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目次 [非表示] 1 「　5.1　静電気と静電場（その１）」 1.1 電磁気現象の根源 1.2 古典電磁気学の前提について 1.3 静電気 1.3.1 帯電と電気素量 1.3.1.1 点電荷 1.3.1.2 電子の電荷、質量　 1.3.1.3 陽子の電荷、質量、大きさ　 1.3.1.4 電荷保存の法則 1.3.2 クーロンの法則 1.3.2.1 　法則の適用可能な距離 1.3.2.2 　クーロンの法則のベクトル表示 1.3.2.3 　クーロン力の重ね合わせの原理 1.3.2.4 電気力は重力よりはるかに大きいこと 1.3.2.5 運動する2つの電荷の間に働く力 1.3.3 電場（あるいは電界） 1.3.3.1 遠隔作用と近接作用 1.3.3.2 電場の定義 1.3.3.3 静止した点電荷の作る電場　 1.3.3.3.1 電場の重ね合わせの原理 1.3.3.3.2 電場の単位 1.3.3.4 電気力線とガウスの法則 1.3.3.4.1 電気力線とは　　 1.3.3.4.2 電気力線の本数と密度 1.3.3.4.3 ガウスの法則について 1.3.3.4.3.1 ガウスの法則 1.3.3.4.4 ガウスの法則の応用 1.3.3.5 　静電場のエネルギー 1.3.3.6 ☆☆自己力の問題RT　 1.3.4 電位と電圧 1.3.4.1 クーロン力は保存力で静電場は保存力場 1.3.4.2 　電位 1.3.4.3 　2点間の電圧 1.3.4.3.1 電位・電圧の単位 1.3.4.4 電場と直交する曲線上では等電位 1.3.4.5 点電荷のつくる電場の電位 1.3.4.6 電位の重ね合わせの原理 1.3.4.7 　電気双極子　 1.3.4.7.1 　遠方に作る電位と双極子モーメント　 1.3.4.8 等電位面 1.3.5 　電荷量ｑの電荷の位置エネルギー（ポテンシャル・エネルギー）

「　5.1　静電気と静電場（その１）」

電磁気現象の根源

物質をつくっている原子は、いくつかの陽子と中性子が固く結合した原子核とその周りにある電子から出来ている。
原子核を作る陽子は正の電荷＋eをもち、
中性子は電荷をもたない。
電子は、陽子と逆符号の電荷－eを持つ（注１)。
この陽子と電子の電荷が電気の実体である。
電荷の量を電荷量あるいは略して電荷という。
電荷の間には電気力が働く。同符号の電荷は互いに反発し、異符号の電荷は互いに引き合う（注２）。　　
電子の個数は陽子と同数であり、原子を巨視的な意味で離れて眺めると、
正負の電荷が打ち消しあって電荷をもたない粒子に見える。

原子核と電子は引き合い、原子を作っている。
また近くの原子同士も電気力で引き合い分子をつくり（注３）、気体や液体、固体をつくる。

帯電、静電気、磁石、電流、電磁波など、すべての電磁気現象は、電子と陽子の存在と運動によって生じる。　
この章でこれらの電磁気現象とその法則について学ぶ。　　　　
（注１）電荷の正負について：
陽子どうし、電子どうしは反発するが、陽子と電子は引き合う。従って陽子と電子はことなった電荷である。
さらに陽子と電子の個数が同じだと離れた所からみると、電荷がない粒子として振る舞う。
このため一方の電荷に+、他方にーをつけて和を取ると電荷が０になるようにする。
どちらにーをあててもよかったが歴史的に電子にーをあてた。
なお、原子核のなかで電気的に反発する複数の陽子がくっついているのは、
反発力より強い核力で引き合っているため（次章で簡単に説明する）。
(注２)：電子は質量がはるかに大きい原子核に引き寄せられていくが、
ごく近くまでくると量子力学的な斥力を受け、それ以上は近づけない。
次章で簡単に説明する。
(注３)；原子同士が引き合い分子をつくるメカニズムについては次章で簡単に紹介する。

古典電磁気学の前提について

原子のことが良く分かっていない時代に作られ古典電磁気学では、
各点のまわりに、原子よりはるかに大きいが物体からみれば一点とみなせる極小領域を考え、
この微小領域での平均的な電荷や電場を測定し、
それをその点の電荷や電場と考えて理論が作られた。
このような巨視的な見方に立つと、
物質中には正の電荷と負の電荷が重なり合って、
（液体のように）連続して分布しているとみなせる。
帯電していない（中性の）物体は、正負の電荷の密度が同じで、打ち消し合っているとみなせる。
このように古典電磁気学はミクロ現象を平均化して滑らかな現象ととらえ、
観測と実験をもとに理論を構築したものであり、
原始的なスケールの現象に適用すると誤った結論を導き出すこともあるが、
巨視的な現象については、正確で有効な理論になっている。

静電気

この節では、電荷の位置が時間とともに変化しない時（静止した電荷）の電気現象,いわゆる静電気について学ぶ。

帯電と電気素量

原子は通常、同数の陽子と電子から構成され、陽子の電荷量はe、電子の電荷量は-eなので、
離れた所から観測すれば、正と負の電荷の影響が打ち消しあって,電荷をもたない粒子として振る舞う。
このため原子からできている物質は、通常は電荷を持たない。
物質が他の物質との摩擦などにより電子をいくつか失ったり、獲得すると、物質は電気を帯びる。
帯電するという。
このため全ての物質の電荷量は e の整数倍になる。e を電気素量あるいは素電荷という。

点電荷

巨視的な観測では一点とみなせる微小な電荷を点電荷という。
力学で質点が果たした役割を、電磁気学では点電荷が果たす。

電子の電荷、質量　

電荷;$\quad -e=-1.602\times 10^{-19}C]$
ここで、 [C]　は電荷の単位クーロンである。 これについては、「5.4　電流と磁場　の1.3.2 電流と電荷の単位」を参照のこと。
質量；$\quad m_e=9.11 \times 10^{-31}[kg]$
　
　 なお、電子は大きさのない電荷と考えられている。 詳しくは、

• ウィキペディア（電子）

陽子の電荷、質量、大きさ　

電荷;$\quad e=1.602\times 10^{-19}[C]$
質量；$\quad m_p=1.67 \times 10^{-27}[kg]$
荷電半径;$\quad r_p=0.88 \times 10^{-15}[m]$
詳しくは、

• ウィキペディア（陽子）

電荷保存の法則

電荷は消滅も生成もしないことが、経験によって確かめられている。これを電荷保存法則という。

• ウィキペディア（電荷保存の法則）

クーロンの法則

この節「5.1」では、以後ことわない限り電荷は全て静止（固定）しているとする。
クーロンは実験の結果次の法則を発見した。
・同符号の２つの電荷間には斥力(反発力)、異符号の電荷間には引力が働く。
・その向きは、2つの電荷を結ぶ直線の方向と一致し、
・その大きさ　$f$　は、２つの電荷の積　$q_{1} q_{2}$　に比例し、その距離　$r$　の２乗に反比例する。
$f=k\frac{q_{1} q_{2}}{r^2}\qquad \qquad (1)$
なお、真空中での比例定数は,　$k=8.988\times 10^{9}[\frac{Nm^2}{C^2}]$　である(注参照）。
これをクーロンの法則という。
空気中でもこの値は殆ど変わらないので、通常この値を用いる。

• ウィキペディア（クーロンの法則）を参照のこと。

(注）この比例定数は、物理量をSI国際単位系（距離[m],電荷[C])$\ $で表示しているときの値である。

　法則の適用可能な距離

どの位の距離までこの法則は成り立つのであろうか。
小さい方では、原子核の大きさは約　$10^{-15}m$ であるが、
その中の陽子間にはクーロンの法則が成り立つと考えられている（注参照)。
大きい方は、どこまで正確に法則がなりたつかは、はっきりしていない。 しかし、宇宙観測などからの分析から、現在の所、この法則は、この宇宙で普遍的に成り立つと考えられている。

(注)　
何故、正の電荷を持つ陽子同士が、互いに反発して飛散せず、固く結合して原子核を作っているのだろうか？ それは、次章で簡単に触れるように、陽子同士が、これよりはるかに大きい核力で引き合うからである。

　クーロンの法則のベクトル表示

向きと大きさを同時に記述できるのでベクトル表示は便利である。
電荷$q_1$の位置ベクトルを$\vec{r_1}$、電荷$q_2$のそれを$\vec{r_2}$、
電荷$q_1$が電荷$q_2$から受けるクーロン力を$\vec{F_{1,2}}$とすると　　　
$\vec{F_{1,2}}=k\frac{q_1q_2}{||\vec{r_1}-\vec{r_2}||^2}\frac{\vec{r_1}-\vec{r_2}}{||\vec{r_1}-\vec{r_2}||}$

この表現法に慣れておくとよい。ここで、$k=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ と表現することがある。
$\varepsilon_0$は真空の誘電率と呼ばれる。
$k\fallingdotseq 9.0\times 10^{9}[\frac{N m^2}{C^2}]$なので 、
$\varepsilon_0\fallingdotseq 8.9\times 10^{-12} [\frac{C^2}{N m^2}]$ である。　　　

(注）真空中の誘電率という用語について；
真空は空虚な空間なので奇異に思うかもしれないが、歴史的にこう命名された。
誘電については後述「2.5 電界中の不導体と誘電分極」で学ぶ。
クーロン則は誘電されるものが無い状態で常になりたつ。

　クーロン力の重ね合わせの原理

N(＞２)個の電荷$q_1,,,,q_N$ があるとき、$q_1$ に作用する電気力は、
$q_2,,,,q_N$　のそれぞれから$q_1$が受けるクーロン力（ベクトル表示）の和になることが
実験で確かめられている。
これを、クーロン力の重ね合わせの原理という。

電気力は重力よりはるかに大きいこと

電子や陽子など、非常に小さい（あるいは大きさのない）素粒子と呼ばれる粒子は、
その位置が確率的にしか分からないが、
ニュートン力学の質点ように、その位置が分かるとして、
陽子と電子の間に働く電気力と万有引力の大きさを比べてみよう。
以下では、両者の距離を　$r[m]$　とする。
（１）電気力
クーロンの法則の比例定数は $k=9\times 10^{9}[\frac{Nm^2}{C^2}]$、電気素量は、$e=1.6\times 10^{-19}[C]$　なので、
　 クーロンの法則から、$f_e=ke^2/r^2[N]\fallingdotseq　9\times 10^{9} \times (1.6\times10^{-19})^2/r^2 [N]\fallingdotseq 23\times 10^{-29}/r~2 [N]$

（２）万有引力
電子の質量は　$m_e\fallingdotseq 9\times 10^{-31}$、 　陽子の質量は　$m_p\fallingdotseq 1.67\times 10^{-27}$　なので
万有引力の法則から、
$f_g=Gm_em_p/r^2[N]\fallingdotseq　6.7\times 10^{-11}\times 9\times 10^{-31} \times 1.67\times10^{-27}/r^2 [N]\fallingdotseq 101\times 10^{-69}/r^2 [N]$

これらから、
$\frac{f_e}{f_g} \fallingdotseq 2.3 \times 10^{39}$

電気力が重力より桁違いに大きいことが分かる。

運動する2つの電荷の間に働く力

運動する2つの電荷の間にも力が働くが、クーロンの法則は正確には成り立たなくなる。
その力は、電荷の運動に複雑に関係するため、導出は大変難しい。
運動する電荷の作る電場を求め、電場中で動く電荷が受ける力を求める法則を用いて 導出するほうが、見通しよく、簡単である。（後述予定。ＲＴ）

電場（あるいは電界）

電荷間に作用する力を近接作用の考え方で考察して電場という重要な概念を得る。
クーロンの法則を電場の概念でいいかえると、電場にかんするガウスの法則が得られる。
電場から電位や電圧という重要な概念も得られる。
なお、電場は、工学の分野では、電界と呼ばれることが多い。

遠隔作用と近接作用

電荷の間のクーロン力はどのようにして働くのだろうか。　
遠隔作用と近接作用という二つの考え方がある。
遠隔作用では、離れた電荷が瞬時に直接互いに力を及ぼしあうと考える。
近接作用では、電荷はその周りの空間を電気的にひずませ、
それが空間全体に及んで行き、 この歪の中におかれた他の電荷は、その場所の歪から力を受けると考える。　
この空間の電気的歪を電場と呼ぶ。
電荷の大きさや場所が時間とともに変化しない電気現象(静電気)を考えるだけならば、両者は、単なる読み替えに過ぎず、同じ結論になる。
しかし、電荷量が変化したり、電荷が動く場合には、遠隔力では説明できない現象が起こる。
そこで現在、電磁現象は、近接作用の基づいて起こると考えられ、
電磁気学は、この考え方で研究され、記述されている。

(注）真空は何もない空虚な空間と考えるのではなく、電磁気的な性質を持つ空間であると考える。
これは、真空という空間の物理的性質の解明の一端となりえる認識の変革である。

電場の定義

電荷に力を及ぼす空間を電場（electric(al) field）と呼ぶ。
クーロンの法則から、静止電荷は電場を作ることが分かる。

空間の任意の点Pの電場の強さと向きは、
その点に単位量の点電荷を置いたときに作用する静電気力で定義する。　
測定するときは、単位電荷をおくと、この電荷が、空間の電場をつくっている電荷達に、力を及ぼし動かして、
単位電荷の場所Pの電場を変えてしまう恐れがあるので、
電荷量ｑが非常に小さい電荷を置いた時作用する電気力を　$\vec{f}$ とするとき、
$\vec{f}/q$ でP点での電場とする。(注参照)。

作用する電気力はベクトルで、それを電荷量というスカラーで割って定義する電場はベクトルである。
詳しくは

• ウィキペディア（電場）

（注）電子を電場計測には使用できない。
その理由は、次章で説明するように、
量子力学的な効果のため、その位置を固定できないためである。
電場の定義には、位置の確定できる電荷が必要であり、
巨視的には点とみなせるが、
原子レベルでみると、大きな電荷(点電荷という）を用いるしかない。
従って電場とは、巨視的には点とみなせる領域の平均的な値を与えるだけである。
電磁気学では、
任意の時刻ｔの空間の各点$\vec x$に、
この点の周りの巨視的には点とみなせる領域の
平均的な場の値$E(\vec x,t)$を対応させ、電気現象を研究する。

静止した点電荷の作る電場　

空間の位置$\vec{r}$の電荷$\mathit{q}$が位置$\vec{r'}$ に作る電場は、
クーロンの法則と電場の定義から、
$\vec{E_q(r')}=\frac{kq}{||\vec{r'}-\vec{r}||^2}\frac{\vec{r'}-\vec{r}}{||\vec{r'}-{r}||}\qquad \qquad (1)$
この時、$\vec{F}=\vec{E_q(r')}q'\qquad \qquad (2)$
この電場は時間変化しない（時不変）なので、静電場と明示することがある。

• ウィキペディア（電場）　の2.1 クーロンの法則を参照のこと。

(注)電場の導出；
位置$\vec{r'}$ の電荷$q'$が、電荷$q$から受ける力$\vec{F}$は、クーロンの法則から　
$\vec{F}=k\frac{qq'}{||\vec{r'}-\vec{r}||^2}\frac{\vec{r'}-\vec{r}}{||\vec{r'}-\vec{r}||}\qquad \qquad (a)$
電場の定義から、位置$\vec{r'}$ の電場$\vec{E_q(r')}$は
$\vec{E_q(r')}=\vec{F}/q'$
この式に、式(a)を代入する。

電場の重ね合わせの原理

複数個の電荷$q_1,q_2,,,q_n \quad (n\ge 2)$ が作る電場$\vec{E}$は、
クーロン力の重ね合わせの原理と電場の定義から、
それぞれの電荷$q_i$がつくる電場$\vec{E_{q_i}}$のベクトル和に等しいことが分かる。
$\vec{E}=\sum_{i=1}^{n}\vec{E_{q_i}}$
電場の重ね合わせの原理という。

電場の単位

$\vec{F}=\mathit{q}\vec{E}$、電荷$\mathit{q}$の単位はＣ（クーロン）、力$\vec{F}$の単位はN（ニュートン）なので、
電場$\vec{E}$の単位はＮ/Ｃ である。

電気力線とガウスの法則

電気力線とは　　

電場を目で見て理解できるように工夫したのが電気力線である。
電場内で正の電荷が電場から力を受けて非常にゆっくりと動く時
その軌跡(曲線)に移動方向の向きをつけた有向曲線を考え、電気力線(line of electric force)と呼ぶ。
正確には、曲線の各点における向きつき接線(注参照)の方向・向きが、
その点における電場の方向・向きと等しいような曲線(電場の包絡線）を電気力線という。
（注）向きつき曲線を、$\vec r=\vec{r}(t) \quad (t\in R)$ というベクトル式で表す。
但し、tを増加させたときの曲線の向きを曲線の向きとする。
曲線上の一点$\vec{r}_0=\vec{r}_(t_0)$における向きつき接線とは、
その点を通り、
方向・向きがその点の微係数
$\frac{d\vec r}{dt}(t_0):=\lim_{t \to t_0,t\neq t_0}\frac{\vec{r}(t)-\vec{r}(t_0)}{t-t_0}$
に等しい直線のことである。
直線のパラメータｓを、s=0の時接点$\vec{r}_0$を通るように選ぶと、
$\vec r=\vec{r}_0+\frac{d\vec r}{dt}(t_0)s$

電気力線の本数と密度

ある点Pで電場の強さが$\mathit{E}=|\vec{E}|$　であるとき、
その点の周りに電場と直交する微小な平面部分を考え、
　 そこを$1m^2$ あたり$\mathit{E}$本の電気力線が通るように描いて、電場の強さを表示する。
　 電場の強さが、負のときは向きを逆にする。
　 電場の強さが整数でなく、例えば0.1単位で変わる時に電気力線を図示するには、
一本の電気力線が0.1を表すなど工夫すればよい。

ガウスの法則について

●　Ｏ点に置かれた一つの点電荷$q$がつくる電気力線の場合；
電気力線はＯ点を始点とする外向きの半直線となる。
その密度；Ｏ点を中心とし半径$r$ [ｍ]の球面上での電場の大きさは、
$\mathit{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{1}{r^2}=\frac{kq}{r^2}$ [N/C] なので、
この球面を$1m^2$ あたり$\mathit{E}=\frac{kq}{r^2}$ 本の電気力線が、中から外に向かって貫く。
但し、$q \lt 0$ のときは、
$\frac{k|q|}{r^2}$ 本の電気力線が外から中に向かうと決める。

球面を貫く電気力線の総本数；球面の面積は$4 \pi r^2$ なので、
球面全体を貫く電気力線の総本数は$\frac{|q|}{\varepsilon_0} =4\pi k|q|$。
故に、球面の半径を変えてもこの本数は変わらないことが分かる。
大学で学ぶ少し高等な数学(注参照）を利用すると、
Ｏ点を含む任意の形状の立体の表面を貫く電気力線の総数も、
$\frac{q}{\varepsilon_0}$であることが示せる。
（注)ベクトル解析という。 興味のある方は本テキストの
☆☆ベクトル解析や、　

• ウィキペディア(ベクトル解析)

をご覧ください。
●Ｏ点を含まない任意の形状の立体の表面を貫く電気力線の総本数；
Ｏ点からの半直線である電気力線がこの面から立体の中にはいると、
必ず出ていくので、この立体に入る電気力線の本数は、出ていく本数と等しい。
前者は負の本数と取り決めると、立体を出ていく本数の合計は0本となる。
故にこの場合も、
立体の表面を貫いて出ていく電気力線の総数＝$\frac{q}{\varepsilon_0}$が成立する。
ここで$q=0$はこの立体の内部にある点電荷量。

ガウスの法則

RT点電荷の作る電場では
任意の形状の滑らかな境界を持つ立体の表面を貫く電気力線の総本数は、
その内部の電荷量をｑとすると、
$\frac{q}{\varepsilon_0} \qquad \qquad (1)$
を満たすことが分かった。
●　重ね合わせの原理をもちいると、上記の法則は次のように、一般化出来る。
電磁気学の基本法則の一つで,非常に重要な法則である。

ガウスの法則； 任意の形状の立体Ｖの表面Ｓを貫いて出ていく電気力線の総数＝$\frac{Q}{\varepsilon_0}$。
ここで、$Q$はこの立体の内部にある全電荷量。

これまでの議論から分かるように、ガウスの法則はクーロン則から導かれたのである。
● ガウスの法則は電磁気学の基本法則のひとつで、色々応用される。
理解を深めるため別の表現を記しておく。
「任意の形状の立体Ｖの表面Ｓを貫いて出ていく電気力線の総数」を、
電場$\vec E$と
Ｓの各点$\vec r$におけるＶの単位外法線$\vec n(\vec r)$（点$\vec r$に、Ｖの外部にむけて立てた長さ１の垂線）
を用いて表現しよう。
$\vec n(\vec r)$と$\vec E(\vec r)$が方向も向きも一致するときは、
面Ｓは、点$\vec r$の近くの小部分$dS(\vec r)$で、$\vec E(\vec r)$と直交するので、
ここを貫いて出ていく電気力線の本数は
E（$\vec r$)×$dS(\vec r)$の面積＝$\vec E(\vec r)$の外法線成分×$dS(\vec r)$の面積。
$\vec n(\vec r)$と$\vec E(\vec r)$が方向は一致するが向きは逆の時は、
点$\vec r$の近くの小部分$dS(\vec r)$で、$\vec E(\vec r)$と直交するが、
電気力線は、この小部分から、立体Ｖに、流れ込む。
その本数はマイナスで数え、
-E（$\vec r$)×$dS(\vec r)$の面積＝$\vec E(\vec r)$の外法線成分×$dS(\vec r)$の面積。
$\vec n(\vec r)$と$\vec E(\vec r)$ が角度 $\theta$のとき。
$\vec E(\vec r)$の、小部分$dS(\vec r)$に対する直交成分は、
$\vec E(\vec r)$の外法線成分であるので、
この部分を貫いて外部に出ていく電気力線の数は、この場合も、$\vec E(\vec r)$の外法線成分。
局面Ｓの微小部分$dS(\vec r)$を寄せ集めてＳ全体にすると、
「任意の形状の立体Ｖの表面Ｓを貫いて出ていく電気力線の総数」は、
電場$\vec E$の外法線成分のＳ全体での平均値×面Ｓの面積となる。
従ってガウスの法則は、次のように言いかえることができる。
Ｓ上の電場$\vec E$の外法線成分のＳ全体での平均値×面Ｓの面積＝$\frac{Q}{\varepsilon_0}$。
あるいは、$\varepsilon_0 \vec E$の外法線成分のＳ全体での平均値×面Ｓの面積＝$Q$。

（注）これは真空中にある電荷について成立する。
不導体である流体、気体中では、
電荷$Q$により生じる電場により
流体や気体の原子中の原子核と電子が逆向きの力を受けて位置を変え、
片側に＋、反対側に－電荷が集まる（分極するという）。
この分極電荷により新たに生じる電場が加わって、
電気力線の数がかわってしまうので、ガウスの法則は成り立たない。
しかし分極電荷も電荷にくわえれば、ガウス法則は常に成り立つ。
これについては、 5.2　静電気と静電場（その２　静電誘導）#電場中の不導体と誘電分極で学ぶ。

ガウスの法則の応用

１：面密度（単位面積あたりの電荷量）$\sigma(\gt 0)$　で、
一様に電荷が分布する無限に広い平面が周りの真空に作る電場$\vec E$　を求めよ。

ヒント　
対称性から、平面から距離ｄの点の電場は、
方向・向きはこの平面に直交し電荷平面から放射される向きで、
大きさはどの点でも等しい。

この大きさを求めるには、
荷電平面から距離d内の点からできている直方体を考える。
この直方体の表面にガウスの法則を適用する。

　

解：$\vec E$の大きさは$E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ 、
方向は極板に直交し、極板から 遠ざかる向きである。

２：帯電した平行板の作る電場
真空中に、2枚の無限に広い平板が距離ｄを隔てて平行に置かれている。
一方の平板には面密度 $+\sigma$、他方の平板には面密度$-\sigma$の電荷が一様に帯電している。
この時平板の周りに生じる電場を求めよ。

解：前記の例１と重ね合わせの原理より、
・平板間の電場は、大きさは$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$,
方向・向きは極板に直交し、正の平板から負の平板の向きであり、
・2枚の平板の間と2枚の平板内を除く空間の電場は零である
ことが分かる。

３；一様に帯電した球体のつくる電場
半径がaの一様に帯電した球体が作る電場を求めよ。
但し、電荷密度（単位体積当たりの電荷量）を$\rho$とする。

解；対称性から空間の任意の点Pでの電場の大きさEは球体の中心Oからの距離ｒ=OP だけで決まり、
電場の方向は、直線OPと同じであることが分かる。
（１）$r\leq a$　の時
中心がＯで半径rの球面にガウスの法則を適用すると,
$4\pi r^{2}E=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3 \rho}{\epsilon_0}$
これより、$E=\frac{r\rho}{3\epsilon_0}$
（２）$r\gt a$　の時
同様にして、
$4\pi r^{2}E=\frac{\frac{4}{3}\pi a^3 \rho}{\epsilon_0}$
これより、$E=\frac{a^{3}\rho}{3\epsilon_0 r^2}$

　静電場のエネルギー

☆☆自己力の問題RT　

点電荷の作る電場は、自己に力を及ぼさないのだろうか。

電位と電圧

クーロン力は保存力で静電場は保存力場

静電荷が他の静電荷に及ぼす クーロン力は、
2章 力学 4節 エネルギーと保存則(その1) の 保存力の十分条件 によれば、
保存力であることが分かる。
従って、静電荷がつくる電場は保存力場であり、
重ね合わせの原理から、多数の電荷の作る電場も保存力場。 静電場は、多数の静電荷がつくった電場と考えられるので保存力場である。

　電位

保存力は位置エネルギをもつ。
単位電荷あたりのクーロン力に関する位置エネルギーを電位という。（注1参照)
具体的には、
ある点Ｏを定め、この点の電位を零と定める。Ｏ点を電位の基準点と呼ぶ(注2参照)。
電場中の任意の点Ａの基準点Oからみた電位（electric potential）とは、
単位電荷をＯ点からＡ点に、
電場から受ける力を打ち消しながら、
（電荷の運動エネルギーが無視できるほどに)ゆっくり動かす
のに必要な仕事の量で定義する(注2参照)。
電場は保存力場なので、
Ｏ点からＡ点に動かす経路に関係なく仕事は一定なので、電位は一意に決まる。
単位電荷をＡ点からＯ点まで移動させるときに、電場からの力がする仕事を、
Ａ点の(基準点Ｏからみた)電位と定義しても、同等である。

なお、電場をつくっている周りの電荷の位置が、
単位電荷からの力で変化し電場が変わってしまう場合には、
電荷量$q$　を無限に小さくして、これをＡ点からＯ点まで移動させるときに、
電場からの力がする仕事$W_{q}$を求め、
単位電荷あたりの仕事$\frac{W_{q}}{q}$を求め、Ａ点の電位と決める。

複雑に配置された電荷のつくる電場の場合にも、
重ね合わせの原理から電場からうける力は保存力となり、
電位は経路に関係なく一意に定まる。　
(注1)電位は電気力という保存力に関する位置エネルギーなので、
第2章　力学の「2.4 エネルギーと保存則(その1)」の議論は、
単位質量当たりの位置エネルギーを電位と読み替えれば、全て成立する。
すると、殆ど説明なしで電位はすませるが、
大変重要な概念なので重複をいとわず、本節では、ある程度詳しく述べる。
(注2)通常、基準点Ｏは無限遠の点が選ばれる。

　2点間の電圧

任意の２点間の電位の差を、
２点間の電位差(difference of electric potential)あるいは電圧(voltage)という。

なお電位については

• ウィキペディア（電位）

また保存力については、

• 力学(4) 運動量と力学的エネルギー保存則の位置エネルギーの項と
• ウィキペディア（電位）

を参照のこと。

電位・電圧の単位

電荷の単位をクーロン、仕事の単位をジュールとしたときの
電位や電圧の単位をボルト(記号Ｖ)という。
すなわち、　$V=J/C$　。

• ウィキペディア（ボルト）

電場と直交する曲線上では等電位

曲線のどの場所でも電場と直交する曲線Ｃを考える。
この上では電位は等しいことが次のようにして示せる。
曲線上の任意の点Ａから曲線上の他の点Ｂまで、
単位電荷を曲線にそってゆっくり移動させよう。
この時電荷に加えなければならない力は、
電荷が電場から受ける力で動かないようにするための力と、
静止する電荷を曲線Ｃに沿って無限にゆっくりと移動させる力
の和である。
仮定から電荷は常に、電場方向と直角に動くので、前者の力がする仕事は零である。
後者の力は無限に小さいので、
この力で、単位電荷を点Ａから点Ｂまで動かす時の仕事は無視できる。
したがって単位電荷を点Ａから点Ｂまで、
無限にゆっくり動かす力のなす仕事が零であることが示せた。

（注）これ以外に曲線Ｃ上をゆっくり動かすために
Ｃの接線方向に無限に小さな力を加える必要がある。
しかし、この力のなす仕事は無限に小さく無視できる。

点電荷のつくる電場の電位

電位の基準点として無限の彼方をとる。
Ａ点に置かれた＋ｑ[C]の電荷のつくる電場の電位は、Ａ点から距離$r_0[m]$の点Ｐで、
$\phi(r)=k\frac{q}{r_0}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (9.1)$　　
である。
これは単位の正電荷を無限遠点からＰ点まで、
クーロン力に抗した力を加え限りなくゆっくり動かす時の力のする仕事である。
単位の正電荷をＰ点から無限遠点まで動かすとき、電場が電荷に行う仕事に等しい。
(注)式（9.1）の導出；
電荷ｑの作る電場が、距離ｒにある単位電荷に与える力の大きさはクーロンの法則から
$\frac{kq}{r^2}$なので、単位の正電荷をＰ点から無限遠点まで動かすとき、電場が電荷に行う仕事は、
$\int_{r=r_0}^{\infty}\frac{kq}{r^2}=kq[-r^{-1}]_{r_0}^{\infty}=\frac{qk}{r_0}$

電位の重ね合わせの原理

電場の重ね合わせの原理から、
　 それぞれの電荷のつくる電位を加えればよいことが分かる。
すなわち、電荷$q_i$が、点Ｐに作る電位を$\phi_i(P)\quad (i=1,2,,,n)$と書くと、
これらの電荷が同時に存在するときの点Ｐの電位は　$\phi(P)=\sum_{i=1}^{n}\phi_i(P)$

　電気双極子　

電気双極子（electric dipole）とは、　
微小な距離だけ離れた、大きさの等しい正負一対の電荷のこと。　　
後述するように電気双極子は自然界によく現れるので、
双極子のつくる電位$\phi$を調べることは大切である。　
電荷をq,-qとし、-qの位置からqの位置へのベクトルを　$\vec d$　とする。
空間の原点を両電荷の中点に選ぶ。
位置ベクトル　$\vec r$　の点の電位は、重ね合わせの原理より、
$\phi(\vec r)\,=\,\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r_q}\,-\,\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r_{-q}}\,=\,\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0}(\frac{1}{r_q}-\frac{1}{r_{-q}})\hspace{150pt} (9-2)$
$\quad$ここで、　$r_q$　 は点電荷qと位置ベクトル$\vec r$ の点との距離、　
$\quad$$r_{-q}$　 は点電荷-qと位置ベクトル$\vec r$ の点との距離。
$\quad \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\triangleq k$
$\qquad$ 面積が$4 \pi$である単位球の表面にわたって積分するとき積分結果が簡潔になるので、
$\qquad$ 今後はkの代わりに使うことが多い。
電気双極子については次の説明も参考に。

• ウィキペディア（電気双極子）

　遠方に作る電位と双極子モーメント　

双極子の電荷間の距離　d　に比べて、ずっと離れた点 $\vec r$ の電位を簡略な式で近似しよう。
式(9.1)で $r_q$ は、点電荷 q と位置ベクトル$\vec r$ の点との距離なので、
$r_q=||\vec r -\frac{\vec d}{2}||=\sqrt{\sum_{i=1}^3 |r_i-d_i/2|^2}$、
同様に、$r_{-q}=||\vec r +\frac{\vec d}{2}||=\sqrt{\sum_{i=1}^3 |r_i+d_i/2|^2}$
$||\vec d|| \ll ||\vec r||$ の時、まず　$\frac{1}{r_q}$ を簡略化する。
$\frac{1}{r_q}=1/||\vec r -\frac{\vec d}{2}||= 1/||\vec r|| \times ||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-\frac{\vec d}{2||\vec r||}||$
$=1/||\vec r||\times ||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-\frac{||\vec d||}{2||\vec r||}\frac{\vec d}{||\vec d||}||$
$f(x)=1/{||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||}$ という関数を導入すると
$\frac{1}{r_q}=\frac{1}{||\vec r||}f(\frac{||\vec d||}{2||\vec r||})$
ここで $\frac{||\vec d||}{2||\vec r||}$ は微小なので、$f(\frac{||\vec d||}{2||\vec r||})$ は
$x=0$ での$y=f(x)$ の接線 $y=f(0)+f'(0)x$ の$x=\frac{||\vec d||}{2||\vec r||}$での値$y=f(0)+f'(0)\frac{||\vec d||}{2||\vec r||}$
で精度良く近似できる。そのため、
$\frac{1}{r_q} \simeq \frac{1}{||\vec r||}(f(0)+f'(0)\frac{||\vec d||}{2||\vec r||})\hspace{50pt} (9-3)$
ここで、
$f(0)=1 \hspace{150pt} (9-4)$
$f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(\frac{1}{||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||}-1)$
$=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(\frac{1-||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||}{||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||})$
$=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}(1-||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||)}{||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||}$
$=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(1-||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||)$
$=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(1-||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||^2)/(1+||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||)$
$=\lim_{x \to 0}\frac{1}{2x}(1-||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||^2)$ 、
上の式を変形する。
$||\vec{a}- \vec{b}||^2=||\vec{a}||^2+||\vec{b}||^2-2\vec{a} \cdot \vec{b}$
(ここで、$\vec{a} \cdot \vec{b}=\sum_{n=1}^{3}a_{n}b_{n}$） 、
実数αに対して$||\alpha \vec{a}||=\|\alpha \| ||\vec{a}||$
を利用して変形すると
$f'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{1}{2x}(-x^{2}+2x \frac{\vec{r}\cdot\vec{d}}{||r||\times||d||}) =\frac{\vec{r}\cdot\vec{d}}{||r||\times||d||} \hspace{100pt} (9-5)$
(9-3)式に、 (9-4),(9-5)式を代入して、
$\frac{1}{r_q} \simeq \frac{1}{||\vec r||}(1+\frac{\vec{r}\cdot\vec{d}}{2||r||^2}) \hspace{150pt} (9-6)$
同様に計算すると
$\frac{1}{r_{-q}} \simeq \frac{1}{||\vec r||}(1-\frac{\vec{r}\cdot\vec{d}}{2||r||^2})\hspace{150pt} (9-7)$
(9-2)式に、 (9-6),(9-7)式を代入すると、
$\phi(\vec r)=\frac{q \vec{r}\cdot\vec{d}}{4 \pi \varepsilon_0 ||r||^3} \hspace{150pt}(9-8)$
上の式で、
$\vec{p}=q \vec{d} \hspace{200pt}(9-9)$
と置き,一対の電荷-q、q　の作る双極子モーメントと呼ぶ。
これを用いると、双極子が離れた点$\vec{r}$に作る電位は、
　 $\phi(\vec r)=\frac{ \vec{r}\cdot\vec{p}}{4 \pi \varepsilon_0 ||\vec r||^3}\hspace{150pt} (9-10)$
　 この式から、位置　$\vec r$　に双極子の作る電位は、
双極子の向きによって、正にも負にも、零にもなることが分かる。
物質を構成している原子の向きは、通常の状態では、バラバラなので、
それらが位置　$\vec{r}$　に作る電位の和は、打ち消し合って限りなく零に近くなる。
これが物質を外部から見ると、電荷をもたないようにみえる理由である。

さらに、
$|\vec{r}\cdot\vec{p}|\leq \|\vec{r}\|\|\vec{p}\|$　なので、
電気双極子がつくる電位は、距離の増加により、急速に($\|\vec{r}\|^2$に反比例して)減少することが分かる。
一方、電荷の作る電位は、(9.19)式；$\phi(\vec r)=\frac{ q}{4 \pi \varepsilon_0r}$から、
距離の増加により　それに反比例して減少するので、減少の仕方がずっと緩やかである。

等電位面

電位の等しい点をつないで出来る面を等電位面という。
等電位面と電気力線は直交していることが示せる。
導体表面の電界は、導体表面に垂直である。
これらの理由を考えてみてください。

　電荷量ｑの電荷の位置エネルギー（ポテンシャル・エネルギー）

単位電荷を電場からうける力に抗して
　 位置Aから位置Bに（無限にゆっくりと）移動させるのに必要なエネルギーで、
位置Aからみた位置Bの電位$V(B,A)$を定義し,その性質を調べてきた。
電位$V(B,A)$は、位置Bにある単位電荷の位置Aからみた位置エネルギー（ポテンシャル・エネルギー）である。
この定義から、
位置Bにある電荷ｑの位置Aからみた位置エネルギーは、$V(B,A)q$であることが分かる。