物理/運動の法則の応用
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解説
運動の3法則、万有引力の法則と力の法則を用いると、分子から銀河まであらゆる物体の運動を求めることが出来きる。
その正しさは地上の物体や人工衛星、惑星の運動などで確かめられている。
しかし、もっとはるかかなたの宇宙でもこれ等の法則は正しいのだろうか。
天体観測は、世界各地で行われ、年々新しい発見がされているが、現在のところ、この理論が間違っていることを示す観測結果は、得られていない。
そこで、これらの法則は宇宙の全体を支配しているものと、現在は信じられている。
運動の３法則からはエネルギー保存則や運動量保存則などの重要な保存則を導く事が出来る。
これらの保存則は、色々な運動を調べるとき、大変役立つ。これらについては次節で学ぶ。
質点の色々な運動
最初に最も簡単な運動から考える。
それは質点とみなせる物体の運動である。
質点の落体運動
地球上の物体は高いところから落とすと、時間とともに速度を増しながら落下する。
質点とみなせる物体の落下運動を、運動法則と力の法則を用いて、解析しよう。
質点の質量をUNIQ50defbae448841c9-MathJax-220-QINUとすると、そこに作用する重力による力は、
真下（厳密には地球の重心；後で学ぶ）の方向・向きに大きさUNIQ50defbae448841c9-MathJax-221-QINUである。
落下の向きを負にした落下方向の一次元座標を考えると、重力加速度はUNIQ50defbae448841c9-MathJax-222-QINUで、質点UNIQ50defbae448841c9-MathJax-223-QINUに作用する力はUNIQ50defbae448841c9-MathJax-224-QINUである。
落下の加速度をUNIQ50defbae448841c9-MathJax-225-QINUと置くと、運動の第２法則よりUNIQ50defbae448841c9-MathJax-226-QINU.
ゆえに質点の落下加速度UNIQ50defbae448841c9-MathJax-227-QINUは負の重力加速度UNIQ50defbae448841c9-MathJax-228-QINUに等しい。
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-229-QINUで微分してUNIQ50defbae448841c9-MathJax-230-QINUとなる関数はUNIQ50defbae448841c9-MathJax-231-QINUなので、質点の速度はUNIQ50defbae448841c9-MathJax-232-QINUである。
ここでcは定数で、初期時刻０における質点の速度であり、初期速度と呼ばれる。
微分してUNIQ50defbae448841c9-MathJax-233-QINUとなる関数を求めれば質点の位置UNIQ50defbae448841c9-MathJax-234-QINUが得られる。
ここで、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-235-QINUは定数で初期時刻０での質点の位置(高さ)である。
これはガリレオが明らかにした落体法則である。
参考文献；
投射体の運動
質点を地面に対して角度UNIQ50defbae448841c9-MathJax-236-QINU（ラジアン）、速さUNIQ50defbae448841c9-MathJax-237-QINUで投げたときの、質点はどのような運動を行うだろうか。
ガリレオは、慣性法則と落体の法則を組み合わせて利用して、放物線を描いて飛ぶことを発見した。
ニュートン力学を用いれば、運動の第２法則と質点に働く力(重力)から、以下のように、この運動を導ける。
適切な座標系をいれる
質点が投げ出された場所を原点とし、飛んでいく方向に地面と水平に引いた半直線をx軸の正の側に、地面と直角で上方に向かう半直線をｙ軸の正の側とする座標を定める。図参照。
質点に作用する力を求める
空気抵抗を無視すれば、質点に作用する力は、地球からの重力だけである。この力は、質点の質量をUNIQ50defbae448841c9-MathJax-238-QINU,重力加速度をUNIQ50defbae448841c9-MathJax-239-QINUとすると、質点の位置に関係なく常に、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-240-QINUである。
運動の第２法則から質点の運動方程式をつくる
質点の位置ベクトルをUNIQ50defbae448841c9-MathJax-241-QINUで表すと
運動方程式は、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-242-QINUである。
座標成分表示すると
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-243-QINU,UNIQ50defbae448841c9-MathJax-244-QINU UNIQ50defbae448841c9-MathJax-245-QINU
運動の初期状態の指定
投げ上げた瞬間を時刻UNIQ50defbae448841c9-MathJax-246-QINUとおくと、質点の初期位置はUNIQ50defbae448841c9-MathJax-247-QINU,UNIQ50defbae448841c9-MathJax-248-QINU 初期速度はUNIQ50defbae448841c9-MathJax-249-QINU
運動方程式を初期状態を使って解く
（１）ｘ成分の式を解く
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-250-QINUは、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-251-QINUなのでUNIQ50defbae448841c9-MathJax-252-QINU。UNIQ50defbae448841c9-MathJax-253-QINU tで微分して零となるtの関数は定数なのでUNIQ50defbae448841c9-MathJax-254-QINUと書くと、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-255-QINU
速度の定義より、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-256-QINUなので、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-257-QINU.UNIQ50defbae448841c9-MathJax-258-QINU UNIQ50defbae448841c9-MathJax-259-QINUで微分してUNIQ50defbae448841c9-MathJax-260-QINUとなるのはUNIQ50defbae448841c9-MathJax-261-QINU（bは未知定数）なので、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-262-QINU
初期条件から、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-263-QINU,UNIQ50defbae448841c9-MathJax-264-QINU またUNIQ50defbae448841c9-MathJax-265-QINUなのでUNIQ50defbae448841c9-MathJax-266-QINU。
故に、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-267-QINU
（２）ｙ成分の式を解く
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-268-QINUは、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-269-QINU UNIQ50defbae448841c9-MathJax-270-QINU tで微分してUNIQ50defbae448841c9-MathJax-271-QINUとなる関数はUNIQ50defbae448841c9-MathJax-272-QINU（ｃは未知定数）なので、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-273-QINU UNIQ50defbae448841c9-MathJax-274-QINU故にUNIQ50defbae448841c9-MathJax-275-QINU
tで微分してUNIQ50defbae448841c9-MathJax-276-QINUとなる関数は、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-277-QINUなので、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-278-QINU
初期速度の条件から、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-279-QINU UNIQ50defbae448841c9-MathJax-280-QINU UNIQ50defbae448841c9-MathJax-281-QINU
故に、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-282-QINU
（３）運動の軌跡（xとyとの関係式）を求める
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-283-QINUの式からUNIQ50defbae448841c9-MathJax-284-QINU
これをUNIQ50defbae448841c9-MathJax-285-QINUに代入すると
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-286-QINU
これは上に凸な放物線である。
参考文献は
- ウィキブックス（高等学校理科 物理I 運動とエネルギー）の2.4.1 ニュートン方程式
惑星運動
前述のようにケプラーは、火星と太陽の観測データをユークリッド幾何学を巧みに利用して分析し次の惑星運動の３法則を発見した。
惑星運動の３法則を運動の第２法則と万有引力の法則から導く
この３法則は、運動の第２法則と万有引力の法則から導くことが出来るが少し難しい数学が必要である。大学で学ぶ。
惑星の軌道を太陽を中心とする円運動に限定すると、高校の数学の知識で３法則を導ける。
この場合ケプラーの第一法則は、仮定から、明白なので、第二法則から始める。
ケプラーの第2法則の導出
第二法則は、太陽と惑星を結ぶ動径の単位時間に掃く面積が一定であることを主張する。円運動のばあい、これは等速円運動であることと同じである。
そこで等速円運動であることを導こう。
太陽と惑星は質点として扱い、質量をそれぞれUNIQ50defbae448841c9-MathJax-287-QINUとする。
惑星の軌道面をxy平面にし、太陽をその原点にとる。円運動の半径をUNIQ50defbae448841c9-MathJax-288-QINU, 太陽と時刻UNIQ50defbae448841c9-MathJax-289-QINUにおける惑星を結ぶ線分が、x軸となす角度をUNIQ50defbae448841c9-MathJax-290-QINUとおく。
惑星Pの位置；UNIQ50defbae448841c9-MathJax-291-QINU
惑星の速度；UNIQ50defbae448841c9-MathJax-292-QINU
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-293-QINU
=UNIQ50defbae448841c9-MathJax-294-QINU
惑星の加速度；UNIQ50defbae448841c9-MathJax-295-QINU
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-296-QINU
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-297-QINU
惑星に働く力；万有引力の法則より、太陽の方向に向いた、大きさUNIQ50defbae448841c9-MathJax-298-QINUの力なので
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-299-QINU
と表せる。
この力が、惑星の運動を変化させ、上述の加速度を生じさせたのだから、運動の第2法則UNIQ50defbae448841c9-MathJax-300-QINUより、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-301-QINU
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-302-QINU
変形すると、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-303-QINU
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-304-QINU
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-305-QINU とUNIQ50defbae448841c9-MathJax-306-QINUは直交するベクトルなので、(1)式が成立する必要十分条件は、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-307-QINU,
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-308-QINU
である。
(2)式から、角速度UNIQ50defbae448841c9-MathJax-309-QINU（定数）が
(3)式から、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-310-QINUが
得られる。
これらより、惑星は等角速度
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-311-QINU UNIQ50defbae448841c9-MathJax-312-QINU (4)
で太陽の周りを回転することが分かり、ケプラーの第2法則が得られた。
ケプラーの第３法則の導出
惑星が太陽の周りを一周する時間UNIQ50defbae448841c9-MathJax-313-QINU（周期という）は、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-314-QINUなので、(4)式より、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-315-QINU,
故にUNIQ50defbae448841c9-MathJax-316-QINU,
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-317-QINU
これは軌道が円の場合のケプラーの第3法則である。
万有引力の法則を,ケプラーの法則と運動の第2法則から導く
惑星が太陽の周りを円運動しているとき、太陽が惑星に及ぼしている力を計算する。
ケプラーの第２法則より、円運動する惑星は角速度一定である。これをUNIQ50defbae448841c9-MathJax-318-QINUとする。
太陽の位置を原点とし円の半径をUNIQ50defbae448841c9-MathJax-319-QINUとすると、この惑星の加速度はUNIQ50defbae448841c9-MathJax-320-QINU 。これは、太陽にむかう大きさUNIQ50defbae448841c9-MathJax-321-QINUのベクトル。
運動の第2法則より、惑星に働く力UNIQ50defbae448841c9-MathJax-322-QINUは、太陽の方向に、大きさUNIQ50defbae448841c9-MathJax-323-QINU
ここで、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-324-QINU は惑星の慣性質量である。
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-325-QINUをUNIQ50defbae448841c9-MathJax-326-QINUの関数で表すためケプラーの第3法則と用いる。
惑星の公転周期UNIQ50defbae448841c9-MathJax-327-QINUと円の半径UNIQ50defbae448841c9-MathJax-328-QINUの間にはUNIQ50defbae448841c9-MathJax-329-QINU；定数
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-330-QINUなので
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-331-QINU∴UNIQ50defbae448841c9-MathJax-332-QINU
それゆえ、力の大きさは
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-333-QINU
さらに、太陽の質量UNIQ50defbae448841c9-MathJax-334-QINUがUNIQ50defbae448841c9-MathJax-335-QINU倍になると、質量UNIQ50defbae448841c9-MathJax-336-QINUの太陽がUNIQ50defbae448841c9-MathJax-337-QINU個あり、それぞれが惑星に上記の力を与えると考えられる。
すると惑星に働く力はUNIQ50defbae448841c9-MathJax-338-QINU倍になるので力の比例部分UNIQ50defbae448841c9-MathJax-339-QINUは太陽の質量UNIQ50defbae448841c9-MathJax-340-QINUに比例することが分かる。
比例定数をUNIQ50defbae448841c9-MathJax-341-QINUとおくと、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-342-QINU
従って惑星に働く力の大きさは、太陽の方向に、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-343-QINU
これは万有引力の法則である。
（注）この式は万有引力の法則の式と同じだが、質量UNIQ50defbae448841c9-MathJax-344-QINUは、慣性質量であり、対称性から太陽の質量UNIQ50defbae448841c9-MathJax-345-QINUも慣性質量と考えられる。
しかしニュートンは重力を生む質量は、慣性質量と完全には一致しない可能性もあると考え、重力質量という概念を生みだしと思われる。
既述のように、多くの実験の結果、両質量は同一であると考えられている。
重量質量を使わず、慣性質量だけを用いても、ニュートン力学を構成することが出来る。これを提唱する物理学者もいる。
それには万有引力の法則のかわりに、次の法則を採用すればよい。
外力が働かないときは、どんな２質点も、お互いに相手に向かって,
加速度運動して近ずく。両者の加速度は、両者の距離の２乗UNIQ50defbae448841c9-MathJax-346-QINUに反比例し、それぞれの慣性質量の比に反比例する。
式で書くと、
質点１の慣性質量と加速度の大きさをUNIQ50defbae448841c9-MathJax-347-QINU,UNIQ50defbae448841c9-MathJax-348-QINU
質点２の慣性質量と加速度の大きさをUNIQ50defbae448841c9-MathJax-349-QINU,UNIQ50defbae448841c9-MathJax-350-QINU
とすると、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-351-QINU、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-352-QINU,UNIQ50defbae448841c9-MathJax-353-QINU
この法則と運動法則により２質点間に働く力(万有引力)を求めると、
ニュートンの万有引力の法則と同じ式だが、質量は慣性質量になり、
重量質量を用いずニュートン力学が構成できる。
振り子と単振動
- ウィキペディア（単振動）の「振り子」の項を見てください。
質点のつり合い
質点に力Ｆ１，，Ｆｎが作用し、質点が静止したまま（あるいは等速直線運動）であるとき、それらの力は釣り合っているという。
釣り合いの条件は、F1+ +Fn=0です(運動の第2法則と力の合成則から導出できる）。
仕事とエネルギー
仕事
物体に力を加えて動かす時、力はこの物体に仕事をするという。
仕事(の量)は力の大きさと動かした距離の積に比例する。
正確には、加えられる力UNIQ50defbae448841c9-MathJax-354-QINU が一定で、
力の向きに対して角度UNIQ50defbae448841c9-MathJax-355-QINU[rad] だけ傾いている直線上を UNIQ50defbae448841c9-MathJax-356-QINU 移動したとき、
仕事W は、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-357-QINU
で定義する。
ここで任意のヴェクトルUNIQ50defbae448841c9-MathJax-358-QINUに対して、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-359-QINUはその大きさUNIQ50defbae448841c9-MathJax-360-QINUを表す。
特に、この式においてUNIQ50defbae448841c9-MathJax-361-QINU（すなわち UNIQ50defbae448841c9-MathJax-362-QINU）とすると
「加えられる力が一定であり力の方向が運動の方向と一致している場合」になり、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-363-QINU である。
また、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-364-QINU（UNIQ50defbae448841c9-MathJax-365-QINU）のとき、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-366-QINUとなる。
すなわち、力が運動の方向と直角方向にはたらいている場合、その力は仕事をしない。
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-367-QINUと表現すると、
仕事は、力の方向にUNIQ50defbae448841c9-MathJax-368-QINUだけ動かしたときの仕事に等しいことが分かる。
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-369-QINUと表現すると、
仕事は、
大きさUNIQ50defbae448841c9-MathJax-370-QINU のUNIQ50defbae448841c9-MathJax-371-QINU方向の力を加えて、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-372-QINUだけ動かしたときの仕事に等しい
ことが分かる。
- ウィキペディア（仕事）を参照のこと。
仕事の内積を用いた表現
内積は、仕事の記述や計算に便利な数学の概念である。
内積の定義と仕事の内積表現
ベクトルUNIQ50defbae448841c9-MathJax-373-QINUの内積UNIQ50defbae448841c9-MathJax-374-QINUは、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-375-QINUで定義する。
ここで、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-376-QINUは、ベクトルUNIQ50defbae448841c9-MathJax-377-QINUのなす角(UNIQ50defbae448841c9-MathJax-378-QINU )である。
- ウィキブックス（高等学校数学B ベクトル） の1.1.6～ 1.1.8を参照のこと。
ウィキブックスでは２次元のベクトルを中心にして説明しているが、
３次元ベクトルの場合にも、成り立つように修正することは容易である。
例えば、ベクトルUNIQ50defbae448841c9-MathJax-379-QINUの長さは、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-380-QINU,
ベクトルの内積は、この長さを使えば、全く同じ式で良い。
内積を使った 仕事の表現
内積 UNIQ50defbae448841c9-MathJax-381-QINUを用いると、
物体に力UNIQ50defbae448841c9-MathJax-382-QINUを加えて、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-383-QINU(P点からQ点まで）動かした時の力のなす仕事は、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-384-QINUと表せる。
内積の性質
仕事は、前述のように内積で表現できるので、内積の性質を調べておくと、仕事について考察する時に役に立つ。
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-385-QINUが、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 UNIQ50defbae448841c9-MathJax-386-QINUは実数とする。
（１）UNIQ50defbae448841c9-MathJax-387-QINU
（２）UNIQ50defbae448841c9-MathJax-388-QINU 、
ここでUNIQ50defbae448841c9-MathJax-389-QINUはそれぞれUNIQ50defbae448841c9-MathJax-390-QINUのx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。
（３）UNIQ50defbae448841c9-MathJax-391-QINU
（４）UNIQ50defbae448841c9-MathJax-392-QINU
が成り立つ。
(証明)
(1)は、内積の定義から明らか。
(2)；次の三角形の余弦定理を利用する。
三角形の第２余弦定理;
図のようなUNIQ50defbae448841c9-MathJax-393-QINUを考える。
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれUNIQ50defbae448841c9-MathJax-394-QINUとし、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-395-QINUとする。
すると、UNIQ50defbae448841c9-MathJax-396-QINU
余弦定理の証明；頂点UNIQ50defbae448841c9-MathJax-397-QINUから対辺UNIQ50defbae448841c9-MathJax-398-QINUにおろした垂線の足をUNIQ50defbae448841c9-MathJax-399-QINUとする。
ピタゴラスの定理により、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-400-QINU。UNIQ50defbae448841c9-MathJax-401-QINU 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-402-QINU UNIQ50defbae448841c9-MathJax-403-QINU UNIQ50defbae448841c9-MathJax-404-QINUを代入すると、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-405-QINU,UNIQ50defbae448841c9-MathJax-406-QINU UNIQ50defbae448841c9-MathJax-407-QINUなので、代入すると
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-408-QINU
証明終わり。
(2)の証明
ベクトルUNIQ50defbae448841c9-MathJax-409-QINUとUNIQ50defbae448841c9-MathJax-410-QINUを、
始点が点UNIQ50defbae448841c9-MathJax-411-QINUである有向線分で表現し、その終点をUNIQ50defbae448841c9-MathJax-412-QINU,UNIQ50defbae448841c9-MathJax-413-QINUで表す。
するとUNIQ50defbae448841c9-MathJax-414-QINU, UNIQ50defbae448841c9-MathJax-415-QINUである。
ベクトルUNIQ50defbae448841c9-MathJax-416-QINUを導入すると、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-417-QINU
３角形UNIQ50defbae448841c9-MathJax-418-QINUを考え、第２余弦定理を適用しよう。
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-419-QINUとおく。すると、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-420-QINU
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-421-QINUが得られる。
この式を変形してUNIQ50defbae448841c9-MathJax-422-QINUだけを左辺に置くと、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-423-QINU 。
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-424-QINUなので、
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-425-QINU
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-426-QINU
UNIQ50defbae448841c9-MathJax-427-QINU
（２）の証明終わり。
（性質３）の証明；ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、性質(２)を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。
（性質４）の証明；同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。
物体が曲線運動するときの仕事量の求め方
力を受けた時の物体の運動は直線とは限らないが、運動の軌跡を細かく区切って眺めると、線分に近いので、物体の変位は、ごく短い線分をつなぎ合わせたものと考える。すると各線分毎に仕事を計算しそれをたせば、全体の仕事量を求めることができる。
エネルギー
物質の持っている仕事をする能力をエネルギーという。
- エネルギー(ウィキペディア）の自然科学の項を参照のこと。
仕事の単位
仕事の定義UNIQ50defbae448841c9-MathJax-428-QINUから、仕事の単位は、力の大きさUNIQ50defbae448841c9-MathJax-429-QINUの単位と長さUNIQ50defbae448841c9-MathJax-430-QINUの単位を掛けたものになる(UNIQ50defbae448841c9-MathJax-431-QINU は無単位なので )。
MKSA単位系では、力の大きさの単位はUNIQ50defbae448841c9-MathJax-432-QINU(ニュートン）、長さの単位はUNIQ50defbae448841c9-MathJax-433-QINU（メートル）なので、仕事の単位はUNIQ50defbae448841c9-MathJax-434-QINU となる。
これをUNIQ50defbae448841c9-MathJax-435-QINU(ジュール）と呼ぶ。UNIQ50defbae448841c9-MathJax-436-QINUである。
