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目次 1 　線形代数 1.1 　線形空間 1.1.1 　線形空間 1.1.2 　線形空間の基底と次元 1.1.3 　線形部分空間 1.1.4 　線形写像とその行列表現 1.1.4.1 　線形写像の定義 1.1.4.2 　自己共役写像、正規写像、ユニタリ写像 1.1.4.3 　線形空間の基底と線形写像の行列表現 1.1.5 　計量線形空間 1.2 　固有値と固有ベクトル 1.2.1 　２次形式と2次曲線の分類 1.3 　ジョルダンの標準形 1.3.1 　単因子に基ずく方法 1.3.2 　幾何学的方法 1.4 　我々の住む空間の数学的公理化 1.4.1 　ユークリッド空間

　線形代数

　線形空間

　線形空間

　線形空間の基底と次元

　線形部分空間

　線形写像とその行列表現

　線形写像の定義

　自己共役写像、正規写像、ユニタリ写像

　線形空間の基底と線形写像の行列表現

　計量線形空間

定義
K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して
内積と呼ぶKの元$(x,y)$　が定まり、次の性質を持つとき、 計量線形空間(metric linear space)あるいは内積空間(inner product space)という。

（１）$\ (x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $　
$\qquad \ \ (x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $　
$（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$
$（３）\ (x,y) = \overline{(y,x)}$
$（４）\ (x,x) \in {\bf R},\ (x,x)\geq 0$
$\qquad \ \ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 $

　固有値と固有ベクトル

　２次形式と2次曲線の分類

　ジョルダンの標準形

　単因子に基ずく方法

　幾何学的方法

　我々の住む空間の数学的公理化

今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。
この空間のなかに
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、
以下ではｎ次元空間で説明する($(n\in \{0\} \cup \bf{N}$)。
参考文献
斎藤正彦　線形代数入門　東京大学出版会

　ユークリッド空間

定義
Sを非空の集合、Vをn次元内積空間とする。