気体・液体の圧力

この節では気体や液体を、
分子や原子という粒子から構成されるという微視的立場でなく、
巨視的に捉え空間的に滑らかな連続体であるとみなす。
連続体の内部の微小部分に働く力を考え、其の釣合いについて考え、
静止した気体・液体の圧力(詳しくは静止圧力)の性質を導く。

　気体や液体とは何か

　気体と液体の特徴

気体と液体は体積の変化には抵抗するが、
形の変化には、抵抗しない。(ただし非常に速い変化には抵抗する）。
但し、気体の体積変化への抵抗は小さく、液体は非常に大きい。

　静止した気体と液体の圧力

静止した気体や液体は、その表面または内部に任意の面を考えると、その面で２分される。
それらは、境界面を通して互いに他を押している。その２力は大きさ・方向は等しく、逆向きである(作用反作用の法則)
単位面積当たりのこの力を応力とよぶ。
その発生は、重力の存在と前述の気体や液体の特徴(形の変化に抵抗しない)に起因する。
この力の性質を、気体・液体の特徴から導こう。

応力は面に垂直に働く　

説明は便宜上、液体の語で述べる。
命題１：
静止した液体(気体)の表面あるいは内部に任意のなめらかな面(注参照)を考える。
この面上の応力は、常にこの面に直角に働く。
面と常に直角に働く応力を、圧力と呼ぶ。
(注)面のどの一点においても、その点にごく近い面の部分だけをみれば、平面とみなせる曲面のこと。理由；
もし、ある面上のある一点 $P$ の周辺の微小面部分(Ｓと書く)で、押し合う力がこの面と平行な成分を持つとする。
Ｓは仮定より、平面（の一部）と考えてよい。

図のように、面部分Ｓとそれと平行な平面の一部Ｓ’から作られる、
非常に薄い液体の板状部分Ｖを考える。

するとＶがＳを通して液体から受ける力の総和 $\vec F_S$ は、面Ｓと平行な成分をもつ。
面ＳとＳ’は、非常に近いので、
Ｓを挟んで押し合う力と、Ｓ’を挟んで押し合う力は、単位面積当たり、ほぼ等しいと考えてよい。
すると、ＶがＳ’を通して液体から受ける力 $\vec F_{S'}$ は、
Ｓを通して受ける力と大きさと方向はほぼ同じで、逆向きになる。
$\vec F_{S'}$ の面Ｓと平行な成分も、 $\vec F_S$ のＳと平行な成分と大きさはおなじで、逆向きになる。
液体は自由に形を変えられるので、ＶのＳ面とＳ’面は逆方向に動いてしまい、
静水という条件に反してしまう。
従って、
「ある面上のある一点 $P$ の周辺の微小面部分Ｓで、押し合う力がこの面と平行な成分を持つ」
という仮定はあり得ないことが示された。

定義；どの面を考えても直角に働く応力を圧力と呼ぶ。

圧力の性質

命題２
どの面にも直角に働く応力(圧力)は、どの点でも面の方向によらず一定の強さ(大きさ)をもつ。
証明；
液体中の任意の点を $O$ とする。
$O$ を原点とする、直交右手系 $O-xyz$ を定める。
$O$ を通る任意の面 $H$ をとる。
$O$ 点における、
この面における圧力 $p$ とｘｙ平面における圧力 $p_z$ 、ｙｚ平面、ｚｘ平面における圧力 $p_x,p_y$
が等しいことを示そう。
平面 $H$ と平行で $O$ 点の近くを通る平面 $H'$ が
ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸と交わる点をそれぞれ、
$A(\alpha a,0,0),B(0,\alpha b,0),C(0,0,\alpha c)$ とおく。図参照。
四面体 $OABC$ の外部の液体が、
$\triangle{OBC}$ を押す力を $\vec F^x$ , $\triangle{OCA}$ を押す力を $\vec F^y$ , $\triangle{OAB}$ を押す力を $\vec F^z$ , $\triangle{ACB}$ を押す力を $\vec F$
とおく。
四面体内の液体が静止しているので、
$\vec F^x+\vec F^y +\vec F^z+\vec F=0 \qquad (1)$
が成り立つ。
この式を圧力で表示しよう。
$\lim_{\alpha \to 0}\frac{\|\vec F^x\|}{|\triangle{OBC}|}=p_x$ なので、
$\alpha$ が十分小さければ
$\|\vec F^x\|=|\triangle{OBC}| p_x=\frac{1}{2}|\alpha b \alpha c|p_x$
故に、 $2\vec F^x=\vec{OB}\times \vec{OC}p_x=\alpha b \alpha c p_x\vec{e_x}$
同様に $2\vec F^y=\vec{OC}\times \vec{OA}p_y=\alpha c \alpha a p_y\vec{e_y}$ 、
$2vec F^z=\vec{OA}\times \vec{OB}p_z=\alpha a \alpha b p_z\vec{e_z}$
$2\vec F=\vec{AC}\times \vec{AB}p=p(-\alpha a,0,\alpha c)\times (-\alpha a,\alpha b,0)$
これらを(1)式に代入して
$p_x\vec{e_x}+p_y\vec{e_y}+p_z\vec{e_z}+\vec{AC}\times \vec{AB}p=0 \quad (2)$
これを計算すると、
$\left({\alpha}^{2}bc(p_x-p),{\alpha}^{2}ca(p_y-p),{\alpha}^{2}ab(p_z-p)\right)=0$
これより、 $p=p_x=p_y=p_z$ 　　　証明終わり。

命題３
一様な重力のもとで静止している気体・液体内では、同一水平面上での圧力の大きさは一定である。　
図示した液体部分 $V$ が静止しているので、 $V$ に作用する力の総和が零になっている。
#ref(fig-GENPHY00010207Q-01.jpg) このことから、この命題は容易に証明できる。

水圧の性質

水は圧力によってほとんど密度を変えない。すると次の命題が有用である。命題４
もし液体の密度 $\rho$ が圧力によって変化しないならば、　
深さ $l_1$ の水平面 $H_1$ 上の圧力 $p_1$ と　　
深さ $l_2 \quad(l_2>l_1)$ の水平面 $H_2$ 上の圧力 $p_2$ には　　
次の関係が成り立つ。　
$p_2=p_1+\rho g(l_2-l_1)$ 　　

図示した液体部分 $V$ が静止しているので、 $V$ に作用する力の総和が零になっている。
このことから、この命題は容易に証明できる。

命題５　アルキメデスの浮力の原理
物体Wを比重 $\rho[kg/m^3]$ の水(液体)に入れ、水没した部分Aの体積をV $[m^3]$ とする。
この時、
(１) この物体Wの重量は、ρVｇ[N]である。ここでｇ[N/kg]は重力加速度
(２) 物体は取り除き、物体の水没していた部分Aを、これと同じ形で周りの水(液体)と同じ比重の剛体A'で入れ替える。図参照

ref(fig-GENPHY00010207-01.jpg)

剛体の重心を $G_{A'}$ とおくと、物体Wに働く水圧の合計は $G_{A'}$ に作用する鉛直上向きで、大きさρVｇの力とみなせる。証明
物体Wを水に入れた時と、剛体A'を入れた時の水面は同じになり、A と A'は重なる。 A（とA')の水中の表面を微小部分 $S_{i},i=1,2,,,N$ に分割する。水圧は、水面下の深さだけできまるので、
物体の水没部分Aの表面の微小部分 $S_{i}$ が周りの水から受ける力(水圧×面積) $\vec{f}_i$ は、
剛体A'の対応する表面 $S_{i}$ が周りの水から受ける力に等しい。
剛体A'は静止しているので、釣合の条件を満たす。
A'に作用する外力は
重心 $G_{A'}$ に働く重力 $\vec{F}$ (鉛直下方にρVｇ)と
各表面 $S_{i}$ に働く水圧の力 $\vec{f}_i,(i=1,2,,,N)$ なので、
「2.5　剛体と回転力」の[|剛体の釣合条件]から
$\vec{F}+$

　のように、
A'を質点をみなせるほど微小な正立方体 $A'_{i},(i=1,2,,,N)$ に分割する。
ただしA'の表面を含む分割領域はその表面を一つの面にする立体である。
水は静止しているので、
各微小立体 $A'_{i}$ に作用する力のベクトル和 $\vec{F}_i$ は０である。
故に、 $0=\vec{F}_i=\vec{f}_i+\sum_{j,j\neq i}\vec{F}_{i,j}$
ここで、 $\vec{f}_i$ は、 $A'_{i}$ がA'を囲む水からうける水圧、 $\vec{F}_{i,j}$ は $A'_{j}$ から受ける応力であり、 $A'_{i}$ と $A'_{j}$ が接触しているときに働き、 $\vec{F}_{i,j}=-$ \vec{F}_{j,i} $である。図のように定義点$ G_{A'} $を、物体の水没した部分Aの'''浮心'''(centre of buoyancy)と呼ぶ。命題５の系；物体を比重$ \rho[kg/m^3] $の水(液体)に入れた時、作用する浮力の合力は水没した部分Aの浮心に作用し、鉛直上方に大きさ$ \rho g V_{A} $であるとみなしても良い（静止条件や剛体としての運動を考える限り）。 *[[wikipedia_ja:アルキメデスの原理|ウィキペディア(アルキメデスの原理)]]　 ===気体の圧力と大気圧=== 気体は圧力が増すと縮むので、命題３のⅱ）の結論は成立しない。大気は静止していると仮定し、地表の大気圧から高度ｚでの大気圧を求めてみよう。地表の一点を原点とし、鉛直上方をｚ軸の正方向になる座標$ O-xyz $をいれる。図のように、下底面が高さ$ z $、上底面が高さ$ z+h $の、単位断面積の角柱$ V $を考える。その部分の気体が受ける力の和は零となるので、次式が成り立つ。$ p(z+h)+mg=p(z) \qquad \qquad (1) $ここで・$ p(z) $は高さ$ z $の地点の大気圧（命題３のⅰ）から、高度が同じ水平面上で圧力は一定）・$ m $は$ V $の質量。$ V $の体積$ h $と平均質量密度$ \rho $の積。圧力が大きいと空気は縮み質量密度は高くなるので、両者の関係を求めねばならない。空気体積の変動にともなう温度変化がないとすると、ボイルの法則(３章１節　熱とエネルギー参照)から、$ p\frac{V}{m}=c $（$ c $は温度だけに依存する数）質量密度$ \rho=\frac{m}{V} $を代入すると、$ \frac{p}{\rho}=c $,ゆえに、$ \rho=\frac{p}{c}\frac{1}{c} $を、$ c $とおくと、$ \rho=cp　　\qquad \qquad (2) $この質量密度と圧力の関係を用いると、$ m=h\rho \approx hcp(z) $（ｈが小さいほど差は少なくなる）この式を(１)式に代入して、$ p(z+h)+cgp(z)h\approx p(z) $、変形すると$ \frac{p(z+h)-p(z)}{h} \approx -cgp(z) $。これより$ \frac{dp(z)}{dz}=\lim_{h\to 0}\frac{p(z+h)-p(z)}{h}= -cgp(z) $を得る。これを積分して$ p(z)=p_{0}e^{-cgz} $を得る。ここで$ p_{0} $は、地表での圧力、$ e $は[[wikipedia_ja:ネイピア数 |ネイピア数]]である。地表での質量密度が$ \rho_{0} $ならば,(2)式から、$ c=\frac{\rho_{0}}{p_{0}} $=== 圧力の単位 === 圧力は、単位面積当たりの力なので、その単位は面積の単位$ m^2 $と力の単位$ N $から得られる。$ Pa=N/m^2=kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}$
が圧力の単位で、パスカルと呼ばれる。

物理/気体・液体の圧力

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