物理/力と運動の法則
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目次 |
力とその働き
物を動かす時、人は筋力を使ったり、牛馬の力を使う。こうした労働の経験から、大昔から、人は、力という概念が認識し、言語化してきた。 力の理解を深めるには、その働きについて理解する必要がある。
力の働き
力は物体の運動（速度）を変化させたり、物体を変形させる働きがある。
の 「2.2.1 力の性質」と 「6.1.2 力による運動の変化」 を見てください。
力の三要素とベクトル表示
多くの経験から、力の働きは、
力の大きさ、力の向き、力が作用する作用点
の、3つで決まる事が知られている。
これらを力の三要素という。
力は、その作用点を始点とする(束縛）ベクトルで表わすと都合がよい。
力の作用線
力のベクトルに重ねて引いた直線を力の作用線という。
力の作用線はその作用点を通る。
いろいろな力とその法則
力には、いろいろなものがある。
人間・動物の筋肉の力、万有引力 ,重力、電気力（電荷のクーロンの法則)、磁気力（磁荷のクーロンの法則)、弾性力（ばねなどの力）)、摩擦力、、機械の生み出す力、浮力、張力
などである。
これらの力のいくつかを学ぶ。
万有引力
任意の2つの物体には、互いに引力が働く。 この事実とその力の方向と大きさは、万有引力の法則と呼ばれる。 これについては5節で述べる。
電気力、磁気力
9章で学ぶ。簡単な説明は、 ウィキブックス（中学校理科 第1分野） の4章を参照のこと。
弾性力とフックの法則
- 高等学校理科 物理I 運動とエネルギー（ウィキブックス）の「2 運動の法則、2.3 弾性力」
摩擦力
物体$A$が他の物体$B$と接触しながら動くとき、
これを妨げようとする力を物体$B$から受ける。
この現象を運動摩擦(あるいは動摩擦)といい、この抗力を運動摩擦力という。
また物体$A$が他の物体$B$に接触し静止している状態で、
外力をうけて接触しながら動こうとするときも、
物体$B$から、これを妨げ静止状態を保たせようとする力を受ける。
この現象を静止摩擦といい、抗力を静止摩擦力という。
摩擦力の大きさは、摩擦係数で規定される。
これらについては、以下を参照のこと。
圧力
気体や液体の中におかれた物体の表面は、気体や液体から力を受ける。
単位面積の面に働く力を圧力といい、気体の場合は気圧、水の場合は水圧ともいう。
気体で圧力が生じるのは、それらを構成する膨大な個数の分子・原子がいろいろな方向に、はげしく飛び回っているため物体の面に衝突し、力を与えるためである。
水圧は、水の流動性と重力にもとずく。
次の法則が知られている。
①気圧や水圧は、同じ場所ならば、どのような向きの面に対しても一定である。
②下部になるほど、圧力は大きくなる。但し気体の場合はわずかである。
水圧についての法則は、運動法則が必要なので、
４章4節
で学ぶ。
気圧については、「７章 気体の分子運動論」で学ぶ。
力の一般法則
作用・反作用の法則（運動の第3法則）
第一の物体が第二の物体に力（作用と呼ぶ）を及ぼすときは、
第二の物体は第一の物体に力（反作用）を及ぼす。
作用・反作用の力の作用線は同一であり、力の大きさは等しく向きは逆である
という経験則（実験や観測で確かめられた法則のこと）である。
この法則は,ニュートンが、２つの玉の衝突の問題を考察する際に発見した。
力の合成と分解の法則
一つの質点に、力 $\vec F_1,\vec F_2, \cdots , \vec F_n$ が同時に働いた時と、
$\vec F =\vec F_1 + \cdots +\vec F_n$（ベクトルとしての和）という一つの力が働いたときとは、
この質点の運動は同一であることが実験により、確かめられている。
このため、力 $\vec F_1,\vec F_2, \cdots ,\vec F_n$が同時に働く時
その合力は、ベクトル和$\vec F =\vec F_1 + \cdots +\vec F_n$で与えられる。
但しこれらの力の作用点は同じである必要がある。
逆に一つの力を同一点に作用する２つ以上の力の和に分解すると
物体の運動を簡単に見つけられることがある。
これらについては
- 力(wikipedia) の「4 力の合成と分解」を見てください。
運動の3法則
ニュートンは以下に述べる運動の３法則と万有引力の法則を基本法則として採用した。
これらの４法則と力の合成則を用いて、地上の物体と惑星や彗星の運動のしかたを明らかにした。
これ以降、
これらの法則は地上のあらゆる物体（気体、液体、固体）の運動や天体の運動の解明に決定的役割を
果たし、最近まで、万能と思われてきた。
（注）２０世紀になって、
この法則がなりたたない現象（光速に近い運動や原子や電子など微小な物質の運動）が認識され、
相対論的力学や量子力学が生まれた。
これらは大学で学ぶ。
運動の第一法則（慣性法則）
慣性法則とは、通常
「力が作用していない物体は等速直線運動をするという法則である」と述べられる。
しかし正確には、「他の物質から遠く離れ、その作用を受けず自由に運動している物体が、等速直線運動しているように見える観測座標系が存在する」
と主張する法則である。
このような観測座標系を慣性座標系(略して慣性系）という。
太陽系の重心（後述）を原点にし、
座標軸の方向を、非常に遠方の恒星を用いてきめた座標系は、ほぼ正確な慣性系である。
この観測系に対して等速直線運動をする観測系(注１参照)から見ても、
自由運動する物体は、等速直線運動しているので、慣性系となる（ガリレイ変換とガリレオの相対性原理を参照のこと）。
地上で静止した観測系は、短時間の現象中には、
太陽系の慣性系にたいして、ほぼ等速直線運動するため
慣性系とみなしても殆ど誤差を生じない。
これは、多くの実験で確かめられている（注２参照のこと）。
ニュートンは、ガリレオ、デカルトにより、発見された慣性法則を、
運動の基本法則の第一番目に採用したのである。
物理学では、慣性系で観測するときの、運動法則を研究する。
(注１）全ての座標軸が等速直線運動すること。ガリレイ変換とガリレオの相対性原理を参照のこと。
(注２）しかし、この座標系は、太陽系の慣性系にたいして
等速直線運動ではなく、回転運動（地球の自転など）しているため、
長時間の運動ではその影響がでる。
例えば、フーコーの振り子現象。
運動の第二法則（運動法則）
一般に、物体がことなれば、
同じ大きさの力を加えても、速度の変わり方はことなる。
速度変化への抵抗力が異なるからだと考えられる。
前述のように、ギリシャ時代には、
物体の速度$v$ は、加えた力$ｆ$ に比例し、抵抗力$r$に反比例して変わると考えられた。
式で書くと$v \propto f/r$、変形すると $f \propto rv$
しかし慣性法則が発見され、力が作用しないと $v$、 $rv$ は不変であること、
従ってアリストテレスの運動法則は誤りであることが、明らかになった。
地球から一定の引力をうけて落下する物体は,
等加速度α(＝速度 $v$ の時間変化率$=\frac{dv}{dt}(t))$で運動することから、
$f\propto \frac{dv}{dt}$ と修正することが自然であろう。
さらに同じ物体を二つ束ねて、地球からの引力を２倍にしても
一つのときと同じ加速度で落ちることは、実験でたしかめられている。
運動への抵抗力ｒも２倍になったためと考えられる。
これを加味して、力と運動の関係を正確にすると
$\frac{f}{r}\propto \frac{dv}{dt}$、変形すると$f\propto r\frac{dv}{dt}$
比例定数が１となるように単位を選べば$f=r\frac{dv}{dt}$
運動中にも、抵抗力ｒが変化しないと仮定すれば、$f=\frac{d(rv)}{dt}$
これをベクトル量として正確に表現したものが、運動の第２法則である。
この法則の理解には
運動変化への抵抗力である慣性質量と運動量という概念が必要である。
慣性質量
ギリシャ時代の運動変化への抵抗力は、
主として、物体を取り囲む媒質（空中の物体は空気、水中なら水）からの力であった。
これだと真空にすると抵抗力はなくなり
力を受ける物体は無限の速さで運動することになり、矛盾が生じてしまう。
物質により、同じ力でも、簡単に運動状態を変えるもの、変えないものがあり、
運動変化への物質固有の抵抗の大きさがあると考えられる。
経験的には重いもの程、運動を変えにくいことが分かっているので、
抵抗の大きさが、重さに関係しそうだが、全く同じかどうかは分からない。
そこでニュートンは、
物質がもつ運動変化への抵抗の大きさを、その物質の固有の性質として認め、
慣性質量と名付けた。
運動量
物質の運動状態そのものをとらえようとして、
ニュートン以前にも、多くの先人たちによって、
運動量の萌芽的概念が唱えられ、運動の法則の表現に用いられてきた。
アリストテレスでいえば、
物体に働く強制力 $F$ 、運動への抵抗力 $r$ と物体の速さ $v$ には,
$ F∝rv$ という関係があった。
$ rv$を運動量とみなせば、これが、運動量概念を用いた運動法則である。
ガリレオは、重さ $m$、速さ $v$ の物体は、$mv$ という、運動の量を持つと考え、
慣性法則を、
物質に働く合力が零ならば、その物質の運動量は保存される
という法則とも捉えた。
デカルトは、
物体の集合は、外部から力を受けなければ、
運動の量の合計が保たれるように運動すると唱え、
運動量保存則の端緒を開いた。
彼は、これを２つの玉の衝突問題（衝突後、２つの玉は、どのように運動するか）に利用した。
ホイヘンスは、デカルトの研究をさらに発展させた。
しかし彼等は、部分的にしか正しい結論は得られなかった。
その原因は、
運動の方向を考慮できず、
速度ベクトルでなく、速さを用いて運動量の定義をしたことにある。
ニュートンは、初めて正しい運動量の概念を与えた。
ニュートンの運動量の定義； 慣性質量$ｍ$で速度ベクトル$\vec v$ を持つ質点の運動量$\vec P$ は、$\vec P=m\vec v$と定義する。
質点の速さでなく、速度ベクトルを用いて、運動量をベクトル量として捉えたところが鍵である。
ニュートンは、
作用・反作用の法則(運動の第３法則）と運動の第２法則を用いて、
運動量の保存則を証明した。後で説明する。
運動量についてさらに知りたい方は以下をどうぞ。
運動の第二法則
この準備のもとで運動の第2法則は、
運動量の時間変化は加えた力に等しい、と述べられる。数式で書くと
$\frac{d\vec P}{dt}(t)=\vec{F}(t) \qquad \qquad (1)$
多くの力学問題では、与えられた力のもとで、物体はいかに運動するかを調べることが中心になる。
すると式(1)は,解を求めたい関数($\vec P(t)$) の、時間 $t$ についての微分項を含む方程式になるので、微分方程式と呼ばれる。
慣性質量が運動中一定の場合、上式の右辺は
$\frac{d\vec P(t)}{dt}=\frac{dm\vec v(t)}{dt}=m\frac{d\vec v(t)}{dt}=m\frac{d^2\vec x(t)}{d^2t}=m\vec a(t)$
と変形出来る。
この場合の運動方程式は、
$m\vec a(t)=\vec{F}(t) \qquad \qquad \qquad (2)$
この変形は、質点の加速度$\vec a$、速度$\vec v$、位置$\vec x$を求める時に便利である。
例えば、加速度を求めたいときは、
$m\vec a(t)=\vec F$ を解いて、$\vec a(t)=\vec F/m$ < br/>
速度を求めたいときは、$m\frac{d\vec v(t)}{dt}=\vec F$を解けば良い。
今後、微分方程式を解く問題では$\vec{F}$は一定の場合に限定する。
$\vec{F}$ が時間とともに変わる時は、
解法には微分方程式の知識がかなり必要になる。
本テキストの目的を考え、扱わない。
第二法則の多義性
第二法則は、質量と加速度（あるいは運動量の時間変化）と力の間の関係を与えるので、色々な意味を持つ。
（１）慣性質量の定義と計測法を与える
加える力が一定のとき、$m\vec a)=\vec F$、ベクトルの絶対値(ノルムともいう）をとると、$m|\vec a)|=|\vec F|$。これより$m=|\vec F|/|\vec a|$。この式が慣性質量の定義を与える。
慣性質量の値は、力や加速度の単位をきめ、これらを数値化しないと、計算できない。しかし通常、力の単位は、質量の単位も使って定義し、質量と加速度を数値化して計算する。従って慣性質量の定義式から直接質量の値を決めることは出来ない。
そこで、基準となる物質を選び、この慣性質量との比で、他の物質の慣性質量を求める。
単位の基準となる物質(質点とみなせる)を選び、慣性質量を$m_{0}$と書く。
質量を計測したい物質の質量を$m$と書く。
この両物質に同じ力$\vec F$を加え、その加速度$\vec a_0,\vec a$を測定する。
運動の第２法則から、$m_{0}\vec a_0=\vec F$、$m\vec a=\vec F$ なので、
$m_{0}\vec a_0=m\vec a$ が得られる。
両辺の絶対値をとると、$m_{0}|\vec a_0|=m|\vec a|$ 。
∴ $m=m_{0}|\vec a_0|/|\vec a|$
基準物質として、１kg(重力質量）を選び、これを１kg(慣性)と名付ければ、慣性質量でもkgの単位が入り、物質の慣性質量が計測できる。
（２）力の定義と力の大きさの計測
質量の分かっている質点に力を作用させ、その運動量の時間変化（あるいは加速度）を測れば、力の大きさが分かる。
（３）質量と作用する合力がわかれば、質点の運動(速度、運動量、位置の時間変化）が正確に分かる。
質量と作用する合力の大きさから、$F$ が（力の法則などから）分かると、初期時刻 $0$ の質点の位置と速度を与えれば、この方程式を解いて、任意の時刻 $t \ge 0$ の質点加速度、速度、位置が分かる。
$\quad F$が一定の場合の、方程式の解
$\qquad$質点の質量を$m$、作用する力を$\vec F$（一定）、初期時刻$t=0$における質点位置を$\vec x_0$,初期速度を$\vec v_0$とする。
$\qquad$ 運動方程式;$m (d^2/dt^2)\vec x(t)=\vec F$
$\qquad$ 加速度；$(d^2/dt^2)\vec x(t)=\vec F/m$
$\qquad$ 速度；$\vec{v}(t)=(d/dt)\vec x(t)=(\vec F/m)t+\vec v_0$$\quad$(検算：微分すると加速度$\vec F/m$が得られ,初期速度は$\vec v_0$なので、速度の解である）
$\qquad$ 位置；$\vec{x(t)}=\frac{1}{2}(\vec{F}/m)t^2+\vec{v_0}t+\vec x_0$
$\quad$(検算：初期位置$\vec{x_0}$、$t$で微分すると速度の解となる）
運動の第三法則（作用・反作用の法則）
これについてはすでに３節で説明した。
万有引力の法則
ニュートンは、地上の物体の運動も天体の運動も同じ法則に従うと考えた。
惑星は慣性法則により、等速直線運動をしようとするが、太陽から引力を受け、太陽に向かって落下して、楕円軌道を描くと推測した。
そこで、惑星が受けている力を、ケプラーの法則と、後述する、運動の第２法則から求めた。するとその力の向きは、太陽に向かっていた。
月の運動の解析からも、月は地球の向きに力を受けていることが分かった。地上の物体も地球の中心向きの引力を受け落下運動をする。
これらの考察から、ニュートンは、任意の２物体間には、引力が働くという性質を自然は持っていると確信し、
万有引力の法則と名付けた。
この法則の理解には質量（正確には重力質量）という概念が必要です。
重さと重力質量について
人間は,物を持つと重さを感じる。そこで、人類は大昔から重さについて認識していた。
重い物を持ち上げるため、梃子(てこ）という器具を発明し、重さを正確に知る必要性が高まるとともに梃子の性質を利用した「天秤ばかり」という器具を発明した。
梃子の原理
梃子はすでに、紀元前５０００年のエジプトのピラミッド建設でも利用されていた。
この当時、人類は、この梃子にかんする簡単な性質は、かなり知っていたのである。
一般的な梃子の原理もかなり前から経験的に知っていたと思われる。
ギリシャのアリストテレスやアルキメデス（Archimedes、紀元前287年 - 紀元前212年）は、梃子の一般原理を正確に述べ、
なぜこの原理が成立するか、論証を試みている。
アルキメデスは、経験から得られている梃子のつり合いに関するいくつかの簡単な事実を前提として、
厳密に梃子の一般原理を論証で導いた。
天秤ばかり
天秤ばかりは、紀元前5000年ころにはエジプトで使われていた。
均質な一本の棒の真ん中を支点にして、支点から等距離にある両端に皿を固定(あるいは、ぶらさげ)、
片方の皿に計量したい物体をのせ(棒は傾く)、次に他方の皿に「分銅」という重さの分かっている重りを次々とのせて、
釣り合わせる(＝棒を水平な状態に保つ）。このときの分銅の重さの合計が、物体の重さになる。
天秤は、支点から等距離に働く、同じ大きさの重さ(地球中心への力）は釣り合うという、梃子の性質を利用したもの。
重力質量
重さ（地球に向かう力）が、なぜ生じるのか、長い間不明であった。
ニュートンは、地上の物体が地球の中心に向かうによる万有引力の法則の発見とともに、
重力質量の測り方
基準物質の質量を１ｋｇと定めておく。
当初の基準物質は、水１リットル(1000cc)と定められた。
質量を知りたい物体を天秤ばかりの片側のさらに乗せ、これと釣り合うように、もう一方の天秤の皿に水を注ぐ。
この時の水の体積を計量すれば、物質の重さが測れる。
これでは不便なので、色々な体積の水とつりあう分銅を作っておき、これを水の代わりにする。
万有引力の法則
どのような２つの物体も互いに引き合う。
力$\vec F$の向きは、これらを結ぶ直線の方向と一致し、
その大きさ$\|\vec F \|$は、２つの物体の質量の積$m_{1}m_{2}$に比例し、その距離$r$の２乗に反比例する。
力の大きさを式で書くと、
$\|\vec F \|=G\frac{m_{1}m_(2)}{r^2}$
これを万有引力の法則という。
ここで、$G=6.67259x10^{-11}m^3/kg\cdot s^2 $ は万有引力定数という。
この法則は、多くの観測から、この宇宙の中で普遍的に成り立つと考えられている。
この力は、後に学ぶ電気力に比べて桁違いに小さく、
身近にある2物体に働く引力は極小で無視できる.
ちなみに、１ｍ離れた質量１ｋｇの2質点に作用する万有引力の大きさは、
質量の単位をｋｇ、距離の単位をｍにしたとき
$\|\vec F \|=6.67259x10^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}\frac{1kg^2}{1m^2}
= 6.67259x10^{-11}\frac{kg \cdot m}{s^2}=6.67259x10^{-11}N\quad$ (ニュートン；力の単位 )
しかし、質量が大きい星などとの間の引力は大きくなる。
地球の重力は、地球と地上の物体の間に働く、万有引力である。
- ウィキペディア（万有引力の法則）を参照のこと。
物体間の万有引力
実際の物体は大きさがあり、質点ではない。
この場合の万有引力を求めるには、
2物体をそれぞれ細かく分けて、質点系とかんがえ、
それぞれの質点系から任意の質点をひとつずつ選んで、万有引力を求め、
これらすべての合力を求める。
実際に実行するのは一般には難しくコンピュータによる数値計算による。
質量分布が球対称な球体の場合には、球体の外部の質点ｍとの間の引力の積分計算ができ、
球体の中心にすべての質量が集まった質点と質点ｍの作る万有引力と一致すること
が分かっている。計算が少し難しいので、本テキストでは、証明はしない。
万有引力の法則のベクトル表示
ベクトルは大きさと方向・向きを同時に記述できるので、力の表現には大変便利である。
万有引力の法則をベクトル表示してみよう。
質点$m_1$の位置ベクトルを$\vec{r_1}$、質点$m_2$の位置ベクトルを$\vec{r_2}$、
質点$m_1$が質点$m_2$から受ける万有引力を$\vec{F_{1,2}}$とすると
$\vec{F_{1,2}}=G\frac{m_{1}m_{2}}{\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|^2}\frac{\vec{r_2}-\vec{r_1}}{\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|}$
この式の右辺の最初の分数項は、力の大きさが2つの質量の積に比例し、2つの質点間の距離の２乗に反比例することを表す。
次の分数項は、力の方向・向きを表す長さ１のベクトルであり、力の方向・向きベクトルという。
地球の重力と重力加速度
地球上の物体に対して働く地球の万有引力と地球自転による遠心力（４章1節参照）との合力を地球の重力という。
物体に作用する重力を質量で割ったものを重力加速度といい、$g$で表す。場所によって多少異なるが、地球表面近くでは、ほぼ$g=9.8 m/s^2$である。
この定義により、質量$M$の質点に働く重力は、$Mg$となる。
（注）ニュートンの運動の第２法則により、重力加速度は、重力という力をうけて落下する物体の加速度に等しいことが分かる（4章一節）。
このため、これを重力加速度の定義にする場合もある。
重力質量と重さ
物質は、その重力質量$M$に比例した力（重力）$Mg$を地球から受ける。
人が、物体を持った時重さ(重量）を感じるのは、重力を受けて落ちようとする物体を支えるために、重力と同じ大きさで逆むきの力を使うからである。
場所によって重力加速度が変わるため、物質の重量は変わる。
しかし、質量は、その物質固有のもので、不変である。
重力加速度は場所によって変わるものの、天秤ばかりでは計量すべき物体と分銅はわずかな距離しか離れていないため、両者に働く重力加速度は同一である。
両者の質量を$M,m$とし、その場所の重力加速度を$g$とすると、天秤が釣り合う（両者に作用する重力が等しい）ことを式で書くと$Mg=mg$ であり、$M=m$となる。
天秤ばかりは、分銅の重力質量と計量物体の重力質量が同じかどうかを判断する器具であることが分かった。
慣性質量と重力質量の等価性
色々な実験により、両質量は一致したので、ニュートンは両者が等価であると考え同一視した。
その後実験に工夫を重ねて非常に大きな精度で両者は一致していることが確かめられた。現在の物理学では両者は等価であるとされている。そこで2つの質量を区別しないで、単に、質量と呼んでいる。
ガリレイ変換とガリレイの相対性原理
どのような慣性系で観測しても力学の法則は同じであるという原理。
一つの慣性系にたいして等速直線運動する観測系を考えると、
力の働いてない物体はやはり、等速直線運動するので慣性系であり、
運動の第２、第３法則、万有引力の法則、力の合成則が成立することを主張している。
重要な原理なので、やや詳しく考察しよう。
ガリレイ変換
観測座標系S(O-x_{1}x_{2}x_{3})からみて、観測座標系S'(O'-x'_{1}x'_{2}x'_{3})が
並進運動(注参照)しているとする。
（注）座標系S'の任意の点$(x'_1,x'_2,x'_3)$が、座標系Ｓからみると、
すべて同じ速度($\frac{d\vec{OO'(t)}{dt}$で移動すること。
言い換えると、Ｓ'の各座標軸上の点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)が、Ｓ系からみると皆、
同じ速度$\frac{d\vec{OO'(t)}{dt}$で運動すること。
ニュートン力学では
時間は全ての観測系で同一であると考える(絶対時間の存在)。
空間の任意の点Ｐを、ある時刻ｔのとき、両系S,S'から観測したときの位置ベクトルを、それぞれ$\vec r,\vec{r'}$とする。
さらにニュートン力学では
空間の点Pから、他の点Qに向けた有向線分は、どの観測系からみても、同一であると考える。
するとS'系で観測した、点O'から点Ｐまでの有向線分$\vec{r'}$は、
S系で観測するO'から点Ｐまでの有向線分でもある。
そこで、Ｓ系での有向線分の和をとると、
$\vec{r}=\vec{OO'}(t)+\vec{r'}\qquad \qquad (1)$
(注；ベクトルとみなしてベクトル和と考えても同じ結果を得る）。
図参照のこと。
この式(1)を、S系とS'系の観測値を関係づける、ガリレイ変換と呼ぶ。
次にある質点ｍの運動を観測する。
時刻ｔにおいて質点を２つの系S,S'から見たときの位置ベクトルを、それぞれ、
$\vec{r}=\vec{r}(t)$、$\vec{r'}=\vec{r'}(t)$と書く。
これらの位置ベクトルの関係は、式(１）から、
$\vec{r}(t)=\vec{OO'}(t)+\vec{r'}(t) \qquad \qquad (2)$
この時次の命題が成立する。
命題１
2つの質点$m_{1},m_{2}$を、上述の観測系SとS'から観測する。
すると、
$\vec{r_{2}}(t)-\vec{r_{1}}(t)=\vec{r'_{2}}(t)-\vec{r'_{1}}(t)$
$\vec{v_{2}}(t)-\vec{v_{1}}(t)=\vec{v'_{2}}(t)-\vec{v'_{1}}(t)$
ここでｒとｖはS系からみた質点の位置と速度、ｒ'とｖ'はS'系からみた質点の速度である。
証明
ガリレイ変換式(2)より、
$\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}=(\vec{OO'}+\vec{r'_{2}})-(\vec{OO'}+\vec{r'_{1}})=\vec{r'_2}-\vec{r'_1}$
補題の証明終わり。
命題２
Ｓ系(原点O)は慣性系とし、Ｓ'系(原点O')はＳ系からみて並進運動する観測系とする。
すると、
S'系が慣性系である必要十分条件は、
S'系の原点O'がＳ系からみて等速直線運動すること。
すなわち、ある速度ベクトル$\vec{v}$が存在して、$\frac{d\vec{OO'}(t)}{dt}=\vec{v}$
証明；
（＝＞）S'系が慣性系であると仮定する。
自由運動する質点は、どちらの系Ｓ，Ｓ'からみても、等速直線運動する。
そこで、それらの速度をそれぞれ
$\vec v=\frac{dr}{dt}(t)\quad $,$\vec{v'}=\frac{dr'}{dt}(t)$と書く。
ガリレイ変換式（２）の両辺を時間ｔで微分すると、
$\vec{v}=\frac{\vec{OO'}}{dt}(t)+\vec{v'}$
移項すると、
$\frac{\vec{OO'}}{dt}(t)=\vec{v'}-\vec{v}$
ゆえに、Ｏ'はＳ系からみて、等速直線運動する。
（＜＝）
$\frac{\vec{OO'}}{dt}(t)=\vec{w} \qquad \qquad \qquad (2)$と仮定する。
すると、自由運動がＳ'系からみても等速直線運動になることを示せば良い。
慣性系Ｓからみた自由運動$\vec{r}(t)$は等速直線運動になる。
そこで、ある速度ベクトル$\vec{v}$を用いて$\vec v(t)=\frac{dr}{dt}(t)=\vec{v}$と書ける。
ガリレイ変換式（２）の両辺を時間ｔで微分すると
$\vec{v}(t)=\vec{w}+\vec v'(t) \quad \qquad (3)$
移項すると、
$\vec v'(t)=\vec{v}(t)-\vec{w}=\vec{v}-\vec{w}$
所望の結論が得られた。証明終わり。
命題３
慣性座標系ＳとＳ'を考える。
運動する質点の加速度は、どちらの系で観測しても同一である。
証明；
命題２から
Ｓ'系は、Ｓ系からみて、ある速度$\vec{w}$で、等速並進運動する。
すると、命題２の式（３）より、
$\vec{v}(t)=\vec{w}+\vec v'(t) $
この式の両辺をｔで微分すれば、所望の結果が得られる。
ガリレイの相対性原理の証明
力学の第一法則（慣性法則）により、この宇宙には慣性系は存在する。
実際、太陽系の重心を原点にし、遠方の恒星で座標系を決めれば、これが慣性系Ｓになることが経験的に確かめられている。この慣性系では、多くの経験や実験から、力学の基本法則(力の合成則と運動の第2法則、第3法則、万有引力の法則)
が成立するとすることが判明している。
このとき、ガリレオの相対性原理は、
全ての慣性系で、力学の基本法則が成立する
と主張する。
この原理は、
2つの慣性系からの位置の観測値の間にガリレイ変換の関係が成り立ち、
質量と力の観測値が、どの慣性系からみても同じならば、
次のように証明できる。
慣性系Ｓで、力学の基本法則がすべて成立すると仮定する。
（１）Ｓ'系で、運動の第2法則は成り立つことを示す。
力$\vec F$が作用して、質点ｍが運動しているとする。
S系で、運動の第2法則は成り立つので、
$\vec F=m\alpha:=m\frac{d\vec v}{dt}(t)$
命題３から、Ｓ系で観測した加速度$\alpha$は、Ｓ'系で観測した加速度$\alpha'$に等しい。
ゆえに、
$\vec F=m\alpha'$
mとＦは、仮定により、Ｓ'系で観測した質点の質量とそれに作用する力でもあるので、
Ｓ'系でも運動の第2法則が成り立つことが示せた。
（２）力の合成法則がＳ'系でも成立。
質点ｍに、ｎ個の力$\vec{F}_i,(i=1,2,,,n)$が同時に作用しているとする。
Ｓ系では、力の合成法則がなりたつので、質点はひとつの合力$\vec F:=\sum_{i=1}^{n}\vec{F}_i$を受けた質点ｍと同じく
$\vec F=m\alpha$
に従って運動する。
ところが、この質点の加速度をＳ'から観測しても変わらないので
$\vec F=m\alpha'$
質量と力は慣性系によらず一定なので、
ｍと$\vec F$は、Ｓ'系で観測した質点の質量と合力でもある。
したがって、Ｓ'系でも、ｎ個の力が同時に作用する質点の運動は、
それらの合力が作用する運動と同一になる。力の合成則が示せた。
（３）力は両系で共通なので明らかにＳ'系でも作用反作用の法則(第３法則)が成立。
（４）万有引力の法則がＳ'系で成立する。
命題１から、
2つの質点$m_{1},m_{2}$を、観測系SとS'から観測すると、
$\vec{r_{2}}(t)-\vec{r_{1}}(t)=\vec{r'_{2}}(t)-\vec{r'_{1}}(t)$
この関係と質量不変、力の不変の性質から、Ｓ系で成立する万有引力の法則の式は、
Ｓ'系の万有引力の法則の式になっていることが分かる。
ガリレイの相対性原理から質量と力の不変性を導く
前節では、２つの慣性系の位置ベクトルの間にガリレイ変換の関係が成り立つとき、 質量と力が慣性系の取り方によらずに決まるならば、相対性原理が成立することを示した。 この節では、逆にガリレイの相対性原理から、質量と力が慣性座標系に依存しないことを示そう。
作用する力を質量で割ったものは、どの慣性系からみても同一
２つの慣性系S,Ｓ'をとる。原点をそれぞれO,O'とする。
前項で証明したように、
ある速度ベクトル$\vec{v}$が存在して、$\frac{d\vec{OO'(t)}{dt}=\vec{v}$
質点に力が作用し、運動するのを、2つの慣性系S,S'から観測する。
系Sからみた質点の質量をｍ、作用する力を$\vec F$とする。
すると運動の第2法則から$m\frac {dv}{dt}(t)=\vec F$
ゆえに、$\frac {dv}{dt}(t)=\vec F/m \qquad \qquad (1)$
同様に、系S'からみた質点の質量を$m'$、作用する力を$\vec F'$とすると
$\frac {dv'}{dt}(t)=\vec F'/m'\qquad \qquad (2)$
命題３から$\frac {dv}{dt}(t)= \frac {dv'}{dt}(t)|qquad \qquad (3)$
式(1)(2）(3)から
$\vec F/m=\frac {dv}{dt}(t)=\frac {dv'}{dt}(t)=\vec F'/m'\qquad \qquad (4)$
所望の結論が得られた。
質量は、どの慣性系からみても同一
2つの質点が万有引力で引き合って、運動しているのを、系SとS'から観測する。
S系の観測値は、2つの質点の質量が$m_1,m_2$,位置ベクトルが$\vec r_{1},\vec r_{2}$、
S'系の観測値は、質量$m'_1,m'_2$,位置ベクトル$\vec r'_{1},\vec r'_{2}$
であるとする。
第1の質点が第2の質点から受ける万有引力は、S系では、
$\vec{F_{1,2}}=G\frac{m_{1}m_{2}}{\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|^2}
\frac{\vec{r_2}-\vec{r_1}}{\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|}
同じくＳ'では、
$\vec{F'_{1,2}}=G\frac{m'_{1}m'_{2}}{\|\vec{r'_2}-\vec{r'_1}\|^2}
\frac{\vec{r'_2}-\vec{r'_1}}{\|\vec{r'_2}-\vec{r'_1}\|}
前項で証明した式（４)により
$\vec F_{1,2}/m_{1}=\vec F'_{1,2}/m'_{1}$なので、上の式から
$G\frac{m_{2}}{\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|^2}
\frac{\vec{r_2}-\vec{r_1}}{\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|}
=G\frac{m'_{2}}{\|\vec{r'_2}-\vec{r'_1}\|^2}
\frac{\vec{r'_2}-\vec{r'_1}}{\|\vec{r'_2}-\vec{r'_1}\|}\qquad \qquad (5)$
ガリレイ変換の節の命題１により、
$\vec{r_2}-\vec{r_1}=\vec{r'_2}-\vec{r'_1}$なので式(5)から
$m_{2}=m'_{2}$
同様にして、第2の質点が第１の質点から受ける万有引力の式から、$m_{1}=m'_{1}$
所望の結論が得られた。
力はどの慣性系からみても同一
$\vec F/m= F'/m'\qquad \qquad (4)$と$m= m'$から、明らか。
ガリレイの相対性原理は長い間物理学の指導原理となっていた。
２０世紀になって、アインシュタインによって修正された。
これについては本テキストでは扱わない。
質量、運動量、力の単位
質量は基本単位で、SI国際単位系では、キログラム（ｋｇ＝１０００ｇ）が採用されている。
１ｋｇは当初、水1リットルの質量であった。
その後、この１キログラムの定義に合わせた白金製の原器(国際キログラム原器）が作製された。
運動量$\vec P$の単位は、その定義式$\vec P=m\vec v$ の単位の関係から、
運動量の単位＝質量の単位*速度の単位＝ｋｇ*$m/s$である。
SI単位系ではこの単位には名前がつけられていない。
力の単位は、運動の第2法則$\vec F=m\frac{d\vec v(t)}{dt}$によって、基本単位の時間、長さ、質量を用いて、組み立てられる。
第2法則によってきまる単位の関係式は、力の単位＝質量の単位*加速度の単位＝ｋｇ*
$m/s^2$である。
この組立単位をニュートン(N)と呼ぶ。N=kg*m$/s^2$である。詳しくは、
