物理/運動量と力学的エネルギー保存則

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物理＞５章　力学(4) 運動量と力学的エネルギー保存則

質点や質点の集まりの運動を調べるときに有用な各種の保存法則が、運動の法則から導かれます。導出の仕方が理解できると、力学への理解が深まります。下記の記事以外にも、導出法をインターネット検索して調べ、よく考えましょう。

1 運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse)
2 運動量保存則(conservation of linear momentum )
3 運動エネルギー(kinetic energy)
4 保存力と位置エネルギーおよび力学的エネルギー保存則
- 4.1 保存力と位置エネルギーあるいはポテンシャルエネルギー
  - 4.1.1 　保存力の十分条件　
  - 4.1.2 　ポテンシャルから力を求める方法　
- 4.2 力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則(kinetic energy and conservation of kinetic energy )
5 保存則の応用
- 5.1 2質点の衝突
6 力学に必要な物理量（時間、距離、速度、加速度、質量、力）の単位と単位変換
7 CAIテスト

運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse)

運動の第２法則の両辺を時間に関して積分すると、質点への力積（力を時間で積分したもの）は質点の運動量の変化に等しいことが分かります。

ウィキブックス（高等学校理科物理Ⅱ）の1.1.2 運動量と力積

上記の本は一つの質点の運動量の定義と力積と運動量の変化について説明していますが、ｎ個の質点を持つ質点系の運動量は、各質点の運動量の和で定義します。この場合にも質点系への力積は質点系の運動量の変化に等しいことが、運動の第２法則から導けます。

運動量保存則(conservation of linear momentum )

質点（系）への外力が零ならば、力積は零なので、運動量と力積の関係から、運動量の変化はなく、保存されることが分かります。

ウィキペディア（運動量保存の法則）

運動エネルギー(kinetic energy)

運動エネルギーを学ぶ前にエネルギーと仕事について理解しましょう。

エネルギーとは何か

ウィキペディア（エネルギー）

仕事とは何か

ウィキペディア（仕事）の力学での仕事の項

仕事の量の求め方

力、 $\vec{F}$ が一定で物体が直線的に P から Q に変位するときは前記の説明から力のなした仕事 W は、内積 $\cdot$ を用いて、 $W=\vec{F}\cdot\vec{PQ}$ 　で表せることが分かる。内積については

ウィキブックス（高等学校数学B ベクトル）の1.1.6～ 1.1.8を参照のこと。

力を受けた時の物体の運動は直線とは限らないが、運動の軌跡を細かく区切って眺めると、線分に近いので、今後物体の変位は、線分をつなぎ合わせたものと考える。すると各線分毎に仕事を計算しそれをたせば、全体の仕事量を求めることができる。

運動エネルギー

この説明をよんで、何故 $\frac{1}{2}mv^2$ が運動エネルギーと定義されたのかを考えて理解しましょう。

仕事エネルギー定理（work-energy theorem)

物体に力 F を作用して P 点から Q 点に動かした時の運動エネルギーの変化量 $\frac{1}{2}mV(Q)^2 - \frac{1}{2}mV(P)^2$ は、その物体に加えられた仕事量 W (=F・PQ)に等しいことを主張する定理です。運動の第２法則の両辺を、この物体の軌道 PQ にそって積分すると得られます。

ウィキブックス（高等学校理科物理Ⅰ運動とエネルギー）の運動エネルギーと位置エネルギー
ウィキペディア（Kinetic_energy） in English

保存力と位置エネルギーおよび力学的エネルギー保存則

保存力と位置エネルギーあるいはポテンシャルエネルギー

物体に力 $\vec{F}$ が作用しているとする。この力で物体を P 点から Q 点に動かす時、この力の行う仕事が移動経路に関係なく２点の位置だけで決まる時、この力を保存力(conservative force ) と言い、
この仕事の量を、Q 点を基準とした P 点でのこの物体の位置エネルギー（あるいはポテンシャルエネルギー　potential energy)と言う。

保存力は次のように言いかえることができる。物体にかかる力 $\vec{F}$ 　に逆らって、力 $-\vec{F}+\delta$ を加えて、物体をQ 点から P 点に動かす時、この力 $-\vec{F}$ の行う仕事が移動経路に関係なく２点の位置だけで決まる時、力 $\vec{F}$ を保存力という。ここで力 $-\vec{F}$ は、物体に作用する力 $\vec{F}$ とつり合いをとるための力であり、力　 $\delta$ は、力がつりあって静止する物体を、移動経路に沿って、無限にゆっくりと動かすのに必要な、無限に小さい力である。このため $\delta$ のなす仕事は零とみなせる。

を参照のこと。

　保存力の十分条件　

質点Ａが質点Ｂに力　 $\vec{F_{A}(B)}$ を及ぼしているとする。
その力の方向が２質点を結ぶ直線方向の引力あるいは斥力で、大きさが２点間の距離で決まると仮定する。この仮定を数式で書こう。質点Ａ，Ｂの位置ベクトルを　 $\vec{P_{A}}, \vec{P_{B}}$ 　と表すと、 $\vec{F_{A}(B)} =f(||\vec{P_{B}}- \vec{P_{A}} ||) \times (\vec{P_{B}}-\vec{P_{A}})/||\vec{P_{B}}- \vec{P_{A}} ||$ 。ここで $f$ 　は任意の関数。
この時、この力 $\vec{F_{A}(B)}$ は保存力になる。
証明。質点BをＰ点から、経路Ｃに沿って、Ｑ点まで動かすときの仕事が、経路Ｃに無関係であることを示せばよい。簡単にするため、質点Ａと経路Ｃは同一平面に含まれると仮定し、この平面上で議論する。
経路Ｃを質点Ａを中心とする円弧の一部と質点Ａに向かう線分を交互につなぐ線で、つぎのように、近似する。　
ⅰ）Ｐ点からＱ点まで向かう経路Ｃの長さをｎ等分する点を $P_0=P,P_1,\ldots,P_n=Q$ とする。　
ⅱ）質点Ａを中心とし、 $P_0$ を通る円と、質点Ａと $P_1$ 　を結ぶ直線の交点を $P_{0}'$ とし、経路Ｃの $P_0$ と $P_1$ の間を、この円の弧 $(P_0,P_{0}')$ と線分 $[P{0}',P_1 ]$ で近似する。
ⅲ）経路Ｃの $P_1$ と $P_2$ の間も同様に、質点Ａを中心とする円弧 $(P_1,P_{1}')$ と線分 $[P_{1}',P_2 ]$ で近似する。 ⅳ）以下同様にして、経路Ｃの $P_{n-1}$ と $P_{n}=Q$ の間を、質点Ａを中心とする円弧 $(P_{n-1},P_{n-1}')$ と線分 $[P_{n-1}',P_n]$ で近似する。

等分数nを大きくすると、この近似経路にそって移動する時の力のなす仕事は、経路Ｃに沿った移動の仕事と殆ど同じになり、 $\lim_{n \to \infty}$ のとき一致する。
近似経路のうち質点Ａを中心とする円弧を動く時の力のなす仕事は、零となる（力の方向が２質点を結ぶ直線方向の引力あるいは斥力なので、移動経路と常に直交するから）。
次に、近似経路のうち、質点Ａを通る直線上を動く経路の仕事を計算しよう。

線分 $[P_{i-1}',P_i ],i=1,2,,,n$ という経路を、質点ＡとＰ点を結ぶ直線 $l$ に含まれる線分に、次のように移し替える。
ⅰ）質点Ａを中心とし点 $P_i$ を通る円と直線 $l$ との交点を $P_{i}'',i=1,2,,,n$ とおき、 $P_{0}''=P$ とおく。 ⅱ）線分 $[P_{i-1}',P_i ],i=1,2,,,n$ を直線 $l$ 上の線分 $[P_{i-1}'',P_{i}'' ],i=1,2,,,n$ でおきかえる。
すると力に関する仮定から、線分 $[P_{i-1}',P_i ]$ での移動にさいして力のなす仕事は、線分 $[P_{i-1}'',P_{i}'' ]$ での移動のとき力のなす仕事に等しい。
従って任意の経路Ｃにそって移動するときに力のなす仕事は、常に、線分 $[P,P_{n}'' ]$ にそって移動するとき、力のなす仕事に等しい。（証明終わり）

問：質点Ａを固定する。この質点が他の質点に及ぼす重力は保存力であることを確かめてください。

　ポテンシャルから力を求める方法　

保存力 $\vec{F}$ （未知）の、ある基準点Ｑから見たポテンシャルエネルギー $\phi$ が既知の時、 $\vec{F}$ を、 $\phi$ から求めることができる。
Ｑ点を原点とする直交座標系を1つ固定する。この力で、質点を位置ベクトル $\vec{r}$ の点から、位置ベクトル $\vec{r}+(\Delta_{x},0,0)$ の点まで動かす時（ $\Delta_{x}$ は微小にとる。するとこの間の力は一定値 $\vec{F}(r)$ で近似できる）、力のする仕事は、ほぼ　 $\vec{F}_{x}(\vec{r})\Delta_{x}$ である。すると、 $\phi(\vec r)+\vec{F}_{x}(\vec{r})\Delta_{x}$ は、質点を原点から位置ベクトル $\vec{r}$ の点まで動かし、引き続いて位置ベクトル $\vec{r}+(\Delta_{x},0,0)$ の点まで動かす時の、力のなす仕事になるので、保存力であることから、 $\phi(\vec r+(\Delta_{x},0,0))$ 　にほぼ等しい。従って $\phi(\vec r+(\Delta_{x},0,0))\simeq \phi(\vec r)+\vec{F}_{x}(\vec{r})\Delta_{x}$
故に　 $\lim_{\Delta_{x} \to \0}\frac{\phi(\vec r+(\Delta_{x},0,0))-\phi(\vec r)}{\Delta_{x}}=\vec{F}_{x}(\vec{r})$ ；力のｘ成分。
同様にして
$\lim_{\Delta_{y} \to \0}\frac{\phi(\vec r+(0,\Delta_{y},0))-\phi(\vec r)}{\Delta_{y}}=\vec{F}_{y}(\vec{r})$ ；力のｙ成分。
$\lim_{\Delta_{z} \to \0}\frac{\phi(\vec r+(0,0,\Delta_{z}))-\phi(\vec r)}{\Delta_{z}}=\vec{F}_{z}(\vec{r})$ ；力のｚ成分。

力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則(kinetic energy and conservation of kinetic energy )

力学的エネルギーは

を見てください。
仕事エネルギー定理の仕事量W（＝ $\vec{F}\cdot\vec{PQ}$ 　。　ここで $\vec{PQ}$ 　は変位ベクトル）をきめる力 $\vec{F}$ が保存力 $\vec{Fc}$ と外力 $\vec{Fo}$ の和からなるとき、
$W=\vec{Fc+Fo}\cdot\vec{PQ}=\vec{Fc}\cdot\vec{PQ} +\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$ ＝Pのポテンシャルエネルギー(U(P)－U(Q))＋ $\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$ となる。
一方仕事エネルギー定理から、 $W=\frac{1}{2}m{V(Q)}^2-\frac{1}{2}m{V(P)}^2$ なので、この両式から、
$$\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)$-$ \frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)$=\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$ が得られる。
もし保存力以外の力 $\vec{Fo}$ 　が零ならば、 $\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)=\frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)$ （力学エネルギー保存則）が得られる。
もっと知りたい方は次をどうぞ。