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8.1 平面と空間のベクトル

目次 [非表示] 1 平面と空間のベクトル 1.1 平面と空間 1.2 ベクトルの和と実数倍 1.2.1 ２つのベクトルの和 1.2.1.1 和の定義 1.2.1.2 和の性質 1.2.1.3 零ベクトルの存在 1.2.1.4 逆元の存在 1.2.1.5 ベクトルの実数倍 1.3 内積とノルム 1.3.1 ノルムと内積の定義 1.3.2 内積とノルムの性質 1.4 ベクトル積　 2 我々の住む空間の数学的モデル 2.1 数空間${\bf R^3}$と３次元区間${\bf I^3}$

平面と空間のベクトル

平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、
なじみのない方は、下記を参考に、
集合の素朴な定義、集合の表記法、集合の和集合や共通集合、集合の包含関係
などについて学習してほしい。

• ウィキペディア(集合）

平面と空間

我々は、自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であると認識してきた。
また、この空間のなかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを 平面として認識してきた。
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。

• ウィキペディア(ユークリッド空間)

また、この章の「1.5 我々の住む空間の数学的モデル」も御覧ください。

ベクトルの和と実数倍

空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。
これを直線$PQ$という。
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。
詳しくは、
２章力学の「有向線分からベクトルへ」を参照のこと。

ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、重要なので 証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。

２つのベクトルの和

和の定義

定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現して、
$\vec{A}+\vec{B}:=\vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ}$；

・和の別の定義；
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。
すると、 $\vec{A}+\vec{B}=\vec{OQ}$;
が成り立つ。
この両者は同値である。

和の性質

$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　

$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

零ベクトルの存在

零ベクトル$\vec{0}$が存在し、 すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、 $\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$
が成り立つ。

逆元の存在

任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトルを
一つ、そして一つだけ持つ。
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ $\vec{A}+(-\vec{B})$を、$\vec{A}-\vec{B}$で表す。

ベクトルの実数倍

$a$を任意の実数とする。
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。
このように定義すると、
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。
次の諸法則が成り立つ。
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7)$
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

内積とノルム

内積とノルムは物理学で良く使われる。
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。
以下では、
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

ノルムと内積の定義

ベクトル$\vec a$のノルムとは、
$\|\vec a\|:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。
ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは
$\vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。
この定義から、
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|^2$
であることが分かる。

内積とノルムの性質

命題１
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$
証明；内積の定義から明らか。

命題２
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。
証明
次の三角形の余弦定理を利用する。
三角形の第２余弦定理;
図のような$\triangle {ABC}$を考える。
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。
ピタゴラスの定理により、
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$
余弦定理の証明終わり。
命題２の証明　　
ベクトル$\vec a$と$\vec b$を、
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2$
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2$
$=\sum_{i}a_i b_i$
命題２の証明終わり。

命題３
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　
証明
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題(２)を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。

系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。

命題４
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$
が成り立つ。
証明
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。

命題５
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$
$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。

命題６ ノルムの三角不等式
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$
証明
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$
命題３を使って計算すると、
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$
命題５より、
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\| =\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$
故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。

ベクトル積　

本節での全ての命題で、
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル
$\alpha$を実数とする。

命題１． $\quad \vec{a}$ を, $\vec{c}$と垂直な成分$\vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。

命題２．$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。

命題３
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。
いずれの場合にも, ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。

命題４．$\quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　
証明；
この証明には少し工夫が必要である。
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。
①　$\vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。
・$\vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。
・仮定より$\vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、
ベクトル積の定義により、共に$\vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は,
$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。

・$\vec{a} \times \vec{c}$は、ベクトル積の定義から、$\vec{a}$ と直交する。
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。
・$\vec{b} \times \vec{c}$も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。
・以上の結果より、所望の結果は示された。

　ⅱ）$\qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。
・　ⅰ)と同じ議論により、
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。
・以上で①が示せた。

②　一般の場合。
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad$(1)
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、
$= (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$
①より、
$= \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $\qquad$ 命題４の証明終わり。
　

命題４の系　　
　　 $\quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
$\quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
証明；
命題２より、
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right)$ 命題３から
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$ 命題４より、
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$
再び命題２より、
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad$前半の証明終わり
命題２より、
$(\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$
再び命題２より、
$=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ $\quad$証明終わり。
　 命題５．$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、右手系をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。

この時、
$\quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad \vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad \vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。

命題６．ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$(\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ で決まる座標の座標成分で表示しておく。
すると$\vec a \times \vec b=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)$　
証明；$\vec a=a_x\vec{e_x}+a_y\vec{e_y}+a_z\vec{e_z}$,
$\vec b=b_x\vec{e_x}+b_y\vec{e_y}+b_z\vec{e_z}$と表せるので、
$\vec a \times \vec b=(a_x\vec{e_x}+a_y\vec{e_y}+a_z\vec{e_z})\times \vec b$ 命題３の系から
$=a_x\vec{e_x}\times \vec b +a_y\vec{e_y}\times \vec b +a_z\vec{e_z}\times \vec b$ $\qquad$ (1)
式(1)の第１項 $a_x\vec{e_x}\times \vec b$ に $\vec b=b_x\vec{e_x}+b_y\vec{e_y}+b_z\vec{e_z}$ を代入して、命題３の系を使って変形すると、
$a_x\vec{e_x}\times \vec b =a_x\vec{e_x}\times b_x\vec{e_x} +a_x\vec{e_x}\times b_y\vec{e_y} +a_x\vec{e_x}\times b_z\vec{e_z}$ $\qquad$ (2)
命題４と命題５を使うと、
$a_x\vec{e_x}\times b_x\vec{e_x} =a_x b_x\vec{e_x}\times \vec{e_x} =\vec 0$ 。
同様の計算を行うと、
$a_x\vec{e_x}\times b_y\vec{e_y} =a_x b_y\vec{e_x}\times \vec{e_y} =a_x b_y\vec{e_z}$

$a_x\vec{e_x}\times b_z\vec{e_z} =a_x b_z\vec{e_x}\times \vec{e_z} =-a_x b_z\vec{e_y}$
式(2)にこれらを代入して、
$a_x\vec{e_x}\times \vec b =a_x b_y\vec{e_z} - a_x b_z\vec{e_y}$ $\qquad$　(3)

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、
$a_y\vec{e_y}\times \vec b =a_y b_z\vec{e_x} - a_y b_x\vec{e_z}$ $\qquad$ (4)

$a_z\vec{e_z}\times \vec b =a_z b_x\vec{e_y} - a_z b_y\vec{e_x}$ $\qquad$ (5)

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、
$\vec a \times \vec b =a_x b_y\vec{e_z} - a_x b_z\vec{e_y} +a_y b_z\vec{e_x} - a_y b_x\vec{e_z} +a_z b_x\vec{e_y} - a_z b_y\vec{e_x}$
$=(a_y b_z - a_z b_y)\vec{e_x} +(a_z b_x - a_x b_z)\vec{e_y} +(a_x b_y - a_y b_x)\vec{e_z}$
命題６の証明終わり。
命題７の証明；
$\quad (\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。
右手系をなす一つの直交座標を決める。
３つのベクトルを、この座標の成分で表示して、命題６と内積の命題を使えば、左右が等しいことが証明できる。
概略をスケッチしよう。
$\quad (\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c} =(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x) \cdot (c_x,c_y,c_z) =(a_yb_z-a_zb_y)c_x+(a_zb_x-a_xb_z)c_y+(a_xb_y-a_yb_x)c_z$　
$\quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算する。
これら両式を整頓すると、同じものであることが分かる。
命題７．
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} =(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}$
証明
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。
右手系をなす一つの直交座標を決める。
３つのベクトルを、この座標の成分で表示して、命題６と内積の命題を使えば、左右が等しいことが証明できる。
概略をスケッチしよう。
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c} =(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x) \cdot (c_x,c_y,c_z) =(a_yb_z-a_zb_y)c_x+(a_zb_x-a_xb_z)c_y+(a_xb_y-a_yb_x)c_z$　
$\quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算する。
これら両式を整頓すると、同じものであることが分かる。
命題７の証明終わり。

我々の住む空間の数学的モデル

概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。
直線$<PQ>$と書く。
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、
正しいと認めた命題のこと。
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、
その性質が正確に規定される。無定義語という。

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。
これを平面$<PQR>$と書こう。
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。
　ⅲ）同一平面上にない。
平行な２直線は、同じ方向であるという。
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。
これはＰ点からみたＱ点の位置を、
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える 。
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると
$R=P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$
そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}$
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、 ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、 ２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。
空間$S^3$の公理；
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。 $V_{P}$の任意の要素には、
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。
逆に
$V_{Q}$の任意の要素には、
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。

そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると
どの点から空間を見た時も、
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、
皆同じである。

定義： 方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、） 同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。

記号で書くと、
有向線分$\vec{QQ_1} \cong$　有向線分$\vec{PP_1}$　
<==>
ベクトル$\vec{QQ_1} =$　ベクトル$\vec{PP_1}$

今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。
これをベクトル集合$V$で表す。
⑦空間の性質１
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。
和の交換則と結合則が成り立つ。
ベクトルの実数倍も定義出来る。
$V$は線形空間(ベクトル空間ともいう）になる。
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。
⑧　線形空間$V$は３次元空間
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$
で表せる。ここで、$\alpha,\beta$は、適当な実数である。
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、
平面上に点Ｒが定まり、
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。
我々の住む空間の公理２
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$
空間$S^3$を点をすべて記述するには
３つの独立なベクトルを用いなければならないので
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。

⑩３次元空間の座標と座標表示
この空間には座標系を考えるができる。
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。
線形空間については

• ウィキペディア(ベクトル空間)

計量線形空間については

• ウィキペディア(計量ベクトル空間)

（２）我々の住む空間の数学的モデル

数空間${\bf R^3}$と３次元区間${\bf I^3}$