物理/☆☆線形代数
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目次 |
線形代数
線形空間
線形空間
線形空間の基底と次元
線形部分空間
線形写像とその行列表現
線形写像の定義
自己共役写像、正規写像、ユニタリ写像
線形空間の基底と線形写像の行列表現
計量線形空間
定義
K上の線形空間Vの任意の2元UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-33-QINUに対して
内積と呼ぶKの元UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-34-QINU が定まり、次の性質を持つとき、
計量線形空間(metric linear space)あるいは内積空間(inner product space)という。
（１）UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-35-QINU
UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-36-QINU
UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-37-QINU
UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-38-QINU
UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-39-QINU
UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-40-QINU
固有値と固有ベクトル
２次形式と2次曲線の分類
ジョルダンの標準形
単因子に基ずく方法
幾何学的方法
我々の住む空間の数学的公理化
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。
この空間のなかに
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、
以下ではｎ次元空間で説明する(UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-41-QINU)。
参考文献
斎藤正彦 線形代数入門 東京大学出版会
ユークリッド空間
定義
UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-42-QINUを非空の集合、UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-43-QINUをn次元内積空間とする。
UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-44-QINUとUNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-45-QINUの順序対UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-46-QINUが次の３条件を満たすとき、ｎ次元ユークリッド空間という。
（１）UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-47-QINUの任意の2元UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-48-QINUの作る順序対UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-49-QINUに対してUNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-50-QINUの唯一の元UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-51-QINUが対応する。
このUNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-52-QINUをUNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-53-QINUと書く。
（２）UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-54-QINU
（３）UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-55-QINU
(注) ユークリッド空間UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-56-QINUは、単にユークリッド空間UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-57-QINUと略記されることが多い。
定義
ユークリッド空間UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-58-QINUにおけるUNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-59-QINUを、UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-60-QINUに付随する計量空間という。
またUNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-61-QINUの元を点、UNIQ73ebb1a01ea8c0b9-MathJax-62-QINUの元をベクトルという。
命題
