物理/ベクトル解析
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目次 |
8.2 ベクトル解析
ベクトル場の微分
ベクトル場とスカラー場
スカラー場の勾配
ナブラ∇ とそれを用いた勾配の表現
ベクトル場の発散
ベクトル場の回転
テンソル表示とテンソル計算
線積分と面積分
単連結領域
線積分
保存場
ポテンシャル
保存場とポテンシャル(関数)
定理
ポテンシャルの存在定理
定理（ポアンカレの定理）
定義（２端を共有する２つの連続曲線の連続可変性）
定義 単連結領域
命題
定理
UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-23-QINU；UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-24-QINU(i=2,3)の単連結領域
UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-25-QINU
とする。
すると次の３条件は同値である。
（１）
（２）
（３）
証明
ベクトルポテンシャル
磁場UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-26-QINUはつねにUNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-27-QINUを満たす（第５章電磁気学参照のこと）。
UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-28-QINUがUNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-29-QINU級のベクトル場ならば
UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-30-QINUとおくと、
UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-31-QINU
であった。
この逆命題
UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-32-QINUならば
あるUNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-33-QINU級のベクトル場UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-34-QINUが存在して
UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-35-QINU 。
がなりたてば、磁場UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-36-QINUはつねにあるUNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-37-QINU級のベクトル場UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-38-QINUを用いて、
UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-39-QINU と書けることになる。
このUNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-40-QINU級のベクトル場UNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-41-QINUをUNIQ66aad2e6793ad9b1-MathJax-42-QINUのベクトルポテンシャルという。
ベクトルポテンシャルの存在定理
定理
