物理/☆☆線形代数
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目次 |
線形代数
線形空間
線形空間(ベクトル空間)
計量線形空間
定義
Kを実数の集合（実数体）あるいは複素数の集合（複素数体）とする。
K上の線形空間Vの任意の2元UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-33-QINUに対して
内積と呼ぶKの元UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-34-QINU が定まり、次の性質を持つとき、
計量線形空間(metric linear space)あるいは内積空間(inner product space)という。
（１）UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-35-QINU
UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-36-QINU
UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-37-QINU
UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-38-QINU
UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-39-QINU
UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-40-QINU
固有値と固有ベクトル
wikibooks_ja(線型代数学/固有値と固有ベクトル)
ジョルダンの標準形
我々の住む空間の数学的公理化
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。
この空間のなかに
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、
以下ではｎ次元空間で説明する(UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-41-QINU)。
参考文献
斎藤正彦 線形代数入門 東京大学出版会
ユークリッド空間
定義
UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-42-QINUを非空の集合、UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-43-QINUをn次元内積空間とする。
UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-44-QINUとUNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-45-QINUの順序対UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-46-QINUが次の３条件を満たすとき、ｎ次元ユークリッド空間という。
（１）UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-47-QINUの任意の2元UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-48-QINUの作る順序対UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-49-QINUに対してUNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-50-QINUの唯一の元UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-51-QINUが対応する。
このUNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-52-QINUをUNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-53-QINUと書く。
（２）UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-54-QINU
（３）UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-55-QINU
(注) ユークリッド空間UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-56-QINUは、単にユークリッド空間UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-57-QINUと略記されることが多い。
定義
ユークリッド空間UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-58-QINUにおけるUNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-59-QINUを、UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-60-QINUに付随する計量空間という。
またUNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-61-QINUの元を点、UNIQ701ccf641f2d98a9-MathJax-62-QINUの元をベクトルという。
