物理/運動量と力学的エネルギー保存則
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目次 |
運動量と力学的エネルギー保存則
質点や質点の集まりの運動を調べるときに有用な
各種の保存法則が、運動の法則から導かれる。
導出の仕方が理解できると、力学への理解が深まる。
下記の記事以外にも、導出法をインターネット検索して調べ、よく考えよう。
運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse)
質点に力$\vec{F}(t)$が作用しているとする。
運動の第２法則$\vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$ の両辺を
時間に関して$t_1$から $t_2$まで積分してみよう。ここで$\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)$は質点の運動量。
すると、
$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)$
となる。
質点に作用する力を時間で積分した$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$を力積と呼ぶ。
力積は、運動量の変化に等しい。
- ウィキブックス（高等学校理科 物理Ⅱ） の1.1.2 運動量と力積
ｎ個の質点を持つ質点系の運動量は、各質点の運動量の和で定義する。
この場合にも質点系への力積は質点系の運動量の変化に等しいことが、
運動の第２法則から導ける。
運動量保存則( law of conservation of momentum )
質点の場合、外力がなければ、その運動量は保存される(一定である)。
質点系(質点の集まり)の場合でも、質点系に作用する外力のベクトル和が零ならば、
内力(質点系内の質点間に働く力)があっても、運動量が保存されることが示せる。(注）
これを運動量保存則とよぶ。
（注）質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、
質点$m_i$ に作用する外力を$\vec{f_i}$、
$m_i$ に、質点系の他の質点$m_j $から作用する内力を$\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。
すると、各質点に対して、運動の第２法則により、
$\frac{d\vec{p}_i(t)}{dt}=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $
各ベクトルを自由ベクトルとみなして,上の式を$i=1 \ldots N$について加え合わせると、
$\sum_i{\vec{f_i}}=0 \qquad \vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$(作用反作用の法則)なので、
$\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} =0 $
が得られる。ゆえに、$\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は保存される。
運動エネルギー(kinetic energy)
運動エネルギーを学ぶ前に仕事とエネルギーについて理解しよう。
仕事とは何か
エネルギーとは何か
運動量と力学的エネルギー保存則
質点や質点の集まりの運動を調べるときに有用な
各種の保存法則が、運動の法則から導かれる。
導出の仕方が理解できると、力学への理解が深まる。
下記の記事以外にも、導出法をインターネット検索して調べ、よく考えよう。
運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse)
質点に力$\vec{F}(t)$が作用しているとする。時間とともに変化しても良いことに注意。
運動の第２法則$\vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$ の両辺を
時間に関して$t_1$から $t_2$まで積分してみよう。ここで$\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)$は質点の運動量。
すると、
$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)$
となる。
質点に作用する力を時間で積分した$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$を力積と呼ぶ。
力積は、運動量の変化に等しい。
- ウィキブックス（高等学校理科 物理Ⅱ） の1.1.2 運動量と力積
ｎ個の質点を持つ質点系の運動量は、各質点の運動量の和で定義する。
この場合にも質点系への力積は質点系の運動量の変化に等しいことが、
運動の第２法則から導ける。
運動量保存則( law of conservation of momentum )
質点の場合、外力がなければ、その運動量は保存される(一定である)。
質点系(質点の集まり)の場合でも、質点系に作用する外力のベクトル和が零ならば、
内力(質点系内の質点間に働く力)があっても、運動量が保存されることが示せる。(注）
これを運動量保存則とよぶ。
（注）質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、
質点$m_i$ に作用する外力を$\vec{f_i}$、
$m_i$ に、質点系の他の質点$m_j $から作用する内力を$\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。
すると、各質点に対して、運動の第２法則により、
$\frac{d\vec{p}_i(t)}{dt}=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $
各ベクトルを自由ベクトルとみなして,上の式を$i=1 \ldots N$について加え合わせると、
$\sum_i{\vec{f_i}}=0 \qquad \vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$(作用反作用の法則)なので、
$\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} =0 $
が得られる。ゆえに、$\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は保存される。
運動エネルギー(kinetic energy)
運動エネルギーを学ぶ前に仕事とエネルギーについて理解しよう。
仕事とは何か
エネルギーとは何か
力が変動したり、物体の移動が曲線であるときの仕事
物体に力 $ \vec{F}$を作用させ、
直線的に P から Q に変位させるとき、力のなした仕事 W は、
内積 $\cdot $を用いて、
$ W=\vec{F}\cdot\vec{PQ} $
で表せる。内積については
- ウィキブックス（高等学校数学B ベクトル） の1.1.6～ 1.1.8を参照のこと。
万有引力や電磁気力などの力は物体の位置により向きや大きさを変える。
また、物体がさまざまな理由で運動を拘束され直線的に動けないときもある。
こうした場合、力のなす仕事をどのように決めたらよいだろうか。
運動の軌跡(向きつき曲線C)を細かく区切ってn個の小部分に分けると、
この小部分では力はほぼ一定で、
しかも形状は線分に近い。
そこで、
ｉ番目の小部分上で、力を一定値$\vec{{F^n}_i}$で近似し、
ｉ番目の小部分を向きつき線分$\overrightarrow{{P^n}_{i-1}{P^n}_i}$で近似する。
すると、この小部分の移動で力のなした仕事は
$ {W^n}_i=\vec{F^n}_i\cdot \overrightarrow{{P^n}_{i-1}{P^n}_i }$
で近似できる。
これをすべて加えた
$ W^n=\sum_{i=1}^{n}{W^n}_i$
は、力のなした仕事の近似値を与えると考えられる。
そこで、分割数ｎをどんどん増やし、
小部分を細かくしていったときの極限
$W=\lim_{n\to \infty}W^n$
を力のなす仕事と定義する。
この極限が存在するとき、
$\vec{F(\vec x)}$は、曲線$C$に沿って線積分可能といい、
その極限を$\int_{C}\vec{F(x)}\cdot dx$と書く。
軌跡Ｃが連続で、
力が場所とともに連続的に変化したり、不連続点が有限個であるとき、
Ｃに沿って線積分可能であることが証明できる。
線積分については以下を参照のこと。
積分路が直線である場合、通常の積分の議論に還元される(注参照）。
このケースの積分可能性の厳密な証明は、「付録 可積分条件」で与えてある。
運動エネルギー
運動している粒子は、止めるのに力を加える必要があり、
何らかのエネルギーを持っていると考えられる。
止まった段階ではこのエネルギーは零になるので、
運動している粒子の持つエネルギーと、止めるのに使った力のなした仕事の和が零になると考えてよいだろう。
そこで、運動している粒子の持つエネルギーは、
止めるの使った力のなした仕事にマイナスを付けたものと推察できる。
質量$m$の粒子が速度$\vec v$で運動しているとき、これを止めるのに必要な仕事を求めてみる。
速度方向をｘ軸とする座標$O-x$をとる。
力が作用しなければ、粒子はｘ軸の上をｘ正方向にむかって、速さ$v:=\|\vec v\|$で等速直線運動を続ける。
この粒子が原点を通過する瞬間(t=0)から、ｘ軸の負方向に力$ F=-f、f>0$を、止まるまで与え続ける。
運動方程式は
$m\frac{d^2}{dt^2}x(t)=-f \qquad (1) $,
ここで、$x(0)=0,v(0)=v$(初期条件)$\qquad (2)
(1)式の両辺を$m$で割り、$v(t):=\frac{d}{dt}x(t)$を代入すると、
$\frac{d}{dt}v(t)=-\frac{f}{m}$
この方程式を満たし、初期条件(2)を満たす関数$v$は、
$v(t)=-\frac{f}{m}t+v \qquad \qquad (3)$
この式から、粒子が停止する時刻は
$t_1=\frac{mv}{f}$
このときの粒子の位置は、
$\frac{d}{dt}x(t)=-\frac{f}{m}t+v \qquad (4) $
を解いて、停止時刻でのｘを求めればよい。
初期条件式(2)を満たす(4)式の解は
$x(t)=-\frac{f}{2m}t^2+vt \qquad (4) $
故に、止まる位置は
$x(t_1)=-\frac{f}{2m}{t_1}^2+vt_1=\frac{mv^2}{2f}$
粒子が止まるまで力のなした仕事は、
$W_{-f}=-f \frac{mv^2}{2f}=- \frac{mv^2}{2}$
以上の考察より、粒子の運動エネルギーを次のように決める。
定義；
質量$m$、速度$\vec v$の質点の運動エネルギーを、
$\frac{mv^2}{2}$
で定める。
*[[wikipedia_ja:運動エネルギー|ウィキペディア（運動エネルギー）]]
*[[wikipedia:Kinetic_energy|ウィキペディア（Kinetic_energy）]] in English
===仕事エネルギー定理（work-energy theorem)===
物体に力 ''F'' を作用して ''P'' 点から ''Q'' 点に動かした時の運動エネルギーの変化量 $\frac{1}{2}mV(Q)^2 - \frac{1}{2}mV(P)^2 $は、その物体に加えられた仕事量 ''W'' (=''F''・''PQ'')に等しいことを主張する定理です。運動の第２法則の両辺を、この物体の軌道 ''PQ'' にそって積分すると得られます。
*[[wikibooks_ja:高等学校理科 物理I 運動とエネルギー|ウィキブックス（高等学校理科 物理Ⅰ運動とエネルギー）]] の運動エネルギーと位置エネルギー
*[[wikipedia:Kinetic_energy|ウィキペディア（Kinetic_energy）]] in English
==保存力と位置エネルギーおよび力学的エネルギー保存則==
===保存力と位置エネルギーあるいはポテンシャルエネルギー===
物体に力 $ \vec{F} $ が作用しているとする。この力で物体を ''P'' 点から ''Q'' 点に動かす時、この力の行う仕事が移動経路に関係なく２点の位置だけで決まる時、この力を'''保存力'''(conservative force ) と言い、
この仕事の量を、''Q'' 点を基準とした ''P'' 点でのこの物体の'''位置エネルギー'''（あるいはポテンシャルエネルギー potential energy)と言う。
保存力は次のように言いかえることができる。物体にかかる力 $ \vec{F} $ に逆らって、力 $ -\vec{F}+\delta $ を加えて、物体を''Q'' 点から ''P'' 点に動かす時、この力 > $-\vec{F} $の行う仕事が移動経路に関係なく２点の位置だけで決まる時、力 $ \vec{F} $を保存力という。ここで力 $ -\vec{F} $は、物体に作用する力 $ \vec{F} $とつり合いをとるための力であり、力 $ \delta $は、力がつりあって静止する物体を、移動経路に沿って、無限にゆっくりと動かすのに必要な、無限に小さい力である。このため $ \delta $ のなす仕事は零とみなせる。
*[[wikipedia_ja:ポテンシャル|ウィキペディア（ポテンシャル）]]の保存力の項
*[[wikipedia_ja:位置エネルギー|ウィキペディア（位置エネルギー）]]
*[[wikipedia:Potential_energy|ウィキペディア（Potential_energy）]] in English
を参照のこと。
==== 保存力の十分条件 ====
質点Ａが質点Ｂに力 $\vec{F_{A}(B)} $を及ぼしているとする。
その力の方向が２質点を結ぶ直線方向の引力あるいは斥力で、大きさが２点間の距離で決まると仮定する。この仮定を数式で書こう。質点Ａ，Ｂの位置ベクトルを $\vec{P_{A}}, \vec{P_{B}} $と表すと、 $\vec{F_{A}(B)} =f(||\vec{P_{B}}- \vec{P_{A}} ||) \times (\vec{P_{B}}-\vec{P_{A}})/||\vec{P_{B}}- \vec{P_{A}} || $。
ここで< $f $は任意の関数。
この時、この力 $\vec{F_{A}(B)} $>は保存力になる。
証明。質点BをＰ点から、経路Ｃに沿って、Ｑ点まで動かすときの仕事が、経路Ｃに無関係であることを示せばよい。簡単にするため、質点Ａと経路Ｃは同一平面に含まれると仮定し、この平面上で議論する。
経路Ｃを質点Ａを中心とする円弧の一部と質点Ａに向かう線分を交互につなぐ線で、つぎのように、近似する。
ⅰ）Ｐ点からＱ点まで向かう経路Ｃの長さをｎ等分する点を $P_0=P,P_1,\ldots,P_n=Q $とする。
ⅱ）質点Ａを中心とし、 $P_0 $を通る円と、質点Ａと $P_1 $を結ぶ直線の交点を $P_{0}' $とし、経路Ｃの $P_0 $と $P_1 $の間を、この円の弧 $(P_0,P_{0}') $と線分 $[P{0}',P_1 ] $で近似する。
ⅲ）経路Ｃの $P_1 $と $P_2 $の間も同様に、質点Ａを中心とする円弧 $(P_1,P_{1}') $と線分 $[P_{1}',P_2 ] $で近似する。
ⅳ）以下同様にして、経路Ｃの $P_{n-1} $と $P_{n}=Q $の間を、質点Ａを中心とする円弧 $(P_{n-1},P_{n-1}') $$と線分[P_{n-1}',P_n]$で近似する。
等分数nを大きくすると、この近似経路にそって移動する時の力のなす仕事は、経路Ｃに沿った移動の仕事と殆ど同じになり、\lim_{n \to \infty}$のとき一致する。
近似経路のうち質点Ａを中心とする円弧を動く時の力のなす仕事は、零となる（力の方向が２質点を結ぶ直線方向の引力あるいは斥力なので、移動経路と常に直交するから）。
次に、近似経路のうち、質点Ａを通る直線上を動く経路の仕事を計算しよう。
線分[P_{i-1}',P_i ],i=1,2,,,n$という経路を、質点ＡとＰ点を結ぶ直線l $に含まれる線分に、次のように移し替える。
ⅰ）質点Ａを中心とし点P_i$を通る円と直線l $との交点を P_{i},i=1,2,,,n$ とおき、 P_{0}''=P$ とおく。
ⅱ）線分[P_{i-1}',P_i ],i=1,2,,,n$を直線l $上の線分[P_{i-1},P_{i} ],i=1,2,,,n$でおきかえる。
すると力に関する仮定から、線分[P_{i-1}',P_i ]$での移動にさいして力のなす仕事は、線分[P_{i-1},P_{i} ]$での移動のとき力のなす仕事に等しい。
従って任意の経路Ｃにそって移動するときに力のなす仕事は、常に、線分[P,P_{n}'' ]$にそって移動するとき、力のなす仕事に等しい。（証明終わり）
問：質点Ａを固定する。この質点が他の質点に及ぼす重力は保存力であることを確かめてください。
ポテンシャルから力を求める方法
保存力\vec{F}$（未知）の、ある基準点Ｑから見たポテンシャルエネルギー\phi$が既知の時、\vec{F}$を、\phi$から求めることができる。
Ｑ点を原点とする直交座標系を1つ固定する。この力で、質点を
位置ベクトル\vec{r}$ の点から、位置ベクトル\vec{r}+(\Delta_{x},0,0)$ の点まで動かす時（\Delta_{x}$は微小にとる。するとこの間の力は一定値\vec{F}(r)$で近似できる）、力のする仕事は、ほぼ \vec{F}_{x}(\vec{r})\Delta_{x}$である。すると、\phi(\vec r)+\vec{F}_{x}(\vec{r})\Delta_{x}$は、質点を原点から位置ベクトル\vec{r}$ の点まで動かし、引き続いて位置ベクトル\vec{r}+(\Delta_{x},0,0)$ の点まで動かす時の、力のなす仕事になるので、保存力であることから、\phi(\vec r+(\Delta_{x},0,0))$ にほぼ等しい。従って\phi(\vec r+(\Delta_{x},0,0))\simeq \phi(\vec r)+\vec{F}_{x}(\vec{r})\Delta_{x}$
故に \lim_{\Delta_{x} \to \0}\frac{\phi(\vec r+(\Delta_{x},0,0))-\phi(\vec r)}{\Delta_{x}}=\vec{F}_{x}(\vec{r})$；力のｘ成分。
同様にして
\lim_{\Delta_{y} \to \0}\frac{\phi(\vec r+(0,\Delta_{y},0))-\phi(\vec r)}{\Delta_{y}}=\vec{F}_{y}(\vec{r})$；力のｙ成分。
\lim_{\Delta_{z} \to \0}\frac{\phi(\vec r+(0,0,\Delta_{z}))-\phi(\vec r)}{\Delta_{z}}=\vec{F}_{z}(\vec{r})$；力のｚ成分。
===力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則(kinetic energy and conservation of kinetic energy )===
力学的エネルギーは
*[[wikipedia_ja:力学的エネルギー|ウィキペディア（力学的エネルギー）]]
*[[wikipedia:Kinetic_energy|ウィキペディア（Kinetic_energy）]] in English
を見てください。
仕事エネルギー定理の仕事量W（$＝\vec{F}\cdot\vec{PQ}$ 。 ここで$\vec{PQ}$ は変位ベクトル）をきめる力$\vec{F}$が
保存力$\vec{Fc}$と外力$\vec{Fo}$の和からなるとき、
$W=(\vec{Fc}+\vec{Fo})\cdot\vec{PQ}=\vec{Fc}\cdot\vec{PQ} +\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$
$=P$のポテンシャルエネルギー$(U(P)-U(Q))+\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$となる。
一方仕事エネルギー定理から、$W=\frac{1}{2}m{V(Q)}^2-\frac{1}{2}m{V(P)}^2$なので、この両式から、
$\left(\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)\right)-\left( \frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)\right)=\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$が得られる。
もし保存力以外の力$\vec{Fo}$ が零ならば、$\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)=\frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)$
（力学エネルギー保存則）が得られる。
もっと知りたい方は次をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:力学的エネルギー保存の法則|ウィキペディア（力学的エネルギー保存の法則）]]
*[[wikipedia:Conservation_of_energy#Mechanics|ウィキペディア（Conservation_of_energy#Mechanics）]] in English
エネルギー保存則は物理学のなかで最も基本的な原理です。
熱エネルギーも含めたもっと一般的なエネルギー保存則は、後の章で学びます。
==保存則の応用==
===衝突の問題===
====2質点の衝突====
====質点の壁との衝突====
==力学に必要な物理量（時間、距離、速度、加速度、質量、力）の単位と単位変換==
**[[wikipedia_ja:物理単位|ウィキペディア（物理単位）]]
**[[wikibooks:High School Physics/Si units |wikibooks(High_School_Physics/Si_units) ]] ,in English
===力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則(kinetic energy and conservation of kinetic energy )===
力学的エネルギーは
*[[wikipedia_ja:力学的エネルギー|ウィキペディア（力学的エネルギー）]]
*[[wikipedia:Kinetic_energy|ウィキペディア（Kinetic_energy）]] in English
を見てください。
仕事エネルギー定理の仕事量W（$＝\vec{F}\cdot\vec{PQ}$ 。 ここで$\vec{PQ}$ は変位ベクトル）をきめる力$\vec{F}$が
保存力$\vec{Fc}$と外力$\vec{Fo}$の和からなるとき、
$W=(\vec{Fc}+\vec{Fo})\cdot\vec{PQ}=\vec{Fc}\cdot\vec{PQ} +\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$
$=P$のポテンシャルエネルギー$(U(P)-U(Q))+\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$となる。
一方仕事エネルギー定理から、$W=\frac{1}{2}m{V(Q)}^2-\frac{1}{2}m{V(P)}^2$なので、この両式から、
$\left(\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)\right)-\left( \frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)\right)=\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$が得られる。
もし保存力以外の力$\vec{Fo}$ が零ならば、$\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)=\frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)$
（力学エネルギー保存則）が得られる。
もっと知りたい方は次をどうぞ。
エネルギー保存則は物理学のなかで最も基本的な原理です。
熱エネルギーも含めたもっと一般的なエネルギー保存則は、後の章で学びます。
保存則の応用
衝突の問題
2質点の衝突
質点の壁との衝突
力学に必要な物理量（時間、距離、速度、加速度、質量、力）の単位と単位変換
- ウィキペディア（物理単位）
- wikibooks(High_School_Physics/Si_units) ,in English
