系の重心を $\vec{R}=\sum_i{ m_i \vec{r_i}}/M$ で定義すると、
$M\frac{d^2}{dt^2}R= \vec{F}$
この式は、位置 $\vec{R}$ にあり、力 $\vec{F}$ をうける質量 $M$ の質点の運動方程式と同じものであることに注目してください。
以下の解説も参考にしてください。