物理/質点の運動の表し方
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目次
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質点の運動の表し方
高校では主に質点 （大きさがなく重さだけがある点状の物体）の運動を学び、
その法則を明らかにします。
なぜ質点の運動から、学ぶのか
大きさのある物体は、物体の箇所によって位置がことなる。また大きさのある物体は変形する。
このため、その位置を表すのが難しい。
さらに運動も平行移動だけでなく回転などを行い複雑となる。
質点は、大きさのない点なので位置は明確で、その場所を簡単に表示できる。しかも変形も回転もない。
このため、その取り扱いは、大きさのある物体に比べて、格段に、易しくなる。
しかし、重さがあって大きさのない、仮想の物質である質点の運動法則など何の役にも立たないと思う人もいるでしょう。
ところが、応用範囲は結構広いのです。
例えば、地球の公転運動(太陽の周りの回転）は、地球を質点とみなして解析してもほぼ正しい。
さらに、大きさを考慮して解析しなければならない物体の運動も、質点の運動法則を利用して解明できる。
これには高校数学より高度な数学を必要とする。
そこで、大きさのある物体の運動は,剛体の回転の初歩を紹介するのにとどめる。
詳しくは、大学の物理学で学ぶ。
質点の運動を数式で表すにはどうするか？
我々が住む世界は、３次元 の空間 であり、縦、横、高さという3つの方向がある。この空間には距離という概念がある(注参照）。
また時間という時の経過が存在する。
この世界の物質は運動していて、その場所を時間とともに変える。
１章の４節で紹介したように近代の力学は、
質点の運動を質点の位置の時間変化と考える。、
任意の時刻の質点の位置を正確に測定し、位置が時間変化に伴いどのように変化するかを、
数式で正確にあらわすという方法で発展した。
まず、時間と距離の測り方から紹介する。
（注）空間について、もう少し詳しく知りたい方は、
「８章、物理数学」の「平面と空間のベクトル」を御覧ください。
時間と距離の測り方
時間は時計で正確に測れる。
詳しくはウィキペディア（時間） の4.1 ニュートン力学での時間
を参照のこと。
また距離（あるいは長さ）は、距離の原器を使って正確に測れる。
詳しくは、
空間の点の位置の表現
有向線分
空間中の任意の点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-308-QINUをとると、その2点を結ぶ線分が引ける。
この点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-309-QINUから点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-310-QINUにむけた向きを入れる。これを有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-311-QINUという。
点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-312-QINUをこの有向ベクトルの始点、点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-313-QINUを終点という。
位置の特定には基準点が必要
空間中の点の位置は、どの場所から観測するかで、距離も方向も異なってしまう。
位置を指定するには基準点が必要である。
そこでUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-314-QINUの適当な点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-315-QINUを基準点に選び、原点と呼ぶ。
有向線分を用いた位置の表示
空間の任意の点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-316-QINUに対し,有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-317-QINUを考えると、その終点が点Ｐを表す。
空間の点Ｏとこれを始点とする有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-318-QINUとの和を
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-319-QINUで定義すると便利である。
有向線分からベクトルへ
有向線分のままだと、
始点のことなるすべての有向線分を考えないと、位置の指定は出来ない。
非常に不便である。
原点Ｏからみた点Ｐの位置の指定で必須のものを抜き出すと、
①線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-320-QINUの長さ。
②2点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-321-QINUを通る直線UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-322-QINUが示す方向
③Ｏからみて、点Ｐは直線UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-323-QINUのどちら側にあるか(向き）
の3要素である。
従って、有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-324-QINUと
①長さ(大きさ、距離）が等しく、②方向が等しく ③向きが等しい
任意の有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-325-QINUを用いても、
点Ｏから見た点Ｐの位置は正確に指定できる。
そこで、ベクトルを次のように定義する。
定義；ベクトル
空間中のあらゆる有向線分を考える。
この中で、大きさ、方向・向きの等しいものは同じものとみなして、
一つの量とみなしたものをベクトルという。
例えば、
有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-326-QINUと大きさ、方向・向きの等しい有向線分をすべて集めた
有向線分からなる集合を、
(これ等の有向線分と同じ)大きさ、方向・向きだけを持ち、始点はない量とみなして
ベクトルとよび、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-327-QINUなどと書く。
もしUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-328-QINUとUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-329-QINUが、大きさが等しく、方向・向きが等しいならば
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-330-QINUとなることは明らかであろう。
逆にUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-331-QINUならば、
有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-332-QINUとUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-333-QINUは
大きさが等しく、方向・向きも等しい。
(注）多くの本ではベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-334-QINUを、単にUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-335-QINUとかく。
記号だけでは有向線分とベクトルの区別が出来ない。
前後の文から正しく判断する必要があるので、注意が必要である。
③2つの有向線分の「大きさが等しく、方向・向きが等しい」か否かは、次のようにして簡単に判断できる。
命題；
線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-336-QINUと線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-337-QINUが、ある一つの平面上にあり、
この平面上の四角形UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-338-QINUが平行四辺形ならば、
2つの有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-339-QINUとUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-340-QINUは、大きさが等しく、方向・向きが等しい。
逆も成立する。
有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-341-QINUの始点Ｏを、線分の向きと方向が変化しないようにして移動することを、
平行移動という。
命題；2つの有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-342-QINUとUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-343-QINUが、大きさと方向・向きが等しい、
必要十分条件は
有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-344-QINUを平行移動して始点をUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-345-QINUに移すとUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-346-QINUに一致することである。
ベクトルを用いた位置の表示
どの点を原点(Ｐと書く）としても、
ベクトルを用いると、空間の任意の点の位置を記述できる。
今、原点Ｐから見て、ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-347-QINUの大きさ、方向・向きにある点は
どのようにして見つけることができるのか？
それには、ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-348-QINUの名前の付いた有向線分の集合の中から、
始点がＰであるもの、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-349-QINUをとりだせばよい。
このような有向線分をベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-350-QINUに属す有向線分と呼ぼう。
この有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-351-QINUはUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-352-QINUと同じ大きさ、方向・向きをもち、
始点が原点なので、点Ｑが求める点になる。
これを数学記号でかくと
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-353-QINU
逆に点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-354-QINUの位置を表すベクトルは、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-355-QINUである。
これを数学記号でかくと
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-356-QINU
定義：位置ベクトル
本テキストでは、ベクトルを位置の表示に用いるとき、位置ベクトルと呼ぶ。
他のベクトル
物理学では、位置ベクトル以外にも、
速度や、加速度、力などは、大きさと方向、向きを持つ量なのでベクトルである。
物理学では、ある程度のベクトルの知識が必要である。
以下に、ベクトルについて、簡単に紹介する。
まったくベクトルについて学習してない方は次の文献をご覧ください。
- [[wikibooks_ja:高等学校数学B ベクトル|ウィキブックス（高等学校数学B ベクトル）]
２つのベクトルの和とベクトルの実数倍
定義；２つのベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-357-QINUとベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-358-QINUの和を、次のように定義する。
・UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-359-QINUに属す有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-360-QINUとUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-361-QINUに属す有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-362-QINUを用いて、
有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-363-QINUを求める。これに対応するベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-364-QINUを、
ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-365-QINUとベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-366-QINUの和という。ベクトル和の図参照。
すなわち、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-367-QINU；
(注）もしUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-368-QINUに属す、別の有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-369-QINUをとり、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-370-QINUに属す有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-371-QINUを用い、和のベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-372-QINUを作ったら、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-373-QINUとは別のベクトルになってしまった、この定義は破たんする。
幸いUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-374-QINUであることが、
ユークリッド幾何学で明らかにされた平行四辺形の性質を使って
容易に証明できる。図参照。
ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-375-QINUとUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-376-QINUを
始点の同じ有向ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-377-QINU とUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-378-QINUで表すと、
これを２辺とする平行四辺形UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-379-QINUの対角線UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-380-QINUに向きを付けたUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-381-QINUの表すベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-382-QINUは、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-383-QINUに等しいことが容易に分かる。ベクトル和の図参照のこと。
ベクトル和の定義から、
必要ならば適切に平行移動しユークリッド幾何の知識を使うと、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-384-QINU ; 交換法則
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-385-QINU ；結合法則
が成立する。証明は各自試みてください。
零ベクトル
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-386-QINUという特殊な場合、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-387-QINUは、
Ｐ点から見たＱ点の位置(同じ位置)であることを示すので、
有向線分として認める。
このように長さが零で一点に退化したすべての有向線分は
大きさが等しく、方向・向きを持たないので、
同一とみなして、零ベクトルと呼ぶ。
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-388-QINU
すると
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-389-QINU ；零元の存在；
であることが、容易に証明できる。
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-390-QINUは、数の加法において、零が果たしている役割を
ベクトルの加法で果たすので、零ベクトル、あるいは零元という。
逆ベクトル
ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-391-QINUに対し、その逆ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-392-QINUとは、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-393-QINUを加えるとUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-394-QINUになる、ベクトルのことである。
式で書くと
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-395-QINU
どんなUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-396-QINUも、逆ベクトルを一つ、そして一つだけ持つ。；逆元の存在
それは、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-397-QINUと大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。
証明は容易。
以後、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-398-QINUを、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-399-QINUで表す。
ベクトルの実数倍
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-400-QINUを任意の実数とする。
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-401-QINUが零ベクトルでない時、そのUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-402-QINU倍、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-403-QINUは次のように定義する。
・UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-404-QINUが正数のとき；UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-405-QINUは、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-406-QINUと方向・向きは同じで、大きさがUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-407-QINU倍であるベクトルである(注参照）。
・UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-408-QINUのとき；UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-409-QINU
・UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-410-QINUのとき；UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-411-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-412-QINUのときは、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-413-QINUとする。
このように定義すると、
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。
次の諸規則が証明できる。
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-414-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-415-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-416-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-417-QINU
（注）この定義は直観的なもので、正確ではない。
ベクトルは、それに属す有向線分の集まりとして定義したので、
任意の有向線分の実数倍をまず定義し、
それを用いてベクトルの実数(UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-418-QINU)倍を決めないといけない。
一点に退化した有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-419-QINUの場合、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-420-QINUと決める。
退化していない有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-421-QINUのUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-422-QINU倍
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-423-QINUとは、
始点と方向を変えず向きと長さをを次のように変えたものをいう。
①UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-424-QINUのとき；向きもかえず、長さをUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-425-QINU倍する。
②UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-426-QINUのとき；UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-427-QINUと決める。
③UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-428-QINUのとき；方向を逆にして長さをUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-429-QINU倍する。
これをもとに,ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-430-QINUのUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-431-QINU倍UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-432-QINUは次のように決める。
まずベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-433-QINUに属す(i.e.UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-434-QINU)任意の有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-435-QINUをとりだし、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-436-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-437-QINUに属す他の有向線分を使っても、得られるベクトルは、同一になることは、
容易に示せる。
位置の座標とベクトルの座標成分表示
ベクトルの記号（例えばUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-438-QINU）を用いた力学の法則の表示や演算は、ベクトル記号のまま扱うと、大変簡潔で、見通しが良い。
しかし、ベクトル記号のままでは、具体的な問題で、質点がどこにいるか、その速度は、どの方向で、いくらか、などを求めたいときには、大変である。
ベクトルを図示し、図を使って、ベクトル演算をしなければならなくなるからである。
平面の場合でさえ、ベクトルを正確に図示することはできず、手間も大変である。
3次元空間では、平面である紙の上には、正確に書くことは出来ない。
そこで点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-439-QINUの位置、位置ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-440-QINUやその他のベクトルを、いくつかの数字が順番に並んだ、数字の組で表わす方法が考えだされた。
図ではなく数字を使って位置やベクトルを表せるなら、数学で知られた色々な計算方法が利用でき、具体的な計算は飛躍的に進化する。
点の位置をいくつかの数字の組で表示するのは座標表示と呼ばれ、
ベクトルをいくつかの数字の組で表現することはベクトルの座標成分表示と呼ばれる。
色々な座標を使った表示法がみつかっている。
最も広く利用されている方法を説明しよう。
正規直交系と直交座標を用いる表示
空間に定めた原点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-441-QINUをとおる、縦と横と高さ方向の互いに直交する３つの直線を引く。
各直線上の原点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-442-QINUから単位の距離にある点(原点の両側にある）の一方に＋１を、他方にー１を振る。
他の点にも、原点からの距離に＋－符合(原点に関して、＋１と同じ側の点には＋）をつけた数字(実数）を割り振る。
このように、各点に数字が割り振られた直線に、数字が増大する向きに矢印をつける。
この直線を数直線と呼び、各点に割り振られた数字をこの点の座標と呼ぶ。図＿数直線参照。
縦(手前と奥)方向の数直線をｘ軸、横(左右)方向の数直線をy軸、高さ(上下)方向の数直線をz軸と呼ぶ。
数式表記に便利なようにしばしば、
ｘ軸をUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-443-QINU軸、ｙ軸をUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-444-QINU軸、ｚ軸をUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-445-QINU軸と呼ぶ。
任意の点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-446-QINUの位置や３次元ベクトルは、これ等の数直線を利用して、以下のようにして、３つの実数の組で表示できる。
（１）点の位置の座標表示
任意の点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-447-QINUから、x軸に下ろした垂線の足の座標UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-448-QINU,
y軸に下ろした垂線の足の座標UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-449-QINU,z軸に下ろした垂線の足の座標UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-450-QINUを求める。
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-451-QINU、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-452-QINU、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-453-QINUをそれぞれ、点Pのx座標、y座標、ｚ座標と呼ぶ。
点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-454-QINUにたいして３つの数字の組UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-455-QINUが、唯一つ定まる。これを点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-456-QINUの座標と呼ぶ。
ここで、数字は、x座標、ｙ座標、ｚ座標の順序で並べなければならない。
逆に３つの実数の組UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-457-QINUに対して、それを座標にもつ点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-458-QINUが、唯一つ決まる。図＿座標表示を参照のこと。
（２）ベクトルの座標成分表示
・ベクトルに属す、原点を始点とする有向線分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-459-QINUを考える。
・ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-460-QINUの終点UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-461-QINUの座標UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-462-QINUを、ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-463-QINUの座標成分表示という。
・すべてのベクトルにひと組の数字の組が定まる。
・逆に３つの実数の組UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-464-QINUを与えると、
これを座標成分とする、ベクトルが一つ（そして一つだけ）決まる。
何故なら、座標がUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-465-QINUである点Ｐを用いて
ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-466-QINUを作れば、
この座標成分はUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-467-QINUであるから。
・ｘ軸、y軸、z軸は、座標を決めるときに使われるので、座標軸と呼ばれる。
紹介した座標表示法では、3本の軸は直交するようにとってあるので、それを明示したいときは直交という形容をつけて、直交座標成分、直交座標軸などと呼ぶ。
(3)ベクトルと、その直交座標成分表示の関係について
ｘ軸上に、長さが１で、正の向き（座標の増加する向き）の有向線分をとり、
これによって決まるベクトルをUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-468-QINUと書く。
同様に、ｙ軸上の長さ１で正の向きの有向線分に対応するベクトルをUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-469-QINU,
ｚ軸上に、長さ１で正の向きの有向線分に対応するベクトルをUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-470-QINUとおく。
今後、数式表示を簡単にするため、ｘ成分、ｙ成分、ｚ成分を下添え字の１，２，３でそれぞれ表示する。
すると、任意のベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-471-QINUは、その直交座標成分UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-472-QINUを用いて、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-473-QINU
と表せることが、簡単に証明できる。（注参照）
このように、どんなベクトルも、3つのベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-474-QINUを用いて表示できるので、
これらを順番に並べた
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-475-QINUを、3次元空間の基底と呼ぶ。
直交していることを明示したいときは、直交基底という。
さらに、基底ベクトルの大きさが１にとってあるので、
これを明示したいときには、正規直交基底と呼ぶ。
逆に、
直交基底UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-476-QINUが与えられると、
直交座標系が決まる。
(注）この表示は一通りしか存在しない。
座標成分を用いた、ベクトルの演算
ベクトルの和や実数倍する演算を数の演算で行う、準備は整った。
これ以降座標系が分かっているときは
ベクトルはその座標成分と合わせてUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-477-QINUなどと記すことにする。
前項で説明したように、ベクトルとその座標成分は次の関係で結ばれている。
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-478-QINU（x,y,z座標成分を下添え字の1，2，3で表示）
（１）ベクトル和の計算
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-479-QINU
（２）零元と逆元
零元の座標成分表示はUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-480-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-481-QINUの逆元UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-482-QINUは、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-483-QINU
（３）ベクトルの実数倍
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-484-QINU
(1)の証明；
ベクトルとその座標成分の関係から、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-485-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-486-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-487-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-488-QINU
これらを用いると、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-489-QINU
ベクトルの加法は、結合則と交換則をみたすので、
これらを利用して、和の順序や計算順を変えると
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-490-QINU
前述「２つのベクトルの和とベクトルの実数倍」の式（６）から、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-491-QINU
（３）の証明
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-492-QINU
「２つのベクトルの和とベクトルの実数倍」の式（５）と和の結合則から、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-493-QINU
「２つのベクトルの和とベクトルの実数倍」の式（７）から
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-494-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-495-QINU
便宜的に、座標成分表示だけでベクトルを表して、
上記の演算規則を纏めて表示しておく。
ベクトル和；UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-496-QINU
零元の存在；UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-497-QINU
逆元の存在；UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-498-QINU
ベクトルの実数倍；UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-499-QINU
3次元数空間
3つの実数の組をすべて集めて作った集合をUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-500-QINUと書く。
この集合の任意の２つの要素UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-501-QINU、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-502-QINUに加法を
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-503-QINU
で定義する。
実数倍も
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-504-QINU
で定義する。
すると、
加法の交換則、結合則、零元と逆元の存在など
「２つのベクトルの和とベクトルの実数倍」の項で示したすべての性質が成り立つ。
そこでUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-505-QINUとそこで定義された加法(＋）と実数倍(UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-506-QINU) とを組にした
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-507-QINUを3次元数空間と呼ぶ。
証明は、実数の加法、乗法の性質を使えば簡単にできる。
直交座標系には右手系と左手系の2種類がある
（１）3次元空間の場合；
空間に一つの直交座標系をとる。
3つの座標軸のうち、一つの座標軸の正負を逆にした座標系をつくる。たとえばz軸の正負を逆にしてみよう。
右手の親指、人差し指、中指をそれぞれ直角になるように延ばし、親指をx軸の正部分に、人差し指をｙ軸の正部分に重ねる。
すると中指はz軸と重なるが、
片方の座標系では、向きまで一致する。
もう一方の座標系では、向きは逆になってしまう。
一致するほうの座標系を右手系、逆向きの座標系を左手系とよぶ。図参照。
x軸やy軸の向きを変える場合でも全く同じことが起こることを確かめてほしい。
（２）平面の場合；
平面内で、ｘ軸を原点を中心に90度だけ反時計回りに回転してx軸とy軸を重ねたとき、
向きまで一致する座標系を右手系といい、逆向きになる時左手系という。
（３）物理では右手系を用いる。
どちらの座標系を使っても、あらゆることが、同じように議論できる。
しかし法則によっては、右手系で表現した法則式と左手系で表現したものが異なることもある。
このような法則を、２種の座標系を混在させて使うと得られた結果は過ちになる。
物理の世界では、右手系を使うことにして、この種の過ちが起こらないようにしている。
直交座標系については、
を参照のこと。
色々な座標
ベクトルを実数の組で表示する、座標表示の方法は、色々考案されている。
それは、運動の種類に応じて、使いやすい座標と使いにくい座標があるからである。
直交座標は最も多く使われるが、円運度や楕円運動では極座標が便利である。
極座標については、ウィキペディア（極座標系）
その他の座標系も含む色々な座標系についてはウィキペディア（座標）
を参照のこと。
（注）座標系をつかい、数字の計算で図形等の性質を調べることは１６世紀にデカルトが見つけた偉大な方法である。
この方法が、運動を法則を解明する時に、不可欠の役割を果たしている。
座標表示の欠点
座標系を定めて位置を数値化すのため、当然のことながら、
位置を表示する数値は座標系に依存する。
このため、異なる座標系で表現したいときには、正しい数値にするため、
場合によってはかなり複雑な変換をする必要が起こる。
ベクトル表示は、座標を用いないので、この種の煩わしさは無い。
物理で利用するベクトルの演算についての注意
数学で扱うベクトルは、文字通り、大きさと方向・向きの等しいベクトルは皆同じものとみなし、平行移動したり、ベクトル同士の演算も自由にできる。自由ベクトルと呼ばれる。
ところが
力は大きさと方向・向きを持つのでベクトルだが、作用する場所が変われば、その効果もまったく異なる。すなわち、ベクトルの始点がどこにあるかが、重要なベクトルである。そこで平行移動や始点の異なるベクトルの和は許さない。このようなベクトルは 束縛ベクトル]という。
物理に現れるベクトルは束縛ベクトルであることが良く起こるので、
物理的意味を考えて、数学を利用する必要がある。
質点の位置ベクトルの時間関数表示
質点の時刻UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-508-QINUの位置を位置ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-509-QINUであらわす。
必要に応じて、適切な座標系を用いて座標表示する。例えば直交座標系xyzでは、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-510-QINUとあらわす。
運動が分かっているときは、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-511-QINUやUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-512-QINU,UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-513-QINU,UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-514-QINUの具体的形を定められる。
運動が未知で、運動方程式を解いて求めねばならない時は、未知関数UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-515-QINU,UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-516-QINU,UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-517-QINUを変数とする運動方程式をといて、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-518-QINU,UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-519-QINU,UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-520-QINUを具体的に求めることができる。
質点の速度と加速度
空間に原点を決め、質点の位置Pを時間の関数としてUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-521-QINUと表わせば、質点の動き方がわかるので、その速度や加速度（速度の増加の仕方）も計算できる。
位置ベクトルは必要ならば座標系を定め座標成分表示しておく。
例えば、xyz直交座標系ならば、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-522-QINU,
極座標系ならばUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-523-QINUという形で表せる。
速度
質点の速度は、質点の位置が単位時間あたり幾ら変化するかを表わす。大きさと方向・向きを持つのでベクトルである。
平均速度
任意の時刻UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-524-QINUにおける質点の位置がUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-525-QINUで表される時、
時刻UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-526-QINUと時刻UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-527-QINUの間の平均の速度は、 UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-528-QINU で定義する。平均速度はベクトルである。（注意）UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-529-QINUはUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-530-QINUの前後どちらでもよい。
ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-531-QINU を直交座標系xyzにかんして座標表示し、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-532-QINU と表すと、
平均の速度は、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-533-QINU となる。
瞬間速度(略して速度)とベクトル値関数の微分
落下する物体は時々刻々速さを増し、一定の速さに留まることはない。
そのような運動の速度を正確にとらえようとして、
ガリレオは、平均速度をとる時間間隔t-sを無限に小さくした時の、平均速度を考えた。
これを瞬間速度という。この概念の発見が微分学の始まりである。
物理学では、単に速度と言えば、瞬間速度のことをいう。
高校の数学で学ぶ微分を、ベクトルに値をとる関数に拡張すると、時刻UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-534-QINUの速度UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-535-QINUは、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-536-QINU
で表せる。
ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-537-QINU をxyz直交座標の成分で表示（UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-538-QINU）すると、
上記の速度は、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-539-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-540-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-541-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-542-QINU
と表せる(注参照）。
速度については、下記の記事も参考のこと。
ウィキペディア(速度)
（注）ベクトル値関数の極限の定義
ベクトル値関数UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-543-QINUにおいて、実数変数UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-544-QINUが、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-545-QINUと異なる値をとりながらUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-546-QINUに限りなく近づくとき、
それに対応する従属変数の値UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-547-QINUが、ある一つの値UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-548-QINUに限りなく近づくとき、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-549-QINUを、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-550-QINUがUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-551-QINUに限りなく近づくときのベクトル値関数UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-552-QINUの極限(あるいは極限値）という。
これを、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-553-QINUと書く。
今後は、簡略化のため、単にUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-554-QINUと書くたり、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-555-QINUのとき UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-556-QINU と書く。
極限の定義から、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-557-QINU が存在すれば、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-558-QINU
が証明できる。
微分の性質
本テキストで用いる
実変数で実数値の関数の微分については、すべて下記の教科書に記載されている。
適宜参照されたい。
等速円運動の速度
質点がUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-559-QINU 平面上の原点 O を中心とする半径 UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-560-QINUの円上を等速UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-561-QINU(ラジアン/s)で運動するとする。
質点の角速度UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-562-QINUは、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-563-QINU（ラジアン／s）である。
時刻UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-564-QINUの質点の位置ベクトルUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-565-QINUの
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-566-QINU座標をUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-567-QINU、極座標を\bigl(ｒ,UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-568-QINUと書くと、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-569-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-570-QINU
ここでUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-571-QINU は、時刻0における質点の位相角である。
これらを時間ｔで微分する。
合成関数の微分の性質と三角関数の微分の公式を用いて計算すると、
速度のx成分とy成分
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-572-QINU
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-573-QINU
が得られる。
但し、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-574-QINU は、関数UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-575-QINU を時間変数UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-576-QINUで微分したことを意味する記法で、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-577-QINU ということである。
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-578-QINUなので
速度ベクトルは
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-579-QINU,
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-580-QINU,
このベクトルは、質点の位置ベクトル
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-581-QINU
と直交している。
何故なら、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-582-QINUの傾きはUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-583-QINU、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-584-QINUの傾きはUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-585-QINUなので、
傾きの積が－1となるからである(注参照）。
そこで、等速円運動する質点は、その軌道の接線方向の速度を持つことが分かる。
関連事項については次の記事を参照のこと。
（注）後に学ぶ内積の考えを使うと、この2つのベクトルが直交することは簡単にわかる。
加速度
質点の加速度は、速度が単位時間あたり幾ら変化するかを表わす、ベクトルである。
速度と同じように平均加速度と瞬間加速度が考えられるが、単に加速度といえば瞬間加速度のことである。
平均加速度
任意の時刻UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-586-QINUにおける質点の速度がUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-587-QINUで表される時、
時刻UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-588-QINUと時刻UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-589-QINUの間の平均の加速度は、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-590-QINU
で定義する。平均加速度はベクトルである。
瞬間加速度、略して加速度
落下する物体は、速度を増すが、その増し方も絶えず増加する。
そのような運動の速度の増加の仕方を正確にとらえるためには、
平均加速度をとる時間間隔s-tを無限に小さくした時の、平均加速度を考える必要がある。
これを時刻UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-591-QINUにおける瞬間加速度という。
物理学では、単に加速度と言えば、瞬間加速度のことをいう。
数式を用いると、時刻UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-592-QINUの加速度UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-593-QINUは、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-594-QINU である。
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-595-QINUなので、
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-596-QINU と書ける。
加速度については、下記の記事も参照のこと。
ウィキペディア(加速度)
等速円運動の加速度
質点が xy 平面上で
原点 O を中心とする半径 r の円上を等速UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-597-QINUで運動するとき、加速度はどうなるか？
位置ベクトルはUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-598-QINU
速度ベクトルはUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-599-QINU であった。
すると加速度は
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-600-QINU
となる。
この変形では、vはUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-601-QINUの大きさで、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-602-QINUであることを使っている。
すなわち等速円運動の加速度は、大きさがUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-603-QINUで
向きは、質点の位置から運動の中心である原点Oに向いた、ベクトルである。
以下の記事も参考にしてください。
ウィキペディア(円運動)
時間、長さ、速度、加速度の単位
色々な単位系があるが、通常はSI国際単位系が用いられる。
この単位系では時間や長さ等、基本的なものを基本単位として定める。
時間の単位は、呼称は秒、記号はUNIQ4b0eebf744613216-MathJax-604-QINU（秒の英語secondの頭文字)であり、秒[s]と略気する。
長さの単位はメートルｍである。
その他の速度や加速度の単位は、それぞれの定義や物理法則を利用して、基本単位を用いて組み立てる。SI組み立て単位と呼ばれる。
例えば、速度の定義は
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-605-QINU
なので、速度の単位は距離の単位UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-606-QINUを時間の単位UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-607-QINU で割った、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-608-QINU であり、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-609-QINU と書く。
加速度の定義は
UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-610-QINU
なので、単位は、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-611-QINU であり、UNIQ4b0eebf744613216-MathJax-612-QINUと書く。
なお、このテキストでは、物理量の単位を表示するときは、
物理量の後ろに括弧[ ]をつけ、その中に単位の記号表示を入れてある。
括弧[ ]は略すと混乱を生じる。
たとえば、次節で登場する質量という物理量は通常ｍとかく。
単位のメートルの記号表示ｍと同じである。
単位の方を[m]と書けば、こうした混乱は生じない。
（注）単位の呼称表示と記号表示
長さの単位はメートルとかいたりｍとかく。
メートルを単位の呼称表示といい、ｍ(meterの頭文字）を記号表示という。
他の単位でも同様に呼称表示と記号表示が用いられる。
多くの物理量の単位は組立単位となるので
基本単位を記号表示し、組立単位をm/sのように数式表示すると見易く、
数式と同じように単位の計算ができるので都合も良い。
この理由から単位は通常、記号表示する。
