物理/８章の付録
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「7.6 この章の付録」
問の解答
問
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-529-QINU が存在し、２より大きく３以下であることを証明する。
（１）準備； ２項定理を用いた展開
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-530-QINU とおく。
すると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-531-QINUである。
以下に、数列 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-532-QINU が単調増大で、有界（２より大、３より小）である事を示す。
するとテキストの定理により、この数列は２より大きく、３以下のある実数に収束することが分かる。
nが３以上の自然数の時は、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-533-QINUを２項定理を用いて展開すると
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-534-QINU
ここで UNIQ692d1881596af05a-MathJax-535-QINU は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、
mが１以上でn 以下の自然数の時は
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-536-QINU
ここで、m が1以上の自然数の時は UNIQ692d1881596af05a-MathJax-537-QINU
mが零の時は UNIQ692d1881596af05a-MathJax-538-QINU と定義。
すると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-539-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-540-QINUのとき、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-541-QINU
式（１）に式（２）を代入し,式(３)、(４)を利用して計算すると
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-542-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-543-QINU
ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-544-QINU なので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-545-QINU
（２）すべての2以上の自然数 n に関して、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-546-QINU
であることを示す。
式（6）から
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-547-QINU,
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-548-QINU
右辺の m は2以上の自然数なので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-549-QINU
である。故に、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-550-QINU
（３）数列 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-551-QINU は単調増加
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-552-QINU の時、常に UNIQ692d1881596af05a-MathJax-553-QINU を示せばよい。
式(5)を利用すると(注参照）、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-554-QINU
すると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-555-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-556-QINU 右辺の第一項の和を2つに分けると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-557-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-558-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-559-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-560-QINU
上の式で、全てのUNIQ692d1881596af05a-MathJax-561-QINUに対して,UNIQ692d1881596af05a-MathJax-562-QINUとUNIQ692d1881596af05a-MathJax-563-QINU なので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-564-QINU
（注）式（３）のｎに ｎ＋１ を代入すればよい。
ネイピア数 e について
定義；UNIQ692d1881596af05a-MathJax-565-QINU をネイピア数と呼ぶ。
命題1
（１）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-566-QINU
（２）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-567-QINU
三角関数の微分
準備
次の命題が、三角関数の微分を求めるうえで中心的役割を果たす。
命題２
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-568-QINU
証明
まず、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-569-QINU を正に保ちながら零に近づける場合を考える。
すると、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-570-QINU と考えて良い。
点Ｏを中心にし、半径1の円を考え、円周上に一点Ａをさだめる。
図のように、円周上の点Ｂを、線分ＯＢが直線ＯＡとなす角がｘ（ラジアン)となるようにとる。
図からUNIQ692d1881596af05a-MathJax-571-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-572-QINU ここで、点PはＡを通り線分OAと垂直な直線と半直線OBの交点。
すると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-573-QINU
ここで、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-574-QINUなので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-575-QINU各項を2倍すると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-576-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-577-QINUここで UNIQ692d1881596af05a-MathJax-578-QINU なので、これで上式の各項を割ると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-579-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-580-QINU
故に、極限の性質から
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-581-QINU
これより、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-582-QINU が得られる。
定理１ 三角関数の微分
（１）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-583-QINU
（２）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-584-QINU
証明
（１）； UNIQ692d1881596af05a-MathJax-585-QINU
ここで、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-586-QINU
サイン関数の加法定理を適用すると
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-587-QINU
故に、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-588-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-589-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-590-QINU ここで、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-591-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-592-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-593-QINUなので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-594-QINU
指数関数と対数関数
正の実数の累乗の指数の拡張
実数の累乗(自然数乗)
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-595-QINU を任意の実数、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-596-QINU を2以上の自然数とする。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-597-QINU
を総称して、a の累乗と呼ぶ。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-598-QINU をUNIQ692d1881596af05a-MathJax-599-QINU の n 乗 、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-600-QINU をその指数と呼ぶ。
実数の自然数乗の３つの計算規則
累乗が次のような計算規則を満たすことは、容易に証明できる。
命題３
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-601-QINU を任意の実数、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-602-QINU を任意の自然数とすると、
(1) UNIQ692d1881596af05a-MathJax-603-QINU
(2) UNIQ692d1881596af05a-MathJax-604-QINU
(3) UNIQ692d1881596af05a-MathJax-605-QINU
証明は、累乗の定義と積の交換法則から容易にできるので省略する。
指数関数とn次関数
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-606-QINU を正の実数とするとき、累乗UNIQ692d1881596af05a-MathJax-607-QINU の
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-608-QINU を独立変数とするか、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-609-QINU を独立変数にするかで、
次の2種の関数が定まる。
定義
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-610-QINU を正の実数, UNIQ692d1881596af05a-MathJax-611-QINUを自然数とするとき、次の2つの関数を考える。
１）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-612-QINU
これは、指数を変数とする関数なので、指数関数という。
２）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-613-QINU
これは、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-614-QINU次の単項関数である。
命題 指数関数の性質
指数関数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-615-QINU は次の性質を持つ。
１）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-616-QINUのとき、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-617-QINUからUNIQ692d1881596af05a-MathJax-618-QINUへの狭義単調減少の連続関数で、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-619-QINU
２）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-620-QINUのとき、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-621-QINUからUNIQ692d1881596af05a-MathJax-622-QINUへの狭義単調増加の連続関数
で、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-623-QINU
連続性以外は、明らかなので証明は省略する。
自然数全体の集合UNIQ692d1881596af05a-MathJax-624-QINUは離散集合なので、
そのうえで定義された任意の関数は連続となる。
「8.2 解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-625-QINU 「1.3 関数とその連続性」の「1.3.2 関数の極限と連続性」を参照のこと。
命題 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-626-QINU次の単項関数の性質
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-627-QINU とする。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-628-QINU次の単項関数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-629-QINU は
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-630-QINUからUNIQ692d1881596af05a-MathJax-631-QINUへの狭義単調増加の連続関数で、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-632-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-633-QINU
である。
証明
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-634-QINU上では狭義単調増加であることは容易に示せる。
連続性については、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-635-QINU であることを示せばよい。
例えば、2項定理でUNIQ692d1881596af05a-MathJax-636-QINU を展開して極限をとればよい。
この節の目的
この節の目的は、累乗にかんする計算規則を満たすようにしながら、
累乗の指数を実数まで拡張することである。
しかし UNIQ692d1881596af05a-MathJax-637-QINU が負数だと、指数を有理数に拡張するとき不都合が起きてしまう。
例えば
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-638-QINU の時, UNIQ692d1881596af05a-MathJax-639-QINU は実数でなく虚数となり、
実数値関数の枠組みに収まらなくなる。
そこで、このような不都合が起こらないように 今後はUNIQ692d1881596af05a-MathJax-640-QINU を正の実数に限定し、
次の計算規則を満たすようにしながら、指数を自然数から整数、整数から有理数、有理数から実数へと順に拡張していく。
累乗に関する計算規則
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-641-QINU を任意の正の実数、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-642-QINUを指数とすると、
(1) UNIQ692d1881596af05a-MathJax-643-QINU
(2) UNIQ692d1881596af05a-MathJax-644-QINU
(3) UNIQ692d1881596af05a-MathJax-645-QINU
計算規則(3)を守ろうとすると、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-646-QINU と定めなければならないことが分かる。
何故ならば UNIQ692d1881596af05a-MathJax-647-QINUの時、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-648-QINU となり、 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-649-QINU であるから。
そこで 今後は常に UNIQ692d1881596af05a-MathJax-650-QINU と定め、 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-651-QINU の場合だけを考察する。
本節のもう一つの目的は、指数の拡張に伴い累乗に伴う2つの関数
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-652-QINU とUNIQ692d1881596af05a-MathJax-653-QINU の性質が、どのようになるか考察する事である。
指数の整数への拡張
任意の正の実数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-654-QINU を考える。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-655-QINUの累乗の指数を、累乗に関する３つの規則が成り立つようにしながら、整数に拡張しよう。
まず、規則（1）を守ろうとすれば
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-656-QINU
と定義しなければならないことが分かる。
何故ならば、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-657-QINU の時、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-658-QINU
となり、 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-659-QINU だから両辺を UNIQ692d1881596af05a-MathJax-660-QINU で割ればよい。
次に任意の自然数 n に対して、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-661-QINU を累乗に関する規則（1）を満たすように定義しよう。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-662-QINU
両辺を UNIQ692d1881596af05a-MathJax-663-QINU で割れば
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-664-QINU
命題
式(4),(5)に従って指数を整数に拡大すると、
３つの累乗の規則はすべて成立する。
証明
指数が負のときは式(5)を用いて、指数が自然数の式に書き直し、
指数が自然数のときに成り立つことが分かっている３つの計算規則を使って式の変形をすれば良い。
計算規則の（1）の証明だけを示そう。
（１）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-665-QINU を任意の整数とすると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-666-QINU であることを示す。
（ケース１）指数の一方が正の整数(自然数)で、他方が負の整数の時
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-667-QINU を自然数として、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-668-QINU を示せばよい。
式(5)から
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-669-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-670-QINU 、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-671-QINU 、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-672-QINU という3つの場合に分けて証明する。
１）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-673-QINU の時
割り算を実行するとUNIQ692d1881596af05a-MathJax-674-QINU
この式と、式(6)から、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-675-QINU
2) UNIQ692d1881596af05a-MathJax-676-QINU の時
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-677-QINU
この式と、式(6)から、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-678-QINU
3) UNIQ692d1881596af05a-MathJax-679-QINU の時
割り算を実行すると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-680-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-681-QINU
(ケース２）両方の指数が負の整数の時
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-682-QINU を示せばよい。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-683-QINU
指数の有理数への拡張
これ以降、有理数全体のなす集合をUNIQ692d1881596af05a-MathJax-684-QINUとかく。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-685-QINU を任意の正の実数、 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-686-QINU を任意の有理数のとき、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-687-QINU の有理数乗 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-688-QINU を、計算規則を満たすように定義しよう。
指数n を任意の自然数（正の整数）、 m を任意の整数と仮定してよい。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-689-QINU（注）nが負の時はUNIQ692d1881596af05a-MathJax-690-QINU なので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-691-QINUを改めてUNIQ692d1881596af05a-MathJax-692-QINU と置けば良い。UNIQ692d1881596af05a-MathJax-693-QINU
累乗規則（２）を満たすように定義するには、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-694-QINU
でなければならない。
これは、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-695-QINU が UNIQ692d1881596af05a-MathJax-696-QINU のｎ乗根であることを示す。
しかしｎが偶数のときは、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-697-QINU もUNIQ692d1881596af05a-MathJax-698-QINU のｎ乗根となるので、
正のｎ乗根 のほうを、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-699-QINU とかく。
定義 正の実数の有理数乗
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-700-QINUを正の実数とする。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-701-QINU とは、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-702-QINU の正のｎ乗根である。
すなわち、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-703-QINUを満たす正の実数である。
最初に、この定義できちんと正の実数が一つだけ決まることを証明しよう。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-704-QINUのときは、ｎ乗すると１になる正数は１だけなので
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-705-QINU
であることが分かるので、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-706-QINU の場合を考える。
命題３
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-707-QINU を任意の正の実数、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-708-QINU を任意の整数,UNIQ692d1881596af05a-MathJax-709-QINUを任意の自然数とする。
すると、n 乗すると UNIQ692d1881596af05a-MathJax-710-QINU になる正の実数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-711-QINU (i.e. UNIQ692d1881596af05a-MathJax-712-QINU)が存在し、ただ一つに限る。
証明
(1) 存在性
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-713-QINU という、零と正の実数の上で定義された、関数を考える。
この関数はｘが増加するにつれて、連続的に、零から正の無限大に狭義に単調に増加（注参照）していく。
そこで、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-714-QINU という集合を考える。
この集合は、上に有界な区間になり、実数の連続性から上限(sup)UNIQ692d1881596af05a-MathJax-715-QINUを持つ。
この時、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-716-QINU であることを示そう。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-717-QINU が集合UNIQ692d1881596af05a-MathJax-718-QINUの上限なので、任意の自然数ｎに対して、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-719-QINU
を満たす UNIQ692d1881596af05a-MathJax-720-QINU が存在する。
明らかに
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-721-QINU
すると、関数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-722-QINU は連続なので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-723-QINU
ところがUNIQ692d1881596af05a-MathJax-724-QINUなので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-725-QINU
式(a)、(b) から、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-726-QINU がえられるので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-727-QINU
が示せた。（従って、Bは閉区間 [o,b] である。）
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-728-QINU であることを背理法を使って示そう。
もし、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-729-QINU だとすると、関数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-730-QINU は連続なので
充分小さな正の実数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-731-QINU をとると、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-732-QINU を満たす。
すると UNIQ692d1881596af05a-MathJax-733-QINU となり、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-734-QINUが B の上限であることに矛盾してしまう。
故に、背理法により、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-735-QINU が証明できた。
（２）一意性
関数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-736-QINU は狭義の単調増加関数なのでｂ以外の数ｂ'(UNIQ692d1881596af05a-MathJax-737-QINU)では、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-738-QINU
（証明終り） UNIQ692d1881596af05a-MathJax-739-QINU
(注) 関数ｆが狭義単調増加とは、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-740-QINU を満たすこと。
命題４
任意の正の実数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-741-QINU にたいして、その有理数乗を上記のように定義すると
３つの累乗規則 (1)～(3) が成り立つ。
証明；
１） 累乗規則（１)が成り立つことを示す。
2個の有理数の指数を 自然数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-742-QINUと整数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-743-QINU を用いて、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-744-QINUと表現する。
すると、累乗規則（１)は、次のように表される。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-745-QINU
この左辺を UNIQ692d1881596af05a-MathJax-746-QINU,
右辺を UNIQ692d1881596af05a-MathJax-747-QINU とおく。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-748-QINU
であることを示せば、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-749-QINU が得られ,
累乗規則（１)が成立することが分かる。
まず左辺を考える。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-750-QINU
指数が自然数の累乗規則（３）から
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-751-QINU
指数が自然数の累乗規則（２）から
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-752-QINU
実数の有理数乗の定義から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-753-QINU
指数が整数の累乗規則（２）から
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-754-QINU
指数が整数の累乗規則（１）から
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-755-QINU
故に、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-756-QINU
次に、右辺を考える。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-757-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-758-QINU
実数の有理数乗の定義から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-759-QINU
これで、式（a)が示され、累乗規則（１)が成り立つことが証明できた。
２）累乗規則（２)と累乗規則（３)が成り立つことは読者がしてください。
証明終わり。
指数が有理数の場合,命題２は次のように拡張出来る。
命題５
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-760-QINUの上で定義される関数
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-761-QINUを考える。
１）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-762-QINU を1より大きい正の実数とすると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-763-QINUは単調増大で
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-764-QINU
２）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-765-QINU が1より小さい正の実数のとき、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-766-QINUは単調減少し、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-767-QINU
３）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-768-QINU のとき、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-769-QINU
証明
１）のみ証明する。２)の場合も同様に証明できる。
① UNIQ692d1881596af05a-MathJax-770-QINU とすると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-771-QINU を示そう。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-772-QINU
を示せばよい。
正数の有理数乗の計算規則から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-773-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-774-QINU
故に、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-775-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-776-QINU から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-777-QINUなので、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-778-QINUであり
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-779-QINU
故に、 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-780-QINU
自然数乗すると１より大きくなる正の実数は１より大きい実数しかないので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-781-QINU が得られた。
② UNIQ692d1881596af05a-MathJax-782-QINUを示そう。
関数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-783-QINU は単調増加（①で証明)なので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-784-QINU
を示せばよいが、これは自明である。
③ UNIQ692d1881596af05a-MathJax-785-QINU
も、同様にして示せる。
証明終わり UNIQ692d1881596af05a-MathJax-786-QINU
以上の結果をまとめて、次の定理を得る。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-787-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-788-QINU の正の実数とする。
（１）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-789-QINU の有理数乗 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-790-QINU をUNIQ692d1881596af05a-MathJax-791-QINUの正のUNIQ692d1881596af05a-MathJax-792-QINU乗根で定義すると、
累乗に関する計算規則
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-793-QINU を任意の正の実数、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-794-QINUを指数とすると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-795-QINU 1) UNIQ692d1881596af05a-MathJax-796-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-797-QINU 2) UNIQ692d1881596af05a-MathJax-798-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-799-QINU 3) UNIQ692d1881596af05a-MathJax-800-QINU
を満たす。
（２）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-801-QINUの上で定義される関数
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-802-QINUを考えると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-803-QINU１）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-804-QINU のとき、 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-805-QINUは狭義の単調増大(従って一対一)で、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-806-QINU UNIQ692d1881596af05a-MathJax-807-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-808-QINU ２）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-809-QINU のとき、 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-810-QINUは狭義の単調減少(従って一対一)で、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-811-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-812-QINU ３）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-813-QINU のとき、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-814-QINU
（３）関数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-815-QINUは連続関数である。
すなわち、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-816-QINU
ならば、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-817-QINU
証明
（１）、（２）はすでに証明したことなので、（３）だけを証明する。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-818-QINU なので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-819-QINU
を、示せばよい。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-820-QINU とおくと、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-821-QINU
を示せばよい。
このために、次の補題をまず証明する。
補題
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-822-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-823-QINU
補題の証明
１） 式(b)を背理法で証明する。
もし式(b)が成立しないとする。
すると或る小さな正数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-824-QINU が存在し、
どのような自然数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-825-QINU をとっても、ある自然数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-826-QINU が存在して
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-827-QINU
となる。（注参照）
すると、自然数の部分列 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-828-QINU が存在して、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-829-QINU
となる。
① UNIQ692d1881596af05a-MathJax-830-QINU の場合
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-831-QINUなので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-832-QINU
すなわち、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-833-QINU
両辺をUNIQ692d1881596af05a-MathJax-834-QINU乗して
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-835-QINU
2項定理から
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-836-QINU
であることがわかるので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-837-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-838-QINU なので、
式(e)から、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-839-QINU となり、矛盾が生じてしまう。
② UNIQ692d1881596af05a-MathJax-840-QINU の場合も同様にして、矛盾が生じることが示せる。
③ 故に、式(b)が成立しないと仮定すると矛盾が生じるので、
背理法により、式(b)が成立することが、証明できた。
２）式(c)の証明も同様にしてできるので省略する。UNIQ692d1881596af05a-MathJax-841-QINU
任意の正数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-842-QINU に対して、ある番号UNIQ692d1881596af05a-MathJax-843-QINUが定まって、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-844-QINUというすべての自然数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-845-QINUに対して、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-846-QINU
を示せば、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-847-QINU
が示せて、証明が終了する。
補題により、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-848-QINU に対して、ある番号UNIQ692d1881596af05a-MathJax-849-QINUをさだめ,
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-850-QINUならば、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-851-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-852-QINU
が成立するようにできる。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-853-QINU
なので、
自然数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-854-QINUに対して、
ある番号UNIQ692d1881596af05a-MathJax-855-QINU が存在して、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-856-QINU以上のどんな自然数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-857-QINUに対しても、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-858-QINU
すると指数関数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-859-QINU の単調性から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-860-QINU は、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-861-QINUとUNIQ692d1881596af05a-MathJax-862-QINUの間の数となり、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-863-QINU
が示せた。
定理の証明終わり。 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-864-QINU
指数の実数への拡張
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-865-QINU を、正の実数とする。
任意の実数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-866-QINU に対して 指数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-867-QINU を定義しよう。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-868-QINU
１）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-869-QINU を UNIQ692d1881596af05a-MathJax-870-QINU に収束する有理数の単調増加数列とするとき、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-871-QINU
２）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-872-QINU を UNIQ692d1881596af05a-MathJax-873-QINU に収束する有理数の単調減少数列とするとき、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-874-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-875-QINU
１）定義の式(a)、(b) は収束する。
２）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-876-QINU に収束する、別の,
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-877-QINU 有理数の単調増加数列UNIQ692d1881596af05a-MathJax-878-QINUと単調減少数列UNIQ692d1881596af05a-MathJax-879-QINU をとっても、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-880-QINU UNIQ692d1881596af05a-MathJax-881-QINU
３）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-882-QINU
証明
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-883-QINU の場合は 1の有理数乗は常に１になるので命題は明らかである。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-884-QINU の場合を証明する。UNIQ692d1881596af05a-MathJax-885-QINU の場合も同じように証明できる。
１）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-886-QINU上の関数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-887-QINU は単調増加(定理１)なので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-888-QINU は上に有界な単調増加数列、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-889-QINUは下に有界な単調減少数列となる。
このため、「8.2 解析入門(1)」の
「1.2.3 実数列の極限」の定理１から、
これらは、ともに収束することが保証される。
２）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-890-QINUを示そう。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-891-QINU
とおく。
すると、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-892-QINU
定理１(有理数を累乗とする指数関数の連続性)から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-893-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-894-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-895-QINU
故に、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-896-QINU
上式の分子も分母も収束するので
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-897-QINU
３）２）の証明と殆ど同じようにして出来る。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-898-QINU を UNIQ692d1881596af05a-MathJax-899-QINU に収束する有理数の単調増加数列
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-900-QINU を UNIQ692d1881596af05a-MathJax-901-QINU に収束する有理数の単調減少数列とする。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-902-QINU
とおく。
すると、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-903-QINU
定理１(有理数を累乗とする指数関数の連続性)から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-904-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-905-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-906-QINU
故に、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-907-QINU
上式の分子も分母も収束するので
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-908-QINU
証明終わり。UNIQ692d1881596af05a-MathJax-909-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-910-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-911-QINU を任意の正の実数、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-912-QINU を任意の実数とするとき、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-913-QINU の UNIQ692d1881596af05a-MathJax-914-QINU乗を、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-915-QINU
で定義する。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-916-QINU
１）任意の正の実数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-917-QINU に対して、その実数乗を上述のように定義すると、
累乗の計算規則を満たす。
２）実数空間 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-918-QINU で定義された指数関数
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-919-QINU
は、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-920-QINU ならば、一対一関数で
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-921-QINU ならば単調増加、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-922-QINU ならば単調減少である
３）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-923-QINU ならば、指数関数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-924-QINU は UNIQ692d1881596af05a-MathJax-925-QINUから無限開区間UNIQ692d1881596af05a-MathJax-926-QINUの上への、連続関数である。
証明
１）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-927-QINU を任意の正の実数、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-928-QINUを実数とすると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-929-QINU を示せばよい。
皆同じように証明できるので、規則１だけを証明する。
実数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-930-QINU に収束する任意の有理数の単調増加列 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-931-QINU と、
実数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-932-QINU に収束する任意の有理数の単調増加列 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-933-QINU をとれば、
定理１から、有理数乗では規則１は成り立つので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-934-QINU
極限（UNIQ692d1881596af05a-MathJax-935-QINU)をとれば、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-936-QINU
この左辺は極限の性質からUNIQ692d1881596af05a-MathJax-937-QINU に等しいので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-938-QINU
命題６とその直後のUNIQ692d1881596af05a-MathJax-939-QINUの定義から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-940-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-941-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-942-QINU
この３つの式を式(a)に代入すると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-943-QINU
累乗規則の１が成り立つことが示せた。
対数と対数関数
1と異なる正の実数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-944-QINU を考える。
指数関数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-945-QINU は,定理２から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-946-QINU から UNIQ692d1881596af05a-MathJax-947-QINU の上への、一対一、連続関数である。
定義１
実数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-948-QINU を UNIQ692d1881596af05a-MathJax-949-QINU とする。この時、
任意の正の実数 Xに対して、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-950-QINU
を満たす実数ｘが唯一つ定まる。
このｘを X のUNIQ692d1881596af05a-MathJax-951-QINU を底とする対数と呼び、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-952-QINU とかく。
指数関数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-953-QINU は
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-954-QINU から UNIQ692d1881596af05a-MathJax-955-QINU の上への、一対一関数
なので、逆関数を考えることができる。
定義２
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-956-QINU を1と異なる正の実数とする。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-957-QINU
この関数を、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-958-QINU を底とする対数関数とよぶ。
定理１
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-959-QINU を 1と異なる正の実数とする。
１） UNIQ692d1881596af05a-MathJax-960-QINU を底とする対数関数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-961-QINU は、
指数関数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-962-QINUの逆関数であり、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-963-QINU
すなわち、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-964-QINU
と(注参照)、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-965-QINU
すなわち、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-966-QINU
を満たす。
２）指数関数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-967-QINU は
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-968-QINU から UNIQ692d1881596af05a-MathJax-969-QINU の上への一対一で
連続な関数である。
(注) 2つの関数f、ｇに対して、その合成関数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-970-QINU は、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-971-QINU で定義される。
定理２
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-972-QINU を 1と異なる正の実数とする。
すると
1) 任意の2つの正の実数ｂ、ｃに対して,
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-973-QINU
2) 任意の2つの正の実数 b,c に対して,
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-974-QINU
3) 任意の正の実数 b と任意の実数 c に対して
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-975-QINU
証明
1) 指数関数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-976-QINU の性質から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-977-QINU
を満たす、実数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-978-QINU がそれぞれ唯一つ定まる。
式(7)から対数関数の定義を用いると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-979-QINU
すると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-980-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-981-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-982-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-983-QINU
2)も同様に証明できる。
３）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-984-QINU とおく。すると、対数の定義から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-985-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-986-QINU ｂは正の実数なので、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-987-QINUなので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-988-QINU
故に
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-989-QINU
指数関数が一対一関数なので、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-990-QINU
X の定義から、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-991-QINU
定理３ 底の変換公式
任意の3つの正の実数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-992-QINU に対して
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-993-QINU
証明
定理１の式(3')から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-994-QINU
底をｃとする対数をとれば、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-995-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-996-QINU定理２の式(6)から、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-997-QINUなので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-998-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-999-QINU は、１と異なる正の実数であるため、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1000-QINU となり、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1001-QINU
が得られた。
証明終わり。 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1002-QINU
対数関数
1と異なる正の実数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1003-QINU を考える。
指数関数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1004-QINU は,定理２から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1005-QINU から UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1006-QINU の上への、一対一、連続関数である。
すると、その逆関数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1007-QINU が定義できる。
定義
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1008-QINU を1と異なる正の実数とする。
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1009-QINU
この関数を、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1010-QINU を底とする対数関数とよぶ。
定理１
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1011-QINU を 1と異なる正の実数とする。
１） UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1012-QINU を底とする対数関数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1013-QINU は、
指数関数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1014-QINUの逆関数であり、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1015-QINU
すなわち、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1016-QINU
と(注参照)、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1017-QINU
すなわち、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1018-QINU
を満たす。
２）指数関数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1019-QINU は
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1020-QINU から UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1021-QINU の上への一対一で
連続な関数である。
(注) 2つの関数f、ｇに対して、その合成関数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1022-QINU は、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1023-QINU で定義される。
定理２
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1024-QINU を 1と異なる正の実数とする。
すると
1) 任意の2つの正の実数ｂ、ｃに対して,
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1025-QINU
2) 任意の2つの正の実数 b,c に対して,
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1026-QINU
3) 任意の正の実数 b と任意の実数 c に対して
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1027-QINU
証明
1) 指数関数UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1028-QINU の性質から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1029-QINU
を満たす、実数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1030-QINU がそれぞれ唯一つ定まる。
式(7)から対数関数の定義を用いると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1031-QINU
すると、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1032-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1033-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1034-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1035-QINU
2)も同様に証明できる。
３）UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1036-QINU とおく。すると、対数の定義から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1037-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1038-QINU ｂは正の実数なので、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1039-QINUなので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1040-QINU
故に
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1041-QINU
指数関数が一対一関数なので、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1042-QINU
X の定義から、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1043-QINU
定理３ 底の変換公式
任意の3つの正の実数 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1044-QINU に対して
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1045-QINU
証明
定理１の式(3')から、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1046-QINU
底をｃとする対数をとれば、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1047-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1048-QINU定理２の式(6)から、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1049-QINUなので、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1050-QINU
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1051-QINU は、１と異なる正の実数であるため、UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1052-QINU となり、
UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1053-QINU
が得られた。
証明終わり。 UNIQ692d1881596af05a-MathJax-1054-QINU
