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物理/気体・液体の圧力

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物理力学気体・液体の圧力

目次

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気体・液体の圧力

この節では気体や液体を、
分子や原子という粒子から構成されるという微視的立場でなく、
巨視的に捉え空間的に滑らかな連続体であるとみなす。
連続体の内部の微小部分に働く力を考え、其の釣合いについて考え、
静止した気体・液体の圧力(詳しくは静止圧力)の性質を導く。

 気体や液体とは何か

 気体と液体の特徴

気体と液体は体積の変化には抵抗するが、
形の変化には、抵抗しない。(ただし非常に速い変化には抵抗する)。
但し、気体の体積変化への抵抗は小さく、液体は非常に大きい。

 静止した気体と液体の圧力

静止した気体や液体は、その表面または内部に任意の面を考えると、その面で2分される。
それらは、境界面を通して互いに他を押している。その2力は大きさ・方向は等しく、逆向きである(作用反作用の法則)
単位面積当たりのこの力を応力とよぶ。
その発生は、重力の存在と前述の気体や液体の特徴(形の変化に抵抗しない)に起因する。
この力の性質を、気体・液体の特徴から導こう。

応力は面に垂直に働く 

説明は便宜上、液体の語で述べる。
命題1:
静止した液体(気体)の表面あるいは内部に任意のなめらかな面(注参照)を考える。
この面上の応力は、常にこの面に直角に働く。
面と常に直角に働く応力を、圧力と呼ぶ。
(注)面のどの一点においても、その点にごく近い面の部分だけをみれば、平面とみなせる曲面のこと。 理由;
もし、ある面上のある一点Pの周辺の微小面部分(Sと書く)で、押し合う力がこの面と平行な成分を持つとする。
Sは仮定より、平面(の一部)と考えてよい。

図のように、面部分Sとそれと平行な平面の一部S’から作られる、
非常に薄い液体の板状部分Vを考える。

するとVがSを通して液体から受ける力の総和FSは、面Sと平行な成分をもつ。
面SとS’は、非常に近いので、
Sを挟んで押し合う力と、S’を挟んで押し合う力は、単位面積当たり、ほぼ等しいと考えてよい。
すると、VがS’を通して液体から受ける力FSは、
Sを通して受ける力と大きさと方向はほぼ同じで、逆向きになる。
FSの面Sと平行な成分も、FSのSと平行な成分と大きさはおなじで、逆向きになる。
液体は自由に形を変えられるので、VのS面とS’面は逆方向に動いてしまい、
静水という条件に反してしまう。
従って、
「ある面上のある一点Pの周辺の微小面部分Sで、押し合う力がこの面と平行な成分を持つ」
という仮定はあり得ないことが示された。

定義;どの面を考えても直角に働く応力を圧力と呼ぶ。

圧力の性質

命題2
どの面にも直角に働く応力(圧力)は、どの点でも面の方向によらず一定の強さ(大きさ)をもつ。
証明;
液体中の任意の点をOとする。
Oを原点とする、直交右手系Oxyzを定める。
Oを通る任意の面Hをとる。
O点における、
この面における圧力pとxy平面における圧力pz、yz平面、zx平面における圧力px,py
が等しいことを示そう。
平面Hと平行でO点の近くを通る平面H
x軸、y軸、z軸と交わる点をそれぞれ、
A(αa,0,0),B(0,αb,0),C(0,0,αc)とおく。図参照。
四面体OABCの外部の液体が、
OBCを押す力をFx,OCAを押す力をFy,OABを押す力をFz,ACBを押す力をF
とおく。
四面体内の液体が静止しているので、
Fx+Fy+Fz+F=0(1)
が成り立つ。
この式を圧力で表示しよう。
limα0Fx|OBC|=pxなので、
αが十分小さければ
Fx=|OBC|px=12|αbαc|px
故に、2Fx=OB×OCpx=αbαcpxex
同様に2Fy=OC×OApy=αcαapyey
2vecFz=OA×OBpz=αaαbpzez
2F=AC×ABp=p(αa,0,αc)×(αa,αb,0)
これらを(1)式に代入して
pxex+pyey+pzez+AC×ABp=0(2)
これを計算すると、
(α2bc(pxp),α2ca(pyp),α2ab(pzp))=0
これより、p=px=py=pz   証明終わり。

命題3
一様な重力のもとで静止している気体・液体内では、同一水平面上での圧力の大きさは一定である。 
図示した液体部分Vが静止しているので、Vに作用する力の総和が零になっている。
#ref(fig-GENPHY00010207Q-01.jpg) このことから、この命題は容易に証明できる。

水圧の性質

水は圧力によってほとんど密度を変えない。 すると次の命題が有用である。 命題4
もし液体の密度ρが圧力によって変化しないならば、 
深さl1の水平面H1上の圧力p1と  
深さl2(l2>l1)の水平面H2上の圧力p2には  
次の関係が成り立つ。 
p2=p1+ρg(l2l1)  

図示した液体部分Vが静止しているので、Vに作用する力の総和が零になっている。
このことから、この命題は容易に証明できる。

命題5 アルキメデスの浮力の原理
物体Wを比重ρ[kg/m3]の水(液体)に入れ、水没した部分Aの体積をV[m3]とする。
この時、
(1) この物体Wの重量は、ρVg[N]である。ここでg[N/kg]は重力加速度
(2) 物体は取り除き、物体の水没していた部分Aを、
これと同じ形で周りの水(液体)と同じ比重の剛体A'で入れ替える。 図参照

  1. ref(fig-GENPHY00010207-01.jpg)  

剛体の重心をGAとおく。これを浮心と呼ぶ。
物体Wに働く水圧の合計(浮力B,buoyancy)は
この物体の運動・釣合を問題とする場合には、
GAに作用する鉛直上向きで、大きさρVgの力(=ρVg)とみなせる。
証明
物体Wを水に入れた時と、剛体A'を入れた時の
水面の高さは同じになり、A と A'は重なる。
A(とA')の水中の表面を微小部分Si,i=1,2,,,Nに分割する。
水圧は、水面下の深さだけできまるので、
物体の水没部分Aの表面の微小部分Si
周りの水から受ける力(水圧×面積)fiは、
剛体A'の対応する表面Siが周りの水から受ける力に等しい。
Siは微小なので、水圧fiの作用点が定まる。
空間の任意の点Oを原点に選び、この作用点を位置ベクトルriで表す。
剛体A'は静止しているので、釣り合っている。
すると、[|2.5 剛体と回転力] の「剛体の釣合」の命題の系から、
浮力=水圧の合計=ifi=Mg,
であり、原点周りの浮力のモーメントは
iri ×fi=OGA×Mg
である。
後者から、浮心GA周りの浮力のモーメントは零となることが導かれ、 剛体の運動に関する限り、作用点を浮心と考えてよいことが分かる。
何故ならば、

気体の圧力と大気圧

気体は圧力が増すと縮むので、命題3のⅱ)の結論は成立しない。
大気は静止していると仮定し、地表の大気圧から高度zでの大気圧を求めてみよう。 地表の一点を原点とし、鉛直上方をz軸の正方向になる座標Oxyzをいれる。
図のように、下底面が高さz、上底面が高さz+hの、単位断面積の角柱Vを考える。
その部分の気体が受ける力の和は零となるので、
次式が成り立つ。
p(z+h)+mg=p(z)(1)
ここで
p(z)は高さzの地点の大気圧(命題3のⅰ)から、高度が同じ水平面上で圧力は一定)
mVの質量。Vの体積hと平均質量密度ρの積。
圧力が大きいと空気は縮み質量密度は高くなるので、両者の関係を求めねばならない。
空気体積の変動にともなう温度変化がないとすると、
ボイルの法則(3章1節 熱とエネルギー参照)から、
pVm=ccは温度だけに依存する数)
質量密度ρ=mVを代入すると、
pρ=c,ゆえに、ρ=pc
1cを、cとおくと、
ρ=cp  (2)
この質量密度と圧力の関係を用いると、
m=hρhcp(z)(hが小さいほど差は少なくなる)
この式を(1)式に代入して、
p(z+h)+cgp(z)hp(z)、変形すると 
p(z+h)p(z)hcgp(z)。これより
dp(z)dz=limh0p(z+h)p(z)h=cgp(z)
を得る。これを積分して
p(z)=p0ecgz
を得る。
ここでp0は、地表での圧力(大気圧)、eネイピア数である。
地表での質量密度がρ0ならば,(2)式から、
c=ρ0p0

地表の大気圧

場所や時刻により変動するが、標準では海面上で、1013hPa = 101300Paである。
これを一気圧という。記号では、1[atm] と書く。
なお、1[P_a]=1[N/m^2}である。hPa は100Pa のことで、ヘクトパスカルと読む。

圧力の単位

圧力は、単位面積当たりの力なので、その単位は面積の単位m2と力の単位Nから得られる。
Pa=N/m2=kgm1s2
が圧力の単位で、パスカルと呼ばれる。

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