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目次 [非表示] 1 　8.2　ベクトル解析 2 　ベクトル場の微分 2.1 　ベクトル場とスカラー場 2.1.1 　スカラー場の勾配 2.1.2 　ナブラ∇ とそれを用いた勾配の表現　 2.1.3 　ベクトル場の発散 2.1.4 　ベクトル場の回転　 2.1.5 　テンソル表示とテンソル計算 3 　線積分と面積分　 3.1 　単連結領域 3.2 　線積分 3.3 　保存場 3.3.1 　ポテンシャル 3.3.1.1 　保存場とポテンシャル(関数)　 3.3.1.2 　ポテンシャルの存在定理 3.3.2 　ベクトルポテンシャル 3.3.2.1 　ベクトルポテンシャルの存在定理　 3.4 　面積分 3.4.1 　有向局面 3.4.2 　面積分 3.5 グリーンの定理 3.6 ストークスの定理 3.7 ガウスの発散定理

　8.2　ベクトル解析

　ベクトル場の微分

　ベクトル場とスカラー場

　スカラー場の勾配

　ナブラ∇ とそれを用いた勾配の表現　

　ベクトル場の発散

　ベクトル場の回転　

　テンソル表示とテンソル計算

　線積分と面積分　

　単連結領域

　線積分

　保存場

　ポテンシャル

　保存場とポテンシャル(関数)　

定理
　

　ポテンシャルの存在定理

定理（ポアンカレの定理）
　 定義（２端を共有する２つの連続曲線の連続可変性）
　 定義　単連結領域

命題
定理
UNIQ4138c6687f229026-MathJax-23-QINU；UNIQ4138c6687f229026-MathJax-24-QINU(i=2,3)の単連結領域
UNIQ4138c6687f229026-MathJax-25-QINU
とする。
すると次の３条件は同値である。
（１）
（２）
（３）
証明

　ベクトルポテンシャル

磁場UNIQ4138c6687f229026-MathJax-26-QINUはつねにUNIQ4138c6687f229026-MathJax-27-QINUを満たす（第５章電磁気学参照のこと）。
UNIQ4138c6687f229026-MathJax-28-QINUがUNIQ4138c6687f229026-MathJax-29-QINU級のベクトル場ならば
　 UNIQ4138c6687f229026-MathJax-30-QINUとおくと、
UNIQ4138c6687f229026-MathJax-31-QINU
であった。
この逆命題
UNIQ4138c6687f229026-MathJax-32-QINUならば
あるUNIQ4138c6687f229026-MathJax-33-QINU級のベクトル場UNIQ4138c6687f229026-MathJax-34-QINUが存在して UNIQ4138c6687f229026-MathJax-35-QINU　。
がなりたてば、磁場UNIQ4138c6687f229026-MathJax-36-QINUはつねにあるUNIQ4138c6687f229026-MathJax-37-QINU級のベクトル場UNIQ4138c6687f229026-MathJax-38-QINUを用いて、 UNIQ4138c6687f229026-MathJax-39-QINU　と書けることになる。
このUNIQ4138c6687f229026-MathJax-40-QINU級のベクトル場UNIQ4138c6687f229026-MathJax-41-QINUをUNIQ4138c6687f229026-MathJax-42-QINUのベクトルポテンシャルという。

　ベクトルポテンシャルの存在定理　

定理

　面積分

　有向局面

　面積分

グリーンの定理

ストークスの定理

ガウスの発散定理