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物理/平面と空間,ベクトル

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8.1 平面と空間のベクトル

目次

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平面と空間のベクトル

平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、
なじみのない方は、下記を参考に、
集合の素朴な定義、集合の表記法、集合の和集合や共通集合、集合の包含関係
などについて学習してほしい。

平面と空間

我々は、自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ3次元の空間であると認識してきた。
また、この空間のなかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを 平面として認識してきた。
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。
この中で考えられた平面や空間は、2次元および3次元のユークリッド空間と呼ばれる。
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。

また、この章の「1.5 我々の住む空間の数学的モデル」も御覧ください。

ベクトルの和と実数倍

空間の異なる2点、P,Qを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。
これを直線PQという。
この直線で、PとQの間にある部分だけを考えるとき、線分PQという。
この線分に向き(矢印で表示)をつけたものを有向線分PQという。
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと
ベクトル[PQ]が得られる。
詳しくは、
2章力学の「有向線分からベクトルへ」を参照のこと。

ベクトルの和や実数倍については2章力学の1節で説明したが、重要なので 証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。

2つのベクトルの和

和の定義

定義;2つのベクトルAとベクトルBの和を、次のように定義する。
A=OP,B=PQと表現して、
A+B:=OP+PQ=OQ

・和の別の定義;
A=OP,B=ORと表現する。  
有向線分OPと有向線分ORを2辺とする平行四辺形OPQRを作る。
すると、 A+B=OQ;
が成り立つ。
この両者は同値である。

和の性質

A+B=B+A(1) ; 交換法則 

(A+B)+C=A+(B+C)(2) ;結合法則 

零ベクトルの存在

零ベクトル0が存在し、 すべてのベクトルAに対して、 A+0=A (3)
が成り立つ。

逆元の存在

任意のベクトルAは、A+B=0を満たすベクトルを
一つ、そして一つだけ持つ。
これをAの逆元(逆ベクトル)と言い、Aで表す。
それは、Aと大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。
定義から、A+(A)=0 (4) A+(B)を、ABで表す。

ベクトルの実数倍

aを任意の実数とする。
Aが零ベクトルでない時、そのa倍、aAは次のように定義する。
aが正数のとき;aAは、Aと方向・向きは同じで、大きさがa倍であるベクトルで定義する。
a=0のとき;0A=0で定義する。
a<0のとき;aA=(a)A
A=0のときは、a0=0とする。
このように定義すると、
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。
次の諸法則が成り立つ。
a(A+B)=aA+aB (5)
(a+b)A=aA+bA (6)
(ab)A=a(bA) (7)
1A=A (8)

内積とノルム

内積とノルムは物理学で良く使われる。
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。
以下では、
a,b,cは、すべて同じ次元(2か3)のベクトルとし、 αは実数とする。
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照)。
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。
(注)n次元(>3)も含めた一般のn次元ベクトルの内積は、後述の命題2

ノルムと内積の定義

ベクトルaのノルムとは、
a:=ia2iのことで、
ベクトルの長さ(大きさ)を表す。
ベクトルa,bの内積とは
ab:=abcosθ
ここで、θは、ベクトルa,bのなす角(0θπ )である。
この定義から、
aa=a2
であることが分かる。

内積とノルムの性質

命題1
ab=ba
証明;内積の定義から明らか。

命題2
ab=iaibi ここでa1,b1はそれぞれa,bのx座標成分、同様に、添え字2はy座標成分、3はz座標成分
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。
証明
次の三角形の余弦定理を利用する。
三角形の第2余弦定理;
図のようなABCを考える。
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれa,b,cとし、ACB=θとする。
すると、c2=a2+b22abcosθ
余弦定理の証明;頂点Aから対辺BCにおろした垂線の足をHとする。
ピタゴラスの定理により、
c2=¯BH2+¯AH2 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、
=¯BH2+(b2¯CH2) ¯BH=a¯CHを代入すると、
=(a¯CH)2+(b2¯CH2)=a2+b22a¯CH, ¯CH=bcosθなので、代入すると
=a2+b22abcosθ
余弦定理の証明終わり。
命題2の証明  
ベクトルabを、
始点が点Cである有向線分で表現し、その終点をB,Cで表す。
するとa=CB, b=CAである。
ベクトルc=abを導入すると、
c=ab=CBCA=CB+AC=AB
3角形ABCを考え、第2余弦定理を適用しよう。
ACB=θとおく。すると、
c2=a2+b22abcosθ
=a2+b22abが得られる。
この式を変形してabだけを左辺に置くと、
ab=(a2+b2c2)/2 。
c=AB=AC+CB=b+aなので、

ab=(a2+b2ab2)/2
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。
ab=(ia2i+ib2ii(aibi)2)/2
=iaibi
命題2の証明終わり。

命題3
(a+b)c=ac+bc   
証明
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題(2)を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。

系; a (b+c)=ab+ac   
証明;命題1を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題3を適用し、再び命題1を用いればよい。

命題4
(αa)b=a(αb)=α(ab)
が成り立つ。
証明
同様に、3つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。

命題5
abab
0|cosθ|1なので内積の定義から、ただちに分かる。

命題6 ノルムの三角不等式
a+ba+b
証明
a+b2=(a+b)(a+b)
命題3を使って計算すると、
=aa+bb+2ab
命題5より、
aa+bb+2ab=a2+b2+2ab=(a+b)2
故にa+b2(a+b)2
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。

ベクトル積 

本節での全ての命題で、
a,b,cは3次元ベクトル
αを実数とする。

命題1. a を, cと垂直な成分a と,平行な成分a の和に分解するとき、
a×c=a×c
a×c=0
証明;ベクトル積の定義から、容易に示せる。
2つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。

命題2.a×b=b×a
証明;2つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。
ベクトル積の定義から、a×b=b×a が示せた。

命題3
(αa)×b=α(a×b)=a×(αb) 
証明;実数α が正、零、負の場合に分けて考える。
いずれの場合にも, ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。

命題4.(a+b)×c=a×c+b×c 
証明;
この証明には少し工夫が必要である。
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。
① a,bc が直交する場合。図参照のこと
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点O を始点とする有向線分で代表させる。
c と直交しO を通る平面をHとする。
・仮定よりa,bは、ともに平面H上のベクトルである。
a×c,b×cも、
ベクトル積の定義により、共にc と直交するので、H上のベクトルである。
これら四つのベクトルはすべて平面H上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。
 ⅰ)a×c,b×c の張る平行四辺形は,
a,bの張る平行四辺形を、c倍し,原点周りに90度回転したものになることを、示そう。

a×cは、ベクトル積の定義から、a と直交する。
そのため、a を平面H上で、原点まわりに、90度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。
b×cも、同様に考え、b を平面H上で、原点まわりに、90度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。
a×c の大きさは、
a×c=accos(π/2)=ac なので、a の大きさのc倍になる。
同様に、b×c の大きさは、a の大きさのc倍になる。
・以上の結果より、所望の結果は示された。

 ⅱ)(a+b)×c=a×c+b×cを示そう。
・ ⅰ)と同じ議論により、
(a+b)×ca,bの張る平行四辺形の対角線を、原点周りに90度、同じ向きに回転させ、c倍させたものであることが分かる。
・すると、ⅰ)で示したことから、(a+b)×c
a×c,b×c の張る平行四辺形の対角線a×c+b×c に等しいことが分かる。
・以上で①が示せた。

② 一般の場合。
命題1より、cと垂直な成分を表すとすると、 (a+b)×c=(a+b)×c(1)
(a+b)=a+bなので、(1)式は、
=(a+b)×c
①より、
=a×c+b×c=a×c+bc 命題4の証明終わり。
 

命題4の系  
   a×(b+c)=a×b+a×c
(a+b+c)×d=a×d+b×d+c×d
証明;
命題2より、
a×(b+c)=((b+c)×a) 命題3から
=((b+c))×a 命題4より、
=(b×a+c×a)
再び命題2より、
=a×b+a×c 前半の証明終わり
命題2より、
(a+b+c)×d=(a+b)×d+c)×d
再び命題2より、
=a×d+b×d+c×d 証明終わり。
  命題5.(e1,e2,e3)
それぞれ大きさ(長さ)1で互いに直交し、右手系をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。

この時、
e1×e2=e3,e2×e3=e1,e3×e1=e2
証明;ベクトル積と(e1,e2,e3) の定義から明らかである。

命題6.ベクトルa,bを,命題5で用いた基底(e1,e2,e3) で決まる座標の座標成分で表示しておく。
するとa×b=(aybzazby,azbxaxbz,axbyaybx) 
証明;a=axex+ayey+azez,
b=bxex+byey+bzezと表せるので、
a×b=(axex+ayey+azez)×b 命題3の系から
=axex×b+ayey×b+azez×b (1)
式(1)の第1項 axex×bb=bxex+byey+bzez を代入して、命題3の系を使って変形すると、
axex×b=axex×bxex+axex×byey+axex×bzez (2)
命題4と命題5を使うと、
axex×bxex=axbxex×ex=0
同様の計算を行うと、
axex×byey=axbyex×ey=axbyez

axex×bzez=axbzex×ez=axbzey
式(2)にこれらを代入して、
axex×b=axbyezaxbzey  (3)

式(1)の第2項、第3項も同様に計算すると、
ayey×b=aybzexaybxez (4)

azez×b=azbxeyazbyex (5)

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、
a×b=axbyezaxbzey+aybzexaybxez+azbxeyazbyex
=(aybzazby)ex+(azbxaxbz)ey+(axbyaybx)ez
命題6の証明終わり。
命題7の証明;
(a×b)c=(c×a)bを証明しよう。
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。
右手系をなす一つの直交座標を決める。
3つのベクトルを、この座標の成分で表示して、命題6と内積の命題を使えば、左右が等しいことが証明できる。
概略をスケッチしよう。
(a×b)c=(aybzazby,azbxaxbz,axbyaybx)(cx,cy,cz)=(aybzazby)cx+(azbxaxbz)cy+(axbyaybx)cz 
(c×a)bも、これと同じように計算する。
これら両式を整頓すると、同じものであることが分かる。
命題7.
(a×b)c=(c×a)b=(b×c)a
証明
(a×b)c=(c×a)bを証明しよう。
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。
右手系をなす一つの直交座標を決める。
3つのベクトルを、この座標の成分で表示して、命題6と内積の命題を使えば、左右が等しいことが証明できる。
概略をスケッチしよう。
(a×b)c=(aybzazby,azbxaxbz,axbyaybx)(cx,cy,cz)=(aybzazby)cx+(azbxaxbz)cy+(axbyaybx)cz 
(c×a)bも、これと同じように計算する。
これら両式を整頓すると、同じものであることが分かる。
命題7の証明終わり。

我々の住む空間の数学的モデル

概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。
(1)私たちの住む(宇宙)空間S3を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。
①この空間のどのような2点P,Qをとっても、
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る(直線の公理。注参照)。
直線<PQ>と書く。
2点P,Qは、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。
(注)公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、
正しいと認めた命題のこと。
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、
その性質が正確に規定される。無定義語という。

②直線<PQ>は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点Rをとれる。
3点P,Q,Rを通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理1)。
これを平面<PQR>と書こう。
平面は、この面上にある2点を通る直線を含む(平面の公理2)。
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ(空間S3の性質)。
直線<PQ>と直線<PR>は、平面<PQR>上の直線であり、角度QPRがきまる。
③空間の中の異なる2直線mの間には次の3つの関係のうちのいずれか一つ(しかも一つだけ)が成り立つ。
 ⅰ)交わる(この時は2直線は同一平面上にあることが、
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。
 ⅱ)同一平面上にあるが交わらない(平行という)。
 ⅲ)同一平面上にない。
平行な2直線は、同じ方向であるという。
④平面<PQR>も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点Sが存在する。
⑤空間の2点P,Qを結ぶ線分[PQ](直線<PQ>の、点PとQの間の部分)に
PからQに向けた向きを付けた有向線分PQを考える。
これはP点からみたQ点の位置を、
P点からQ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。
Q点が、P点から見て、PQの方向・向きおよび距離の点であることを
P+PQ=Qと表す。
次にQ点からQRの方向・向きおよび距離にある点R=Q+QRを考える 。
点Rは元の点PからPRの方向・向きおよび距離の位置にある。
PQ+QR:=PRで、2つの有向線分の和を定義すると
R=P+PR=P+(PQ+QR)
そこでP+(PQ+QR)=(P+PQ)+QRと決めておけば
=(P+PQ)+QR=Q+QR
となり、3点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。
⑥P点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を
VP:={PQQS3}
と記す。すると{P+aaVP}=S3
VPVQはどのような関係にあるだろうか。
VPの任意の要素PP1,(PP1)
方向・向きと大きさが等しく、始点がQである有向線分を作ってみよう。
異なる3点P,P1,Qを通る平面は常に唯一つ存在する。
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、
平行四辺形PP1Q1Qを作ることが出来る。
するとQQ1VQであり、
QQ1PP1と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。
2つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、 ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、 2つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい2つの有向ベクトルは同一視して、
QQ1PP1と書く。

すると経験上、空間S3はつぎの性質を持つことが分かっている。
空間S3の公理;
空間S3の任意の2点P,Qを考える。 VPの任意の要素には、
それとの関係にある、VQの要素が一つ対応する。
逆に
VQの任意の要素には、
それとの関係にある、VPの要素が一つ対応する。

そこで、関係のある有向線分を、おなじものと考えると
VPVQは同じ集合になる。
すなわち関係のある有向線分を、おなじものと考えると
どの点から空間を見た時も、
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分(方向・向きと距離の集まり)は、
皆同じである。

定義: 方向・向きと長さの等しい有向線分を(始点は異なっても、) 同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。

記号で書くと、
有向線分QQ1 有向線分PP1 
<==>
ベクトルQQ1= ベクトルPP1

今後はPQを有向線分とみなすときは、有向線分PQ と書き、
ベクトルとみなす時は単にPQと書いて区別する。

空間の性質から、ベクトルの集合とみたVPは皆等しくなる。
これをベクトル集合Vで表す。
⑦空間の性質1
Vの2つのベクトルa,bを、
a=PQ,b=QRと表現すると、
ベクトルa,bの和は
a+b=PRで定義する。
この和はP点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。
和の交換則と結合則が成り立つ。
ベクトルの実数倍も定義出来る。
V線形空間(ベクトル空間ともいう)になる。
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。
⑧ 線形空間Vは3次元空間
P点から空間を眺めると、②で述べたように
Pを通る平面<PQR>が存在する。
この平面上には、P点で交わる2本の直線<PQ><PR>が存在する。
そこで2つのベクトルPQVPRVを考える。
すると,平面上の任意の点RをP点から見たときの方向・向き、距離PRは、
PQPRの線形結合αPQ+βPR
で表せる。ここで、α,βは、適当な実数である。
逆に、任意の線形結合αPQ+βPRに対し、
平面上に点Rが定まり、
αPQ+βPR=PR
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。
平面は、このように2つのベクトルで表せるので2次元と呼ぶ。
空間は、平面<PQR>で覆われないので、平面外の点Sがとれる。
PSは線形結合αPQ+βPRでは表せない。
我々の住む空間の公理2
V={αPQ+βPR+γPSα,β,γは実数}
空間S3を点をすべて記述するには
3つの独立なベクトルを用いなければならないので
S3は3次元空間とも呼ばれる。

⑩3次元空間の座標と座標表示
この空間には座標系を考えるができる。
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。
線形空間については

計量線形空間については

(2)我々の住む空間の数学的モデル

数空間R3と3次元区間I3

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