2016年8月16日 (火) 16:59時点における版

音と音波

音波とは、狭い意味では、空気の粗密の振動が伝わっていく縦波である。
広義には、気体、液体、固体の中を伝わる縦波（粗密波）を音波という。
音波は波なので、反射、屈折、回折、干渉など、波に共通する特有の性質をもつ。
そのため、「4.1　波の性質」で述べたことは、すべて成立する。

音波の伝わり方

音波の速さ

乾燥した空気をつたわる音波の速さ　$V$　は
空気温度 t℃　が高くなると早くなり、
$V=331.3+0.6 t \qquad \qquad (1)$
で表せる(注参照）。
液体や固体中の音波の速さは、空気中よりずっと大きい。
音速の測定や理論研究の歴史、種々の媒質中の音速については、

ウィキペディア(音速)

を参照のこと。

(注)　空気は静止していると仮定している。
一定速度で動く空気中では、
その空気に対する音の相対速度が、式（１）で表される。

音の3要素

音の3要素とは次の3つである。

（１）音の高さ；
振動数の高い音ほど、高音に聞こえる。
１オクターブ高い音とは、振動数が2倍になることをいう。
ちなみに、人間の耳に聞こえる音は、振動数が20Ｈｚから2万Ｈｚの音である。
可聴音という。
（２）音の強さ；
音には強く聞こえる音と弱く聞こえる音がある。
音の強弱は、媒質の密度、波の振幅と振動数によって決まる。
媒質密度と振動数が同じならば、振幅の大きな音ほど強く聞こえる。
（３）音色；
発音体が違うと振動数と強さが同じ音でも、音の感じが違う。
これを音色あるいは、ねいろという。
波の多くは、波形が正弦関数で表せないので、
振動数や振幅が同じでも、波形が異なるため音色が異なる。

音の性質

以下の（１）から（７）までの音の性質については、

[[wikibooks_ja:高等学校理科物理I 波/音波と振動|高等学校理科物理I 波/音波と振]動]で学んでください。

以下には、簡単に要点を補足をします。
この節では、座標系を考えるときは、空気が静止してみえる慣性座標系を用いる。

（１）音のうなり
振動数（または周波数）がわずかに異なる2つの音波（波）が干渉して、
振動数が中間とみなせる、
振幅がゆっくり周期的に変わる合成波を生ずる現象を言う。

ウィキペディア(うなり)

（２）発音体の振動（その１）。弦の固有振動
張った弦をこすったり、はじいて振動させると、波が起き、両側に進行し、固定端で反射する。
反射波と進行波は重なり合って合成波である定常波ができる（注参照）。
弦の両端は固定され振動しないので、定常波の節になる。

この定常波の振動を、弦の固有振動、その振動数を固有振動数という。
（２－１）定常波の波長
両端の変位が零であることから、定常波動の波長　$\lambda$　と弦の長さ　$l$　の間には次の関係が成立つことが分かる。
$l=\frac{\lambda}{2}n,\quad (n=1.2,3,,,)$　変形すると
$\lambda=\frac{2l}{n},\quad (n=1.2,3,,,)$
ここで、ｎは定常波の腹の数。
上の式から、$\lambda$　は　ｎ　の関数であることがわかるので、$\lambda_n$ とかく。
すると
$\lambda_n=\frac{2l}{n},\quad (n=1.2,3,,,) \qquad \qquad (2)$
腹の数が１の固有振動を基本振動(１倍振動)、$n \geq 2$の固有振動を、ｎ倍振動と呼ぶ。

ファイル:GENPHY00010402-01.pdf

進行波の速さをＶとし、ｎ倍振動数を $f_n$　、その波長を$\lambda_n$　とかくと、 $V=f_n \lambda_n$　
$f_n =\frac{V}{2l}n \quad (n=1.2,3,,,) \qquad \qquad (3)$
が成立つ。

(注）「1.4.6.3 定常波と進行波」を参照のこと。

（２－２）弦を伝わる波の速さ
未完
（３）発音体の振動（その２）。気柱の振動
管の中の柱状の空気のことを気柱という。
管中の波は、その両端で反射し、元の波と反射波は重ねあって合成波をつくる。
この合成波は定常波になる。
その波長や周波数（振動数）は、ある固有の値しか取れない。
これらについて学ぶ。
波の変位量としてなにを用いているかで、同じ端でも自由端にも固定端にもなるので注意してくださ

い。
ウィキブックス(高等学校理科物理I 波/音波と振動 1.3 気柱の振動)
$\quad $（3.1）気柱の固有振動
$\quad $（3.2）　閉管の場合
$\qquad $　閉管とは、一方が閉じ他端が開放されている音響管のこと。
$\qquad $ この管の定常波は、片方の端が腹で他端が節になる。
$\quad$（3.3）　開管の場合
$\qquad$　開管とは、両端とも開放された音響管のこと。
$\qquad$　波を空気の位置の振動とみると、両端は自由端であり、
$\qquad$　この管の定常波は、両方とも腹になる。
$\qquad$　波を粗密の振動とみると、両端は固定端であり、
$\qquad$　この管の定常波は、両方とも節になる。
$\quad$（3.4）　開口端補正

なお、両端とも閉じた音響管を両端閉管という。管内の空気の固有振動は両端を節とする定常波の振動である。

（４）固有振動と共鳴・共振
気柱の空気の振動など、振動する系は、それぞれ固有の振動数を持つ。
これを系の固有振動という。
振動系の固有振動数と等しい振動数の力をこの系に与えると
この系は激しく振動し始める。この現象を共鳴または共振と呼ぶ。
これについては下記もご覧ください。

（５）ドップラー効果
皆さんも、日ごろ
救急車のサイレンは、近づいているときは高い音に聞こえ、通り過ぎた瞬間に
低い音にかわることに気付いているでしょう。
一般に、音源の音を、音源に対し動いている人が聞くと、元の音より高い周波数(＝振動数)や低い周波数に聞こえる。これを「ドップラー効果」という。

命題１
音速を $V_s$　とする。
音源が周波数ｆの音を出し、静止している観測者に速度　V$\gt 0$　で近づくとき、
観測者が聞く音の周波数　$\tilde{f}$　は、
$\tilde{f}=\frac{V_s}{V_s-V}f　\qquad \qquad (4)$　
である。　ここで、$V \lt V_s$　である。
音源が通り過ぎて遠ざかるようになった瞬間に、観測周波数は急減し、
$\tilde{f}=\frac{V_s}{V_s+V}f　\qquad \qquad (4')$　

証明　
音源から時刻　t=０　から一秒間だけ音を出すとする。
時刻０での、音源と観測者との距離を　$L$　とすると、
この音が観測される時刻は　$t_1=\frac{L}{V_s}$
最後(t=1)の音は、音源と観測者の距離が　$L-V$　のとき発せられるので、
観測される時刻は　$t_2=1+\frac{L-V}{V_s}$　
この間にf回の振動が観測されるので、一秒間あたりの振動数（周波数）は
$\frac{f}{t_2-t_1}=\frac{V_s}{V_s-V}f$

命題２
静止音源が周波数ｆの音を出している。
観測者が速さ　V($\gt 0$)　で音源に近づいているときに聞くこの音の周波数 $\tilde{f}$ は、
$\tilde{f}=\frac{V_s+V}{V_s}f　\qquad \qquad (5)$
ここで、　$V_s$　は、音速である。
観測者が音源を通り過ぎた瞬間に、観測音の周波数は急減し、 $\tilde{f}=\frac{V_s-V}{V_s}f　\qquad \qquad (5')$
に変わる。

証明
音源から一秒間(時刻0から、時刻１まで)だけ周波数ｆの音を出すとする。
このときの観測者と音源の距離を　L　とおく。
すると、速さVで音源に近づく観測者が、
$\quad $ 最初の音を聞く時間　$t_1$　は、
$\qquad $ $L-Vt_1=V_s t_1$
$\quad $ 最後の音を聞く時間　$t_2$　は、
$\qquad $ $L-Vt_2=V_s (t_2-1)$
これら2式から、
$t_2-t_1=\frac{V_s}{V_s+V}$ この間に、音はf回　振動しているので、一秒当たりの振動の回数(周波数、振動数)は、
$\tilde{f}=\frac{V_s+V}{V_s}f$
同様に考えると、観測者が音源を通り過ぎた瞬間からは、音源から　速さ　V　で遠ざかるため、 $\tilde{f}=\frac{V_s-V}{V_s}f$
が、得られる。

次に、一つの直線上を、音源と観測者がともに等速度で運動している場合の
ドップラー効果について考察する。
色々なケースを統一的に扱うため、空気が静止して見える一次元の慣性座標系を用いる。

命題３
x軸上を、音源は速度　$v$　で等速運動しながら周波数(振動数)　$f$　の音を出す。観測者はx軸上を速度　$u $　で等速運動している。
（１）観測者が音源の負側にいる場合
観測者は、
$\tilde{f}=\frac{V_s+u}{V_s+v}f \qquad \qquad (6)$
の周波数の音を聞く。ここで、　$V_s$　は音速である。
（２）観測者が音源の正側にいる場合
観測者は、
$\tilde{f}=\frac{V_s-u}{V_s-v}f\qquad \qquad (6')$
の周波数の音を聞く。ここで、　$V_s$　は音速である。

証明
(1)の場合（図参照）

ファイル:GENPHY00010402-02.pdf

音源が時刻　$t \in [0,1]$　の間だけ、周波数ｆの音を出すと仮定する。
時刻　t=0　における観測者と音源の距離を　L　とおく。
すると、観測者が最初の音を聞く時刻　$t_1$　は
$L-ut_1=V_st_1$
を満たす。
時刻ｔ＝１のときの、観測者と音源の距離は　$L-u+v$ なので
観測者が最後の音を聞く時刻　$t_2$　は、
$L-u+v-u(t_2-1)=V_s(t_2-1)$
を満たす。
これら2式から
$t_2-t_1=\frac{V_s+v}{V_s+u}$
この間に、観測者の聞く音は、f回振動しているので、
一秒間あたりの振動の回数(周波数あるいは振動数)は
$\tilde{f}=f \div (t_2-t_1)=\frac{V_s+u}{V_s+v}f$

(2)　観測者が音源の正側にいる場合
同様にして証明できるので省略。
証明終わり

（注）この命題から、観測者が音源とすれ違うか追い越すと、その瞬間に観測周波数は急変することが分かる。

最後に、超音波による血流速度の測定に応用される命題を説明する。

命題４
周波数fの音を出している固定音源に、観測者がいて、
速さ　ｖ　で近づく板からの反射音を観測すると、周波数は
$\tilde{f}=\frac{V_s+v}{V_s-v}f=(1+\frac{2v}{V_s-v})f$

証明
記述を簡単にするため、音源は、時刻０から一秒間だけ音を出すとする。
時刻ｔ＝０　の、音源と板との距離を　L　とおくと、
時刻　ｔ　における音源と板との距離は　$L(t)=L-vt$　で表せる。
（１）最初(t=0)にだした音の反射音が聞こえる時刻　$t_1$
最初の音が出たときの音源と板との距離は　$L(0)=L$
最初の音が板に届く時刻を　$t^{1}_{1}$　とする。
この間、音は　$V_{s}t^{1}_{1}$　だけ進み、板は　音源方向に　$vt^{1}_{1}$　だけ近づくので、
$\quad V_{s}t^{1}_{1}+vt^{1}_{1}=L(0)$
故に、　$t^{1}_{1}=\frac{L(0)}{V_{s}+v} \qquad \qquad (7)$
この時刻に最初の音の反響音が発生する。
このときの反響音源と観測者の距離は、$L(t^{1}_{1})$　なので、
観測者に到達するまでに要する時間は　$\frac{L(t^{1}_{1})}{V_s}$
故に、
$t_1=t^{1}_{1}+\frac{L(t^{1}_{1})}{V_s}\qquad \qquad (8)$
（2）最後(t=1)にだした音の反射音が聞こえる時刻　$t_2$
最後(t=1)の音が出たときの音源と板との距離は　$L(1)$　。　
最後の音が板に届く時刻を　$t^{2}_{1}$　とする。
この間、音は　$V_{s}(t^{2}_{1}-1)$　だけ進み、板は　音源方向に　$v(t^{2}_{1}-1)$　だけ近づくので、
$\quad V_{s}(t^{2}_{1}-1)+v(t^{2}_{1}-1)=L(1)$
故に、　$t^{2}_{1}=\frac{L(1)+V_s+v}{V_{s}+v}= \frac{L(0)+V_s}{V_{s}+v}\qquad \qquad (9)$
この時刻に最初の音の反響音が発生する。
このときの反響音源と観測者の距離は、$L(t^{2}_{1})$
なので、観測者に到達するまでに要する時間は　$\frac{L(t^{2}_{1})}{V_s}$
故に、
$t_2=t^{2}_{1}+\frac{L(t^{2}_{1})}{V_s}\qquad \qquad (10)$
(3)観測者の聞く反響音の周波数
最初の音の反響音から、最後の音の反響音までの時間は,式(8)、(10)から
$T:=t_2-t_1=t^{2}_{1}-t^{1}_{1}+\frac{1}{V_s}(L(t^{2}_{1})-L(t^{1}_{1}))$
$=(t_2-t_1)(1-\frac{v}{V_s})=\frac{V_s-v}{V_s+v}$
この間にf回の振動があるので、周波数は
$\tilde{f}=\frac{f}{T}=\frac{V_s+v}{V_s-v}f$

命題５（命題4の一般化)
原点にある静止音源Oが、周波数　ｆ　で同位相の音を四方に出している。
この音源を通る　x　軸上を,
観測者　$P_1$　と反射板　$P_2$　がそれぞれ等速　$v_1$、$v_2$　で運動している。
前者の時刻　ｔ　の位置を　$L_1(t)=L_{1,0}+v_{1}t$　と表わし、
後者の時刻　ｔ　位置を　$L_2(t)=L_{2,0}+v_{2}t$　　と表す。
但し,考察時間[0,T]中は、　$0 \lt L_1(t) \lt L_2(t)$　と仮定し、
音速は　$V_s$　とする。　
このとき、観測者　$P_1$　が聞く、
反射板　$P_2$　による反射音の周波数は、
$\tilde{f}=\frac{V_s+v_1}{V_s+v_2}\frac{V_s-v_2}{V_s}f$

証明；
記述を簡単にするため、音源は時刻０から一秒間だけ音を出すと仮定する。
この音が反射板で反射し、観測者に聞こえる時間区間
　$[t^{0}_{P_1},t^{1}_{P_1}]$　を求めよう。
(1) t=0　に音源から出た音が反射して観測者に届く時間t=1　に音源から出た音が反射して観測者に届く時間まず、最初(t=0)の音が反射板で反射する時刻　$t^{0}_{P_2}$　を求めよう。
音は　x　軸の正方向にも速度　$V_s$　で進むので、時刻　$t^{0}_{P_2}$　には、
座標　$V_{s}t^{0}_{P_2}$　の点に達する。
時刻　$t^{0}_{P_2}$　における反射板の位置は、　$L_2(t^{0}_{P_2})=L_{2,0}+v_{2}t^{0}_{P_2}$　なので、
$V_{s}t^{0}_{P_2}=L_{2,0}+v_{2}t^{0}_{P_2}$　
これより、$t^{0}_{P_2}=\frac{L_{2,0}}{V_s-v_2} $
ここで反射した音は、ｘ軸　の負方向に　$V_s$　の速さで進む。
他方、観測者は　ｘ軸　の正方向に、速さ　$v_1$　で進むので
両者は　$V_s+v_1$ の速さで近づく。
そこで、音が反射後、観測者に届くまでにかかる時間は、
$\frac{L_2(t^{0}_{P_2})-L_1(t^{0}_{P_2})}{V_s+v_1}$
$=\frac{(L_{2,0}-L_{1,0})+(v_2-v_1)t^{0}_{P_2}}{V_s+v_1}$
故に、
$t^{0}_{P_1}=t^{0}_{P_2}+\frac{(L_{2,0}-L_{1,0})+(v_2-v_1)t^{0}_{P_2}}{V_s+v_1}$
$=\frac{L_{2,0}-L_{1,0}}{V_s+v_1}+(1+\frac{v_2-v_1}{V_s+v_1})t^{0}_{P_2}$
$=\frac{L_{2,0}-L_{1,0}}{V_s+v_1}+\frac{V_S+v_2}{V_s+v_1}t^{0}_{P_2}\qquad \qquad (a)$
(2)t=1　に音源から出た音が反射して観測者に届く時刻　$t^{0}_{P_2}$　を求めよう。

（７）音の干渉
音も波なので、波の重ね合わせの原理が成立つ。
そのため一般の波でおこる干渉も起こる。

@@ 229 行: / 229 行: @@
 $\tilde{f}=\frac{f}{T}=\frac{V_s+v}{V_s-v}f$<br/><br/>
-命題５（命題4の一般化)
+命題５（命題4の一般化)<br/>
-原点にある静止音源Oが、周波数　ｆ　で同位相の音を四方に出している。
+原点にある静止音源Oが、周波数　ｆ　で同位相の音を四方に出している。<br/>
-この音源を通る　x　軸上を観測者　$P_1$　と反射板　$P_2$　がそれぞれ等速　$v_1$、$v_2$　で運動している。
+この音源を通る　x　軸上を,<br/>
-前者の時刻　ｔ　の位置を　$L_1(t)=L_{1,0}+v_{1}t$　と表わし、
+観測者　$P_1$　と反射板　$P_2$　がそれぞれ等速　$v_1$、$v_2$　で運動している。<br/>
-後者の時刻　ｔ　位置を　$L_2(t)=L_{2,0}+v_{2}t$　$　と表す。
+前者の時刻　ｔ　の位置を　$L_1(t)=L_{1,0}+v_{1}t$　と表わし、<br/>
-但し,考察時間[0,T]中は、　$0 \lt L_1(t) \lt L_2(t)$　と仮定し、音速は　$V_s$　とする。
+後者の時刻　ｔ　位置を　$L_2(t)=L_{2,0}+v_{2}t$　　と表す。<br/>
-このとき、観測者　$P_1$　が聞く、反射板　$P_2$　による反射音の周波数は、
+但し,考察時間[0,T]中は、　$0 \lt L_1(t) \lt L_2(t)$　と仮定し、<br/>
-$\tilde{f}=\frac{V_s+v_1}{V_s+v_2}\frac{V_s-v_2}{V_s}f$
+音速は　$V_s$　とする。　<br/>
+このとき、観測者　$P_1$　が聞く、<br/>
+反射板　$P_2$　による反射音の周波数は、<br/>
+$\tilde{f}=\frac{V_s+v_1}{V_s+v_2}\frac{V_s-v_2}{V_s}f$<br/><br/>
+証明；<br/>
+記述を簡単にするため、音源は時刻０から一秒間だけ音を出すと仮定する。<br/>
+この音が反射板で反射し、観測者に聞こえる時間区間<br/>
+　$[t^{0}_{P_1},t^{1}_{P_1}]$　を求めよう。<br/>
+(1) t=0　に音源から出た音が反射して観測者に届く時間t=1　に音源から出た音が反射して観測者に届く時間
+まず、最初(t=0)の音が反射板で反射する時刻　$t^{0}_{P_2}$　を求めよう。<br/>
+音は　x　軸の正方向にも速度　$V_s$　で進むので、時刻　$t^{0}_{P_2}$　には、<br/>座標　$V_{s}t^{0}_{P_2}$　の点に達する。<br/>
+時刻　$t^{0}_{P_2}$　における反射板の位置は、　$L_2(t^{0}_{P_2})=L_{2,0}+v_{2}t^{0}_{P_2}$　なので、<br/>
+$V_{s}t^{0}_{P_2}=L_{2,0}+v_{2}t^{0}_{P_2}$　<br/>
+これより、$t^{0}_{P_2}=\frac{L_{2,0}}{V_s-v_2} $<br/>
+ここで反射した音は、ｘ軸　の負方向に　$V_s$　の速さで進む。<br/>
+他方、観測者は　ｘ軸　の正方向に、速さ　$v_1$　で進むので<br/>
+両者は　$V_s+v_1$ の速さで近づく。<br/>
+そこで、音が反射後、観測者に届くまでにかかる時間は、<br/>
+$\frac{L_2(t^{0}_{P_2})-L_1(t^{0}_{P_2})}{V_s+v_1}$<br/>
+$=\frac{(L_{2,0}-L_{1,0})+(v_2-v_1)t^{0}_{P_2}}{V_s+v_1}$<br/>
+故に、<br/>
+$t^{0}_{P_1}=t^{0}_{P_2}+\frac{(L_{2,0}-L_{1,0})+(v_2-v_1)t^{0}_{P_2}}{V_s+v_1}$<br/>
+$=\frac{L_{2,0}-L_{1,0}}{V_s+v_1}+(1+\frac{v_2-v_1}{V_s+v_1})t^{0}_{P_2}$<br/>
+$=\frac{L_{2,0}-L_{1,0}}{V_s+v_1}+\frac{V_S+v_2}{V_s+v_1}t^{0}_{P_2}\qquad \qquad (a)$<br/>
+(2)t=1　に音源から出た音が反射して観測者に届く時刻　$t^{0}_{P_2}$　を求めよう。<br/>
 '''（７）音の干渉'''<br/>
 音も波なので、波の重ね合わせの原理が成立つ。<br/>
 そのため一般の波でおこる干渉も起こる。<br/>

物理/音と音波

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