物理/☆☆線形代数

提供: Internet Web School

UNIQ157a2e7018d36225-MathJax-2-QINU2 による版

目次

 線形代数

 線形空間

 線形空間

 線形空間の基底と次元

 線形部分空間

 線形写像とその行列表現

 線形写像の定義

 自己共役写像、正規写像、ユニタリ写像

 線形空間の基底と線形写像の行列表現

 計量線形空間

定義
K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して
内積と呼ぶKの元$(x,y)$ が定まり、次の性質を持つとき、 計量線形空間(metric linear space)あるいは内積空間(inner product space)という。

 (1)$(x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $ 

       $(x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $ 
(2)$(cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$

 固有値と固有ベクトル

 2次形式と2次曲線の分類

 ジョルダンの標準形

 単因子に基ずく方法

 幾何学的方法

 我々の住む空間の数学的公理化

今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える(注参照)。
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。
この空間のなかに
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、
以下ではn次元空間で説明する($(n\in \{0\} \cup \bf{N}$)。
参考文献
斎藤正彦 線形代数入門 東京大学出版会

 ユークリッド空間

定義
Sを非空の集合、Vをn次元内積空間とする。

個人用ツール