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目次 [非表示] 1 音と音波 1.1 音波の伝わり方 1.1.1 音波の速さ 1.1.2 音の3要素 1.2 音の性質 1.2.1 （１）音のうなり 1.2.2 （７）音の干渉

音と音波

音波とは、狭い意味では、空気の粗密の振動が伝わっていく縦波である。
広義には、気体、液体、固体の中を伝わる縦波（粗密波）を音波という。
音波は波なので、反射、屈折、回折、干渉など、波に共通する特有の性質をもつ。
そのため、「4.1　波の性質」で述べたことは、すべて成立する。

音波の伝わり方

音波の速さ

乾燥した空気をつたわる音波の速さ　$V$　は
空気温度 t℃　が高くなると早くなり、
$V=331.3+0.6 t \qquad \qquad (1)$
で表せる(注参照）。
液体や固体中の音波の速さは、空気中よりずっと大きい。
音速の測定や理論研究の歴史、種々の媒質中の音速については、

• ウィキペディア(音速)

を参照のこと。

(注)　空気は静止していると仮定している。
一定速度で動く空気中では、
その空気に対する音の相対速度が、式（１）で表される。

音の3要素

音の3要素 とは次の3つである。

（１）音の高さ；
振動数の高い音ほど、高音に聞こえる。
１オクターブ高い音とは、振動数が2倍になることをいう。
ちなみに、人間の耳に聞こえる音は、振動数が20Ｈｚから2万Ｈｚの音である。
可聴音という。
（２）音の強さ；
音には強く聞こえる音と弱く聞こえる音がある。
音の強弱は、媒質の密度、波の振幅と振動数によって決まる。
媒質密度と振動数が同じならば、振幅の大きな音ほど強く聞こえる。
（３）音色；
発音体が違うと振動数と強さが同じ音でも、音の感じが違う。
これを音色あるいは、ねいろという。
波の多くは、波形が正弦関数で表せないので、
振動数や振幅が同じでも、波形が異なるため音色が異なる。

音の性質

以下の（１）から（７）までの音の性質については、

• [[wikibooks_ja:高等学校理科 物理I 波/音波と振動|高等学校理科 物理I 波/音波と振]動]で学んでください。
  

以下には、簡単に要点を補足をします。
この節では、座標系を考えるときは、空気が静止してみえる慣性座標系を用いる。

（１）音のうなり

振動数（周波数）がわずかに異なり、変位の方向が等しい2つの音波（波）が干渉して、
振動数が中間とみなせ、
振幅がゆっくり周期的(振動数は2つの音波の振動数の差に等しい)に変わる合成波を生ずる現象を言う（注参照）。
一般の波でも、うなりは当然生じる。

• ウィキペディア(うなり)

（注）
2つの波の変位の方向が同じなので、その方向を、変位量の座標軸(ｙ軸)に選ぶ。すると
音源１と音源２からの正弦波を個別に、ある地点Aで観測すると、
その変位量は,時刻原点を適切に選べば、
$y_1=A_1\sin{2\pi \nu _{1}t}$
$y_2=A_2\sin{(2\pi \nu _{2}t+\theta)}$
と書ける。
ここで、　$|\nu _{1}-\nu _{2}|$　は微小数。
この2つの波が同時にA地点にくる場合、その合成波は次の命題で与えられる。
命題；
適切に時間の原点を選び、
$\nu:=\frac{\nu _{1}+\nu _{2}}{2}$、　$\Delta:=\frac{\nu _{1}-\nu _{2}}{2}$　とおけば、
$y(s):=y_1(s)+y_2(s)=\sqrt{A_{1}^2+A_{2}^2+2A_1A_2\cos{(2\pi 2\Delta s+2\xi_1)} \sin{(2\pi \nu s+\xi)} \qquad ()$
ここで、$\xi_1=\frac{\nu+\Delta}{2\Delta}\theta$　、　
$\xi$　は、　
$\tan{\xi}=\frac{(A_1-A_2)\sin{2\pi \Delta s+\xi_1}}{(A_1+A_2)\cos{2\pi \Delta s+\xi_1}} で与えられる。 これより2つの正弦波の合成波は、「振動数(周波数)が2つの元の波の振動数の中間で、 その振幅が　振動数$|2\Delta|=|\nu _{1}-\nu _{2}|$振動する波形」に近いことが分かる。 証明；$\nu_1=\nu+\Delta,\quad \nu_2=\nu-\Delta$なので、$y_1=A_1\sin{2\pi \nu _{1}t}=A_1\sin{(2\pi \nu t + 2\pi \Delta t)}y_2=A_2\sin{(2\pi \nu _{2}t +\theta)}=A_2\sin{(2\pi \nu t - 2\pi \Delta t +\theta)}$両者の初期位相角が、絶対値が等しく、逆符号になるよう、時間の原点を変えよう。 そのため、時間原点を　a　だけ移動させた時間を　s　とおくと、$t=s+a$。 これを、上の2つの式に代入して、変形すると$y_1=A_1\sin{2\pi \nu s +2\pi \Delta s+(2\pi \nu a+2\pi \Delta a)}y_2=A_2\sin{2\pi \nu s -2\pi \Delta s+(2\pi \nu a-2\pi \Delta a +\theta)}$初期位相条件を満たすような　a　を求めるため、$(2\pi \nu a+2\pi \Delta a)=-(2\pi \nu a-2\pi \Delta a +\theta)$とおき、a　を求めると、$a=\frac{-\theta}{4\pi \nu}$すると、それぞれの初期位相は、$\xi_1=(2\pi \nu +2\pi \Delta )\frac{-\theta}{4\pi \nu}=-\frac{\nu+\Delta}{2\nu}\theta \xi_2=-\left((2\pi \nu -2\pi \Delta)\frac{-\theta}{4\pi \nu} +\theta\right)=-\xi_1$このため、$y_1=A_1\sin{\left(2\pi \nu s +(2\pi \Delta s+\xi_1)\right)}y_2=A_2\sin{2\pi \nu s -(2\pi \Delta s+\xi_1)$これら2式に、三角関数の加法定理を適用すると、$y_1=A_1\sin{\left(2\pi \nu s +(2\pi \Delta s+\xi_1)\right)}=A_1\sin{2\pi \nu s}\cos{(2\pi \Delta s+\xi_1)}+A_1\cos{2\pi \nu s}\sin{(2\pi \Delta s+\xi_1)}y_2=A_2\sin{2\pi \nu s}\cos{(2\pi \Delta s+\xi_1)}-A_2\cos{2\pi \nu s}\sin{(2\pi \Delta s+\xi_1)}$従って$y=y_1+y_2=(A_1+A_2)\sin{2\pi \nu s}\cos{(2\pi \Delta s+\xi_1)}+(A_1-A_2)\cos{2\pi \nu s}\sin{(2\pi \Delta s+\xi_1)}$==='''（２）発音体の振動（その１）。弦の固有振動'''=== 張った弦をこすったり、はじいて振動させると、波が起き、両側に進行し、固定端で反射する。 反射波と進行波は重なり合って合成波である定常波ができる（注参照）。 弦は、図の実線と点線の間を往復運動する。 弦の両端は固定され振動しないので、定常波の節になる。 この定常波の振動を、弦の固有振動、その振動数を固有振動数という。 [[File:GENPHY00010402-01.pdf|right|frame|図　弦の固有振動]] '''（２－１）定常波の波長''' 両端の変位が零であることから、定常波動の波長$\lambda$と弦の長さ$l$の間には次の関係が成立つことが分かる。$l=\frac{\lambda}{2}n,\quad (n=1.2,3,,,)$変形すると$\lambda=\frac{2l}{n},\quad (n=1.2,3,,,)$ここで、ｎは定常波の腹の数。 上の式から、$\lambda$は　ｎ　の関数であることがわかるので、$\lambda_n$とかく。 すると$\lambda_n=\frac{2l}{n},\quad (n=1.2,3,,,) \qquad \qquad (2)$腹の数が１の固有振動を基本振動(１倍振動)、$n \geq 2$の固有振動を、ｎ倍振動と呼ぶ。 進行波の速さをＶとし、ｎ倍振動数を$f_n$、その波長を$\lambda_n$とかくと、$V=f_n \lambda_nf_n =\frac{V}{2l}n \quad (n=1.2,3,,,) \qquad \qquad (3)$が成立つ。 (注）「1.4.6.3 定常波と進行波」を参照のこと。 '''（２－２）弦を伝わる波の速さ''' 未完 '''（３）発音体の振動（その２）。気柱の振動''' 細長い管の中の柱状の空気のことを気柱という（注参照）。 管中の波は、その両端で反射し、元の波と反射波は重ねあって合成波をつくる。 この合成波は定常波になる。 その波長や周波数（振動数）は、ある固有の値しか取れない。 これらについて学ぶ。 波の変位量としてなにを用いているかで、同じ端でも自由端にも固定端にもなるので注意してください。 (注)管の断面の大きさが音波の波長に比べて小さいと、 管のなかの音波は、管の軸に沿って進む平面波になる。 気柱ではこのような波を扱う。 参考文献； [[wikibooks_ja:高等学校理科 物理I 波/音波と振動|ウィキブックス(高等学校理科 物理I 波/音波と振動 1.3 気柱の振動)]]$\quad $'''(3.1） 気柱の固有振動''' 以下では、管の長さを$l$,音速を$V_s$で表す。$\qquad $'''(3.1.1）　閉管の場合''' 図を参照のこと。 [[File:GENPHY00010402-022.pdf|right|frame|図　閉環の中の気柱にできる定常波]]$\qquad \quad $閉管とは、一方が閉じ他端が開放されている音響管のこと。$\qquad \quad $この管の定常波は、片方の端が腹で他端が節になる。$\qquad \quad $音を空気の位置の振動とみると、閉端は固定端で定常波の節、開放端は自由端で、定常波の腹になる。$\qquad \quad $疎密波と考えると、閉端は自由端で定常波の腹、開放端は固定端で定常波の節になる。$\qquad \quad $波長が最も長い定常波は、$\qquad \quad $一方の端が腹で他端が節になり、他に腹も節もない波であり、$\qquad \quad $'''基本振動'''という。この定常波は、気柱の長さ　ｌ　の中に$\frac{1}{4}$波長あるので、$\qquad \quad $波長は$\lambda_1=4l$,周波数は$f_1=\frac{V_s}{\lambda_1}=\frac{V_s}{4l}$である。$\qquad \quad $波長が２蕃目に長い定常波は、$\qquad \quad $節である固定端から$\frac{2l}{3}$の所にも節をもち、この間は波長の2分の一、$\qquad \quad $残りの部分に波長の4分の一があるので、$\qquad \quad $気柱部分は$\frac{3}{4}$波長である。$\qquad \quad $故に波長は$\lambda_2=\frac{4l}{3}$,周波数は$f_2=\frac{V_s}{\lambda_2}=\frac{3V_s}{4l}=3f_1$で3倍振動である。$\qquad \quad $一般にｎ($\geq 1$)番目の振動は、長さｌの気柱の中に$\frac{1}{2}(n-1)+\frac{1}{4}=\frac{2n-1}{4}$波長分あるので、$l=\frac{\lambda_{n}}{2}(n-1) +\frac{\lambda_{n}}{4} \qquad \qquad (a)\qquad \quad $ここで、$\lambda_n$はこの定常波の波長、$\frac{\lambda_{n}}{2}$は、節と節の間の距離(=腹と腹の距離)を表す。$\qquad \quad $故に波長$\lambda_n=\frac{4l}{2n-1}$、　周波数$f_n=\frac{V_s}{\lambda_n}=\frac{(2n-1)V_s}{4l}=(2n-1)f_1$で,(2n-1)倍振動。$\qquad$'''(3.1.2）　開管の場合''' 図を参照のこと。 [[File:GENPHY00010402-03.pdf|right|frame|図　開環の中の気柱の定常波]]$\qquad \quad $'''開管'''とは、両端とも開放された音響管のこと。$\qquad \quad $波を空気の位置の振動とみると、両端は自由端であり、$\qquad \quad $この管の定常波は、両方とも腹になる。$\qquad \quad $波を粗密波とみると、両端は固定端であり、$\qquad \quad $この管の定常波は、両方とも節になる。$\qquad \quad $波長が最も長い定常波は、腹(ないし節)が両端にだけあるもので、$\qquad \quad $'''基本振動'''と呼ぶ。長さｌの気柱中に2分の一波長あるので、$\qquad \quad $波長は$\lambda_1=2l$、周波数(振動数)は$f_1=\frac{V_s}{\lambda_1}=\frac{V_s}{2l}$である。$\qquad \quad $２番目に波長の長い定常波は、両端と管の真中に腹（あるいは節)がある波で、$\qquad \quad $波長は$\lambda_2=l$、周波数は$f_2=\frac{V_s}{\lambda_2}=\frac{V_s}{l}=2f_1$であり、'''2倍振動'''という。$\qquad \quad $一般にｎ($\geq 1$)番目の振動は、長さｌの気柱の中に$\frac{1}{2}n$波長分あるので、$\qquad \quad l=\frac{1}{2}n\lambda_n　　\qquad \qquad (b)\qquad \quad $故に、波長は$\lambda_n=\frac{2l}{n}$,周波数は$f_n=\frac{nV_s}{2l}$でｎ倍振動。$\qquad$'''(3.1.3）両端閉管'''$\qquad \quad $両端とも閉じた音響管を'''両端閉管'''という。$\qquad \quad $管内の空気の疎密波の固有振動は$\qquad \quad $両端を節とする定常波の振動である。$\quad$（3.1.4）開口端補正$\qquad \quad $これまで開口端の圧力は大気圧と等しい一定値になると仮定し、$\qquad \quad $疎密波として考えると節、空気の位置の振動と考えると、腹になるとしてきた。$\qquad \quad $しかし厳密には、開口部から空気を吹き出そうとすると、$\qquad \quad $外の空気から圧力を受けるので、管の入り口は完全に自由に空気の移動ができるわけではない。$\qquad \quad $そのため、音を疎密波と考えると節、また空気の位置変動の振動と考えるときには腹は、開口部から少しはみ出す。$\qquad \quad $そこで、腹の位置を一層正確に知るためには、この量を補正する必要がある。$\qquad \quad $本テキストでは、この問題は扱わない。 ==='''（４）固有振動と共鳴・共振'''=== 張った弦や気柱の空気の振動などは、それぞれ固有の定常振動数をもつことが分かった。一般に、振動する系は、それぞれ固有の振動数を持つ。 これを系の'''固有振動'''という。 振動系の固有振動数と等しい振動数の力をこの系に与えると この系は激しく振動し始める。この現象を'''共鳴'''または'''共振'''と呼ぶ。 これについては下記もご覧ください。 *[[wikipedia_ja:固有振動|ウィキペディア（固有振動）]] *[[wikipedia_ja:共鳴|ウィキペディア（共鳴）]] ==='''（５）ドップラー効果'''=== 皆さんも、日ごろ 救急車のサイレンは、近づいているときは高い音に聞こえ、通り過ぎた瞬間に 低い音にかわることに気付いているでしょう。 一般に、音源の音を、音源に対し動いている人が聞くと、 元の音より高い周波数(＝振動数)や低い周波数に聞こえる。 これを「ドップラー効果」という。 実用上重要な原理なので、やや詳細に議論しよう。 命題１ 音速を$V_s$とする。 音源が周波数ｆの音を出し、静止している観測者に速度　V$\gt 0$で近づくとき、 観測者が聞く音の周波数$\tilde{f}$は、$\tilde{f}=\frac{V_s}{V_s-V}f　\qquad \qquad (4)$である。　ここで、$V \lt V_s$である。 音源が通り過ぎて遠ざかるようになった瞬間に、観測周波数は急減し、$\tilde{f}=\frac{V_s}{V_s+V}f　\qquad \qquad (4')$証明　 音源から時刻　t=０　から一秒間だけ音を出すとする。 時刻０での、音源と観測者との距離を$L$とすると、 この音が観測される時刻は$t_1=\frac{L}{V_s}$最後(t=1)の音は、音源と観測者の距離が$L-V$のとき発せられるので、 観測される時刻は$t_2=1+\frac{L-V}{V_s}$この間にf回の振動が観測されるので、一秒間あたりの振動数（周波数）は$\frac{f}{t_2-t_1}=\frac{V_s}{V_s-V}f$命題２ 静止音源が周波数ｆの音を出している。 観測者が速さ　V($\gt 0$)　で音源に近づいているときに聞くこの音の周波数$\tilde{f}$は、$\tilde{f}=\frac{V_s+V}{V_s}f　\qquad \qquad (5)$ここで、$V_s$は、音速である。 観測者が音源を通り過ぎた瞬間に、観測音の周波数は急減し、$\tilde{f}=\frac{V_s-V}{V_s}f　\qquad \qquad (5')$に変わる。 証明 音源から一秒間(時刻0から、時刻１まで)だけ周波数ｆの音を出すとする。 このときの観測者と音源の距離を　L　とおく。 すると、速さVで音源に近づく観測者が、$\quad $最初の音を聞く時間$t_1$は、$\qquad L-Vt_1=V_s t_1\quad $最後の音を聞く時間$t_2$は、$\qquad L-Vt_2=V_s (t_2-1)$これら2式から、$t_2-t_1=\frac{V_s}{V_s+V}$この間に、音はf回　振動しているので、一秒当たりの振動の回数(周波数、振動数)は、$\tilde{f}=\frac{V_s+V}{V_s}f$同様に考えると、 観測者が音源を通り過ぎた瞬間からは、音源から　速さ　V　で遠ざかるため、$\tilde{f}=\frac{V_s-V}{V_s}f$が、得られる。 次に、一つの直線上を、音源と観測者がともに等速度で運動している場合の ドップラー効果について考察する。 色々なケースを統一的に扱うため、空気が静止して見える一次元の慣性座標系を 用いる。 命題３ x軸上を、音源は速度$v$で等速運動しながら周波数(振動数)$f$の音を出す。 観測者はx軸上を速度$u $で等速運動している。 （１）観測者が音源の負側にいる場合 観測者は、$\tilde{f}=\frac{V_s+u}{V_s+v}f \qquad \qquad (6)$の周波数の音を聞く。 ここで、$V_s$は音速である。 （２）観測者が音源の正側にいる場合 観測者は、$\tilde{f}=\frac{V_s-u}{V_s-v}f\qquad \qquad (6')$の周波数の音を聞く。 ここで、$V_s$は音速である。 証明 (1)の場合（図参照） [[File:GENPHY00010402-04.pdf|right|frame|図　]] 音源が時刻$t \in [0,1]$の間だけ、周波数ｆの音を出すと仮定する。 時刻　t=0　における観測者と音源の距離を　L　とおく。 すると、観測者が最初の音を聞く時刻$t_1$は$L-ut_1=V_st_1$を満たす。 時刻ｔ＝１のときの、観測者と音源の距離は$L-u+v$なので 観測者が最後の音を聞く時刻$t_2$は、$L-u+v-u(t_2-1)=V_s(t_2-1)$を満たす。 これら2式から$t_2-t_1=\frac{V_s+v}{V_s+u}$この間に、観測者の聞く音は、f回振動しているので、 一秒間あたりの振動の回数(周波数あるいは振動数)は$\tilde{f}=f \div (t_2-t_1)=\frac{V_s+u}{V_s+v}f$(2)　観測者が音源の正側にいる場合 同様にして証明できるので省略。 証明終わり （注）この命題から、観測者が音源とすれ違うか追い越すと、その瞬間に観測周波数は急変することが分かる。 最後に、超音波による血流速度の測定に応用される命題を説明する。 命題４ 周波数fの音を出している固定音源に、観測者がいて、 速さ　ｖ　で近づく板からの反射音を観測すると、周波数は$\tilde{f}=\frac{V_s+v}{V_s-v}f=(1+\frac{2v}{V_s-v})f$証明 記述を簡単にするため、音源は、時刻０から一秒間だけ音を出すとする。 時刻ｔ＝０　の、音源と板との距離を　L　とおくと、 時刻　ｔ　における音源と板との距離は$L(t)=L-vt$で表せる。 （１）最初(t=0)にだした音の反射音が聞こえる時刻$t_1$最初の音が出たときの音源と板との距離は$L(0)=L$最初の音が板に届く時刻を$t^{1}_{1}$とする。 この間、音は$V_{s}t^{1}_{1}$だけ進み、 板は　音源方向に$vt^{1}_{1}$だけ近づくので、$\quad V_{s}t^{1}_{1}+vt^{1}_{1}=L(0)$故に、$t^{1}_{1}=\frac{L(0)}{V_{s}+v} \qquad \qquad (7)$この時刻に最初の音の反響音が発生する。 このときの反響音源と観測者の距離は、$L(t^{1}_{1})$なので、 観測者に到達するまでに要する時間は$\frac{L(t^{1}_{1})}{V_s}$故に、$t_1=t^{1}_{1}+\frac{L(t^{1}_{1})}{V_s}\qquad \qquad (8)$（2）最後(t=1)にだした音の反射音が聞こえる時刻$t_2$最後(t=1)の音が出たときの音源と板との距離は$L(1)$。　 最後の音が板に届く時刻を$t^{2}_{1}$とする。 この間、音は$V_{s}(t^{2}_{1}-1)$だけ進み、 板は　音源方向に$v(t^{2}_{1}-1)$だけ近づくので、$\quad V_{s}(t^{2}_{1}-1)+v(t^{2}_{1}-1)=L(1)$故に、$t^{2}_{1}=\frac{L(1)+V_s+v}{V_{s}+v}= \frac{L(0)+V_s}{V_{s}+v}\qquad \qquad (9)$この時刻に最初の音の反響音が発生する。 このときの反響音源と観測者の距離は、$L(t^{2}_{1})$なので、観測者に到達するまでに要する時間は$\frac{L(t^{2}_{1})}{V_s}$故に、$t_2=t^{2}_{1}+\frac{L(t^{2}_{1})}{V_s}\qquad \qquad (10)$(3)観測者の聞く反響音の周波数 最初の音の反響音から、最後の音の反響音までの時間は,式(8)、(10)から$T:=t_2-t_1=t^{2}_{1}-t^{1}_{1}+\frac{1}{V_s}(L(t^{2}_{1})-L(t^{1}_{1}))=(t_2-t_1)(1-\frac{v}{V_s})=\frac{V_s-v}{V_s+v}$この間にf回の振動があるので、周波数は$\tilde{f}=\frac{f}{T}=\frac{V_s+v}{V_s-v}f$命題５（命題4の一般化) 原点にある静止音源Oが、周波数　ｆ　で同位相の音を四方に出している。 この音源を通る　x　軸上を, 観測者$P_1$と反射板$P_2$がそれぞれ等速$v_1$、$v_2$で運動している。 前者の時刻　ｔ　の位置を$L_1(t)=L_{1,0}+v_{1}t$と表わし、 後者の時刻　ｔ　位置を$L_2(t)=L_{2,0}+v_{2}t$と表す。 但し,考察時間[0,T]中は、$0 \lt L_1(t) \lt L_2(t)$と仮定し、 音速は$V_s$とする。　 このとき、観測者$P_1$が聞く、 反射板$P_2$による反射音の周波数は、$\tilde{f}=\frac{V_s+v_1}{V_s+v_2}\frac{V_s-v_2}{V_s}f$証明； 記述を簡単にするため、音源は時刻０から一秒間だけ音を出すと仮定する。 この音が反射板で反射し、観測者に聞こえる時間区間$[t^{0}_{P_1},t^{1}_{P_1}]$を求めよう。 (1) まず、t=0　に音源から出た音が反射して観測者に届く時刻$t^{0}_{P_1}$を求めよう。 2段階にわけて計算する。 1)、最初(t=0)の音が反射板で反射する時刻$t^{0}_{P_2}$。 音は　x　軸の正方向にも速度$V_s$で進むので、時刻$t^{0}_{P_2}$には、 座標$V_{s}t^{0}_{P_2}$の点に達する。 時刻$t^{0}_{P_2}$における反射板の位置は、$L_2(t^{0}_{P_2})=L_{2,0}+v_{2}t^{0}_{P_2}$なので、$V_{s}t^{0}_{P_2}=L_{2,0}+v_{2}t^{0}_{P_2}$これより、$t^{0}_{P_2}=\frac{L_{2,0}}{V_s-v_2} $2)　反射音が観測者に届く時刻$t^{0}_{P_1}$。　 反射板$P_2$で反射した音は、ｘ軸　の負方向に$V_s$の速さで進む。 他方、観測者は　ｘ軸　の正方向に、速さ$v_1$で進むので 両者は$V_s+v_1$の速さで近づく。 音が反射した瞬間の、観測者と反射板の距離は$L_2(t^{0}_{P_2})-L_1(t^{0}_{P_2})$そこで、音が反射後、観測者に届くまでにかかる時間は、$\frac{L_2(t^{0}_{P_2})-L_1(t^{0}_{P_2})}{V_s+v_1}=\frac{(L_{2,0}-L_{1,0})+(v_2-v_1)t^{0}_{P_2}}{V_s+v_1}$故に、$t^{0}_{P_1}=t^{0}_{P_2}+\frac{(L_{2,0}-L_{1,0})+(v_2-v_1)t^{0}_{P_2}}{V_s+v_1}=\frac{L_{2,0}-L_{1,0}}{V_s+v_1}+(1+\frac{v_2-v_1}{V_s+v_1})t^{0}_{P_2}=\frac{L_{2,0}-L_{1,0}}{V_s+v_1}+\frac{V_S+v_2}{V_s+v_1}t^{0}_{P_2}\qquad \qquad (a)$(2)　t=1　に音源から出た音が反射して観測者に届く時刻$t^{0}_{P_1}$を求めよう。 t=0　の時と同様に考えればよいので、概略を示す。 １）t=1　に音源から出た音が反射板に到達する時刻$t^{1}_{P_2}$；$(t^{1}_{P_2}-1)V_s=L_2(t^{1}_{P_2})=L_{2,0}+v_{2}t^{1}_{P_2}$を満たす。 これを解くと、$t^{1}_{P_2}=\frac{L_{2,0}+V_s}{V_s-v_2}$２））t=1　に音源から出た音が反射して観測者に到達する時刻$t^{1}_{P_1}$； 反射した瞬間の観測者と反射板の距離は$L_2(t^{1}_{P_2})-L_1(t^{1}_{P_2})$反射後、反射音が観測者まで届くにに要する時間は$\frac{L_2(t^{1}_{P_2})-L_1(t^{1}_{P_2})}{V_s+v_1}$故に$t^{1}_{P_1}=t^{1}_{P_2}+\frac{L_2(t^{1}_{P_2})-L_1(t^{1}_{P_2})}{V_s+v_1}=\frac{(L_{2,0}-L_{1,0})}{V_s+v_1}+\frac{V_s+v_2}{V_s+v_1}t^{1}_{P_2}=\frac{(L_{2,0}-L_{1,0})}{V_s+v_1}+\frac{V_s+v_2}{V_s+v_1}\frac{L_{2,0}+V_s}{V_s-v_2}$(3) 観測者が聞く反射音の周波数 以上から、観測者は 時間間隔$\delta t:=t^{1}_{P_2}-t^{0}_{P_2}$の間に f　回の振動音を聞くことが分かった。 従って、その周波数（振動数）$\tilde{f}$は、$\tilde{f}=\frac{f}{\delta t}=\frac{V_s+v_2}{V_s+v_1}\frac{V_s}{V_s-v_2}f$

（７）音の干渉

音も波なので、波の重ね合わせの原理が成立つ。
そのため一般の波でおこる干渉も起こる。