物理/多変数解析学
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目次 |
「8.1 多変数解析学」
序
本章の冒頭の偏微分の導入部については下記の本も参考にしてください。
それ以降の内容については、ウィキブックスには殆どないため、
このテクストで今後叙述していく予定です。
実数値の多変数関数の微分
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-473-QINU の開区間
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-474-QINU上で定義された実関数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-475-QINU を考える。
一変数関数の議論から類推するために
以後、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-476-QINUとおき、 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-477-QINU と書くこともある。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-478-QINU上で定義された実数値関数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-479-QINU の微分について説明する。
一変数の微分から類推すると
微小なベクトル UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-480-QINU を考え、極限
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-481-QINU
が存在するとき、関数ｆは微分可能と定義することが考えられる。
しかし残念ながら、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-482-QINUはｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
偏微分
関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-483-QINU の変数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-484-QINU の第i成分 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-485-QINU だけを変数とし、
他の変数は任意の実数に固定UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-486-QINUして得られる関数
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-487-QINU
を考える。
この関数は、一変数なので、任意の点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-488-QINU での微分係数
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-489-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-490-QINU
を考えることができる。
定義１（偏微分）
もし、一変数関数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-491-QINU が、ある点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-492-QINUで微分可能ならば、
関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-493-QINUは、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-494-QINUで,UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-495-QINU について偏微分可能であると言い,
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-496-QINU
を、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-497-QINU の 点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-498-QINU での変数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-499-QINU についての偏微分係数という。
定義２（偏導関数）
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-500-QINU がどの点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-501-QINUでも UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-502-QINU に関して偏微分可能であるならば、
任意の点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-503-QINU にその点における UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-504-QINU に関する偏微分係数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-505-QINUを対応させると、新しい関数が得られる。
これを、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-506-QINU の UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-507-QINU に関する偏導関数といい、記号
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-508-QINU
などで表示する。
以後、簡単のために2変数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-509-QINU の関数に限定して議論する。
定理１ 合成関数の微分（１）
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-510-QINU から UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-511-QINU への関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-512-QINU と
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-513-QINU から UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-514-QINU への関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-515-QINU の合成関数
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-516-QINU
を考える。
もし、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-517-QINU が UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-518-QINU で、ｘに関して偏微分可能で,
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-519-QINU が、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-520-QINU において微分可能ならば、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-521-QINU は UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-522-QINU で、ｘに関して偏微分可能であり,
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-523-QINU
証明
ｙを UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-524-QINU に固定して考えると、一変数関数の合成関数の微分になるので、合成関数の微分公式を適用すればよい。
定理２
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-525-QINU を
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-526-QINU を中心とするある半径ｒの開球体UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-527-QINU上で、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-528-QINUについて偏微分可能とする。
もしUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-529-QINU をUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-530-QINUの点ならば
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-531-QINU と UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-532-QINU の間の UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-533-QINU が存在して、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-534-QINU
(注）２次元の開球体UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-535-QINU は、中心が点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-536-QINU で半径ｒの円周で囲まれる内部である。
証明
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-537-QINU とおくと、
式（）の左辺UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-538-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-539-QINU は、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-540-QINU の近傍で微分可能なので、平均値の定理から、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-541-QINU と UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-542-QINU の間の UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-543-QINU が存在して、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-544-QINU
定理３
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-545-QINU を
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-546-QINU を中心とする開球体UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-547-QINU上で、ｘについて偏微分可能とする。
もしUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-548-QINU ならば
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-549-QINU
を満たす、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-550-QINU が存在する。
証明
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-551-QINU というｔの関数を導入する。
すると、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-552-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-553-QINU
関数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-554-QINU は、閉区間[0,1] を含む開区間上で微分可能なので、
一変数の微分可能関数の平均値の定理から、
ある数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-555-QINU が存在して、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-556-QINU
故に、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-557-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-558-QINU 関数ｇの微分は,一変数関数の合成関数の微分公式から
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-559-QINU
式(a)、(b) から
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-560-QINU
証明終わり
方向微分
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-561-QINU を直交座標系のUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-562-QINU座標軸の正方向の方向・向きを持つ単位長さのベクトルとする（第ｉ直交座標ベクトルと呼ぼう）。
多変数関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-563-QINUの、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-564-QINUでの偏微分係数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-565-QINU は、
点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-566-QINU を、第i座標（座標ベクトルUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-567-QINU)に平行に無限に小さい距離移動させるときの、関数ｆの変化率とみなせる。
式で書くと
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-568-QINU
このように考えると、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-569-QINUを、座標ベクトルUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-570-QINUに平行ではなく、
任意に指定するベクトルUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-571-QINUに平行に微小量動かすときの関数ｆの変化率を考えることもできることが分かるだろう。
定義 方向微分
関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-572-QINUの、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-573-QINUでの,UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-574-QINU 方向の微分係数とは、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-575-QINU
のことで、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-576-QINU
などと書く。
命題１
(1) UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-577-QINU 方向の微分は、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-578-QINU 座標軸(UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-579-QINU座標軸）に関する偏微分である。
ここで、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-580-QINU はUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-581-QINU座標軸の正方向に向いた単位長さのベクトル。
式で書くと、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-582-QINU
（２）UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-583-QINU を任意の実数とすると
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-584-QINU
微分(全微分）
この§も、記述を簡単にするため、2変数関数で説明する。
一般のｎ変数の場合への拡張は、記述は複雑になるが、容易である。
実数値多変数関数の微分可能性
実数に値をとる二変数の関数の微分可能性をどう定義したらよいだろうか？
実数値一変数関数の微分の場合、それと同等の条件はいくつか知られているが、
その中で二変数関数に容易に拡張できるものを採用するのが自然である。
1.4.1.1 微分係数の意味 の命題の条件 ３）の式(5)が、それに該当する。
定義３ 微分可能性(全微分可能性）
関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-585-QINUが、或る開集合Ｕ(\subset {\bf R^2})上で定義されているとする。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-586-QINUが 点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-587-QINU で微分可能(あるいは全微分可能）とは、
ある定数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-588-QINUが存在して、
ノルムが微小な任意のベクトルUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-589-QINU UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-590-QINUに対して
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-591-QINU（注１参照のこと）UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-592-QINU
ここで、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-593-QINU
この時、 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-594-QINU を、ｆの点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-595-QINUにおける導値(derivative)または微分係数といい、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-596-QINU などと書く。
（注１）UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-597-QINU で、Ｕが開集合なので、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-598-QINUがある正数より小さければUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-599-QINUとなり、
関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-600-QINUは、この点で定義されている。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-601-QINUは、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-602-QINU の関数である。
（注２）ノルムとしては、どのｐ－ノルムを用いても良い。
このテキストの「1.4.3 一般のノルムの定義とノルムの同等性」を参照のこと。
定理４
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-603-QINUが 点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-604-QINU で微分可能ならば、
１）UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-605-QINU はUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-606-QINU で偏微分可能で、
式(a)のUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-607-QINU はそれぞれ、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-608-QINU でのｘ、ｙに関する偏微分係数である。
すなわち、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-609-QINU
２）UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-610-QINU を任意のベクトルとすると、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-611-QINU は 点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-612-QINU で UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-613-QINU方向に微分可能で、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-614-QINU
証明
１）を示そう。
式(a) で、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-615-QINU とすると
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-616-QINU
ここで、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-617-QINU
式(c)の両辺を、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-618-QINU で割り、整頓すると、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-619-QINU
この式の両辺の極限UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-620-QINUをとると、式(d)から
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-621-QINU
を得る。
この左辺は、xに関する偏微分UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-622-QINUの定義式である。
式(a) で、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-623-QINU と固定すると,同様の議論で、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-624-QINU を得る。
１）の証明終わり
２）を証明しよう。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-625-QINU の時は、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-626-QINUであることは、方向微分の定義から直ちにわかるので、２）は成り立つ。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-627-QINU の時;
方向微分の定義から
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-628-QINU
他方、ｆが 点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-629-QINU で全微分可能なので、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-630-QINU
ここで、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-631-QINU
式(b)を式(a)の右辺の代入すると、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-632-QINU
これで２）が示せた。
証明終わり
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-633-QINUが微分可能ならば、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-634-QINUの点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-635-QINUでの値と、その近くの点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-636-QINUでの値の差UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-637-QINU は、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-638-QINU
で大変精度よく近似できることを意味する。
ここで、ベクトルの右肩についているＴという記号は、転置演算を表す記号である。
本テキストの8.1 平面と空間,ベクトルの行列を参照のこと。
微分可能性の十分条件
定理５
2変数関数関数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-639-QINU を考える。
もし、偏導関数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-640-QINU の少なくとも一方が UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-641-QINU で存在し、
他方が、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-642-QINU を中心とする半径UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-643-QINU の開球体 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-644-QINU上で存在し、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-645-QINU で連続ならば、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-646-QINU はUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-647-QINU において、微分可能である。
(注）UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-648-QINUはどんなに小さくてもよい。
証明
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-649-QINUが UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-650-QINU上で存在し、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-651-QINU で連続と仮定して、証明すればよい。（他の場合も同様に議論できるから）。
そこで、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-652-QINUがUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-653-QINU上で存在し、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-654-QINU で連続としよう。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-655-QINU を満たす任意の2次元ベクトルUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-656-QINUをとる。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-657-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-658-QINU
一変数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-659-QINUの関数
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-660-QINU
を考えると、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-661-QINUであり、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-662-QINUがUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-663-QINU上で存在するので、微分可能な関数である。
一変数の微分可能な関数の平均値の定理から、ある正数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-664-QINU が存在して、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-665-QINU
式(b)を用いて、この式を関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-666-QINUを用いて表すと
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-667-QINU
式(a)の右辺の第2項UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-668-QINU を考える
関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-669-QINUのUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-670-QINUについての偏微分UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-671-QINUがUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-672-QINUで存在することから、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-673-QINU
ここでUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-674-QINUは、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-675-QINUをみたす関数。
式(a)の右辺に、式 (c),(d)を代入すると、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-676-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-677-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-678-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-679-QINU
を示せば、微分可能性の定義から、所要の命題が証明できたことになる。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-680-QINUは明らか。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-681-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-682-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-683-QINU は絶対値が１以下の値で
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-684-QINU は、仮定から UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-685-QINU で連続なので
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-686-QINUが成り立つので
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-687-QINU
これで式UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-688-QINU が示せた。定理２の証明終わり。
(注）この定理はｎ変数関数の場合にも、次のように拡張できる。
定理５d
n変数関数関数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-689-QINU を考えるUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-690-QINU。
もし、偏導関数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-691-QINU の少なくとも一つが UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-692-QINU で存在し、
残りの全ての偏導関数がUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-693-QINU を中心とする半径UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-694-QINU の開球体 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-695-QINU上で存在し、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-696-QINU で連続ならば、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-697-QINU はUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-698-QINU において、微分可能である。
証明は、同じようにしてできるので省略する。
定義４
ｎ次元空間UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-699-QINU の開集合Ｕで定義される実数値関数
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-700-QINU がUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-701-QINU級 とは、
全ての偏導関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-702-QINUがＵ上で存在し、
かつ、それらがＵ上の連続関数であること。
Ｕ上で定義され実数値をとるUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-703-QINU級関数をすべて集めた集合を UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-704-QINU と書く。
（注）ｎ次元空間UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-705-QINU の集合Ｕが開集合であるとは、
Ｕの任意の要素UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-706-QINUに対して、十分小さな半径ｒを選ぶと、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-707-QINUを中心とし半径ｒの開球体UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-708-QINU がＵに含まれること。
定理５d の系
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-709-QINU級の関数は微分可能である。
勾配、グラジエント・ベクトル
ベクトル値の多変数関数の微分可能性
合成関数の微分を論ずるために、微分可能性をベクトル値関数の場合に拡張する。
本§では行列の初歩的知識が必要である。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-710-QINU をｎ次元空間UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-711-QINUの開集合Ｕで定義され、ｍ次元空間UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-712-QINUに値をとる関数とする。
ベクトルUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-713-QINU とUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-714-QINU を座標成分表示した縦ベクトルも同じ記号で表示しておく。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-715-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-716-QINU
関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-717-QINUを座標成分表示すると
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-718-QINU
定義５ ベクトル値関数の微分可能性
n変数でｍ次元空間UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-719-QINUに値をとる関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-720-QINUが点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-721-QINUで
微分可能（全微分可能ともいう）とは、
その関数を座標成分表示した、ｍ個のｎ変数実数値関数
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-722-QINU
が全て、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-723-QINUで微分可能（全微分可能）であること。
定理６
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-724-QINU をｎ次元空間UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-725-QINUの開集合Ｕで定義され、ｍ次元空間UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-726-QINUに値をとる関数とする。
この関数の座標成分表示を UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-727-QINUとする。
１．次の条件１）と ２）は等価である。
１）関数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-728-QINU が、点 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-729-QINU で微分可能である。
２）あるｍ×ｎ行列Ｃが存在し、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-730-QINUとなるような正数ｒと、
大きさがｒより小さい任意のn次元縦ベクトル UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-731-QINU に対して
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-732-QINU
ここで、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-733-QINU
３）UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-734-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-735-QINU
証明
容易なので省略する。
定義６
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-736-QINUが点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-737-QINUで微分可能のとき
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-738-QINU を、関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-739-QINUのUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-740-QINU での導値(あるいは微分係数)と呼ぶ。
定理７ 合成関数の微分
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-741-QINU をUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-742-QINU の開集合UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-743-QINU からUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-744-QINUへの関数
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-745-QINU をUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-746-QINU の開集合UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-747-QINU からUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-748-QINUへの関数とする。
もし関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-749-QINUが点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-750-QINUで微分可能で、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-751-QINUであり
関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-752-QINUが点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-753-QINUで微分可能であるならば
合成関数
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-754-QINU
は、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-755-QINUで微分可能で
その点の導値 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-756-QINUは
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-757-QINU
である。
(注）右辺はｎ×ｍ行列UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-758-QINU とｍ×ｌ行列UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-759-QINUの行列としての積である。
証明
関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-760-QINUが点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-761-QINUで微分可能なので、微分可能の定義から
ノルムの十分小さい任意のｌ次元ベクトルUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-762-QINUに対して、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-763-QINU
ここで、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-764-QINU
同様に、ノルムの十分小さい任意のｍ次元ベクトルUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-765-QINUに対して、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-766-QINU
ここで、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-767-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-768-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-769-QINU 式(a)から、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-770-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-771-QINU そこで、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-772-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-773-QINU とおくと
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-774-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-775-QINUが零ベクトル近づくときUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-776-QINUも零ベクトルに近づくので 式(c)を適用できて
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-777-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-778-QINU
故に、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-779-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-780-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-781-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-782-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-783-QINU ここで、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-784-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-785-QINU とおくと、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-786-QINU
故に、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-787-QINU
もし
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-788-QINU
が成り立てば定理６から、関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-789-QINUは、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-790-QINUで微分可能で、その導値はUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-791-QINUであることが分かる。
式(g)を示そう。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-792-QINU (式(f)利用）
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-793-QINU(ベクトルの和のノルムの性質を利用）
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-794-QINU ここで、行列のノルムとして、ベクトルのノルムから誘導されたノルムを用いると、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-795-QINU なので
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-796-QINU
故に
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-797-QINU
この式の右辺の第１項は、極限UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-798-QINUをとると０になる（式(b)より）。
第２項は、
1) もしUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-799-QINUならば、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-800-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-801-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-802-QINU であり
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-803-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-804-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-805-QINU なので、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-806-QINUが小さいとき、 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-807-QINU は有界(ある正数Ｍ以下）である。
故に、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-808-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-809-QINU(式(d)より)
故に
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-810-QINU
2) もしUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-811-QINUならば、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-812-QINUなので、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-813-QINU
この２つを合わせると、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-814-QINU
故に、式(h)から、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-815-QINU
式(g)が示せた。
証明終わり。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-816-QINUの開集合UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-817-QINUで定義された一階偏微分可能な実数値関数ｆに対し、
点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-818-QINU の近傍Ｗ(UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-819-QINU)上で２階偏導関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-820-QINU が存在し、
かつ、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-821-QINU で連続ならば、
１）導関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-822-QINUは、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-823-QINU で変数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-824-QINU に関して偏微分可能で、
２）UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-825-QINU
実数値の多変数関数の高階偏微分
（１）二階偏微分
定義 一階偏微分可能
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-826-QINU を、ｎ次元空間 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-827-QINUの開集合UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-828-QINU上で定義され、
実数に値をとる関数とする。
この関数がUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-829-QINU上で、全ての変数に関する偏導関数
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-830-QINU
を持つと仮定する。
この時 この関数を,U 上で一階偏微分可能であるという。
定義 二階偏微分係数
もし、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-831-QINU で、偏導関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-832-QINUが、変数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-833-QINUに関して偏微分可能の時、その偏微分係数をUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-834-QINUと表わす（UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-835-QINU )。
物理学や他の数理的分野で、
２つの変数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-836-QINU に関する偏微分の順番を交換したとき、
偏微分係数が変わるか、否かが問題になることが起こる。
定理８
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-837-QINUの開集合Ｕで定義された一階偏微分可能な実数値関数ｆに対し、
点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-838-QINU の開近傍Ｗ（注参照）で
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-839-QINU
が共に存在し、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-840-QINUにおいて共に連続ならば、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-841-QINU
(注）Wは点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-842-QINUを含む開集合で、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-843-QINU であること。
この定理は次の定理の特殊な場合なので証明は略す。
定理９
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-844-QINUの開集合UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-845-QINUで定義された一階偏微分可能な実数値関数ｆに対し、
点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-846-QINU の近傍Ｗ(UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-847-QINU)上で２階偏導関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-848-QINU が存在し、
かつ、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-849-QINU で連続ならば、
１）偏導関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-850-QINUは、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-851-QINU で変数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-852-QINU に関して偏微分可能で、
２）UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-853-QINU
証明の記述を簡単にするために、次の２変数関数バージョンの証明をする。
定理９は、２つの変数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-854-QINU以外の (n-2)個の変数は固定して考えるので、
実質的には２変数関数にかんする命題であり、
簡略バージョンの証明はそのまま定理９の証明になっている（ただし、記述が複雑になる）。
定理９d（定理９の２変数関数バージョン）
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-855-QINUの開集合UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-856-QINUで定義された一階偏微分可能な実数値関数ｆに対し、
点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-857-QINU の近傍Ｗ(UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-858-QINU)上で２階偏導関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-859-QINU が存在し、
かつ、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-860-QINU で連続ならば、
１）導関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-861-QINUは、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-862-QINU で変数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-863-QINU に関して偏微分可能で、
２）UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-864-QINU
証明；
点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-865-QINUを含む集合Ｗが開集合なので、充分小さな正数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-866-QINUを選べば、
点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-867-QINUを中心とする半径UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-868-QINUの開球体UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-869-QINU はＷに含まれる。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-870-QINU
今後はこの開球体の上で議論する。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-871-QINU が存在し、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-872-QINU であることを示せばよい。
（１）UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-873-QINU が成立する。
これは偏微分の定義から明白。
そこで、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-874-QINU と置くと、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-875-QINU
が存在し、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-876-QINU に等しいことを示せば定理は証明される。
（２）UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-877-QINU
である。
この部分が、この定理の証明の核心であり、多少の技巧を要する。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-878-QINUを生成するため次のような関数を導入する。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-879-QINU
すると関数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-880-QINUは
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-881-QINUをみたす微分可能な関数であることが容易に確かめられる。
すると、微分可能な関数に関する中間値の定理が適用出来るので、
ある正数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-882-QINU が存在して、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-883-QINU
ところが、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-884-QINUの定義から、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-885-QINU
なので、式(d),(e)から
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-886-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-887-QINU
ここで、定理の仮定により偏導関数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-888-QINU は開球体UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-889-QINU上で,
変数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-890-QINU に関して偏微分可能なので、中間値の定理が適用できるため、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-891-QINU
を満たす、正数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-892-QINU が存在することが分かる。
式(g)を式(f)の右辺に代入すると
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-893-QINU
故に UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-894-QINU の時、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-895-QINU
2階偏導関数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-896-QINU は、点UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-897-QINUで連続なので、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-898-QINU
が示せた。
（３）最後に
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-899-QINU
を示そう。
1) UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-900-QINUである。
何故ならば、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-901-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-902-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-903-QINU
であり、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-904-QINUと
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-905-QINUは存在するので、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-906-QINUの極限（UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-907-QINU が存在し、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-908-QINU
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-909-QINU
が得られる。
２）次の補題が示されれば、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-910-QINU と置くことにより
式(a)が得られる。
補題
2変数関数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-911-QINU が、UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-912-QINU上で定義されているとする。
もし、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-913-QINU
と
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-914-QINU
が同時に成り立つならば、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-915-QINU
である。
証明
収束の定義から、
任意の(小さな)正数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-916-QINU に対して、或る正数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-917-QINU が存在して
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-918-QINU を満たす任意の実数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-919-QINU では
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-920-QINU が成り立つことを示せばよい。
仮定した式(h)から、
任意の正数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-921-QINU に対して、これに依存して決まるある正数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-922-QINU が存在して
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-923-QINU が
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-924-QINU を満たすならば、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-925-QINU
他方、仮定した式(i)から、
任意の非零のUNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-926-QINUに対して、ある正数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-927-QINUが定まって、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-928-QINU ならば
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-929-QINU
非零で絶対値が UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-930-QINU より小さい任意の実数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-931-QINUをとれば、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-932-QINUを満たす
任意の実数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-933-QINUに対して、
式(j)、(k) が同時に成り立つ（注参照）。
故に、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-934-QINU
これで、
任意の正数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-935-QINU に対して、これに依存して決まるある正数UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-936-QINU が存在して
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-937-QINU を満たす任意の非零数 UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-938-QINU に関して
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-939-QINU
が証明できた。
証明終わり。
（注）
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-940-QINU なので、
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-941-QINU
が成り立ち、式(j)が成り立つ。
UNIQ72621bd24eb404ff-MathJax-942-QINU級の関数
定義
定理１０
