物理/運動量と力学的エネルギー保存則

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2011年1月19日 (水) 09:31時点における版

物理 ＞ ５章　力学(4) 運動量保存則と力学的エネルギー法則

質点や質点の集まりの運動を調べるときに有用な各種の保存法則が、運動の法則から導かれます。導出の仕方が理解できると、力学への理解が深まります。下記の記事以外にも、導出法をインターネット検索して調べ、よく考えましょう。

運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse)

運動の第２法則の両辺を時間に関して積分すると、質点への力積（力を時間で積分したもの）は質点の運動量の変化に等しいことが分かります。

• ウィキブックス（高等学校理科 物理Ⅱ） の1.1.2 運動量と力積
  

上記の本は一つの質点の運動量の定義と力積と運動量の変化について説明していますが、ｎ個の質点を持つ質点系の運動量は、各質点の運動量の和で定義します。 この場合にも質点系への力積は質点系の運動量の変化に等しいことが、運動の第２法則から導けます。

• ウィキペディア（運動量）
• ウィキペディア（Newton's laws of motion） in English

運動量保存則(conservation of linear momentum )

質点（系）への外力が零ならば、力積は零なので、運動量と力積の関係から、運動量の変化はなく、保存されることが分かります。

• ウィキペディア（運動量保存の法則）

運動エネルギー(kinetic energy)

運動エネルギーを学ぶ前にエネルギーと仕事について理解しましょう。

エネルギーとは何か

• ウィキペディア（エネルギー）

仕事とは何か

• ウィキペディア（仕事）の力学での仕事の項

仕事の量の求め方

力が一定で物体が直線的にPからQに変位するときは前記の説明から力のなした仕事Wは、内積・を用いて、W=F・PQ　で表せることが分かる。内積については

• ウィキブックス（高等学校数学B ベクトル） の1.1.6～ 1.1.8を参照のこと。

力を受けた時の物体の運動は直線とは限らないが、運動の軌跡を細かく区切って眺めると、線分に近いので、今後物体の変位は、線分をつなぎ合わせたものと考える。すると各線分毎に仕事を計算しそれをたせば、全体の仕事量を求めることができる。

運動エネルギー

• ウィキペディア（運動エネルギー）
• ウィキペディア（Kinetic_energy） in English

この説明をよんで、何故(1/2)×m×v^2　が運動エネルギーと定義されたのかを考えて理解しましょう。

仕事エネルギー定理（work-energy theorem)

物体に力Fを作用してP点からQ点に動かした時の運動エネルギーの変化量1/2*m*V(Q)^2-1/2*m*V(P)^2は、その物体に加えられた仕事量W(=F・PQ)に等しいことを主張する定理です。運動の第２法則の両辺を、この物体の軌道PQにそって積分すると得られます。

• ウィキブックス（高等学校理科 物理Ⅰ運動とエネルギー） の運動エネルギーと位置エネルギー
• ウィキペディア（Kinetic_energy） in English

保存力と位置エネルギーおよび力学的エネルギー保存則

保存力と位置エネルギーあるいはポテンシャルエネルギー

物体をP点からQ点に動かす時、力の行う仕事が移動経路に関係なく２点の位置だけで決まる時、この力を保存力(conservative force ) という。この仕事の量を、Q点を基準としたP点でのこの物体の位置エネルギー（あるいはポテンシャルエネルギー　potential energy)という。

• ウィキペディア（位置エネルギー）
• ウィキペディア（Potential_energy） in English

重力が保存力であることを確かめてください。

力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則(kinetic energy and conservation of kinetic energy )

力学的エネルギーは

• ウィキペディア（力学的エネルギー）
• ウィキペディア（Kinetic_energy） in English

を見てください。
仕事エネルギー定理の仕事量W（＝F・PQ　　ここでPQは変位ベクトル）をきめる力Fが保存力Fcと外力Foの和からなるとき、
W=（Fc+Fo)・PQ=Fc・PQ +Fo・PQ　＝PのポテンシャルエネルギーU(P)　－U(Q)　＋　Fo・PQ　となる。
一方仕事エネルギー定理から、W=1/2*m*V(Q)^2-1/2*m*V(P)^2なので、この両式から、
（1/2*m*V(Q)^2　＋U(Q)）－（1/2*m*V(P)^2　＋U(P)）＝　　Fo・PQ　が得られる。
もし保存力以外の力Fo　が零ならば、1/2*m*V(Q)^2　＋U(Q)＝1/2*m*V(P)^2　＋U(P)（力学エネルギー保存則）が得られる。もっと知りたい方は次をどうぞ。

• ウィキペディア（力学的エネルギー保存の法則）
• ウィキペディア（Conservation_of_energy#Mechanics） in English

エネルギー保存則は物理学のなかで最も基本的な原理です。熱エネルギーも含めたもっと一般的なエネルギー保存則は、後の章で学びます。

保存則の応用

2質点の衝突

• ウィキブックス（高等学校理科 物理II 力と運動） の1.1.2 運動量と力積

力のつり合い

質点の力の釣り合い

質点に2つ以上の力が働いても、質点は釣り合って、静止したままであることがある。このとき、これらの力は釣り合っているという。質点に働く全ての力がF1、、、、Fｎで釣り合っているとき、質点は止まったままなので、運動の第２法則からF1＋、、、、＋Fｎ＝０であることが分かります。 詳しく知りたい方は 高等学校理科 物理I 運動とエネルギー(Wikibooks） の「2 運動の法則、2.1 力の合成、力のつりあい」をご覧ください。

剛体に働く力の釣り合い

力を加えても変形しない大きさのある物体を剛体と言います。剛体にいくつかの力が作用していても、釣り合って、静止したままであることがあります。このとき、これらの力は釣り合っているといいます。どんな時、力はつりあうのでしょうか。

てこの原理と力のモーメント

• てこ(wikipedia)

てこの原理は力学的エネルギー保存則から得られます。考えてみてください。

釣合の条件

剛体に働く全ての力のベクトル和が零で、さらに、ある点に関するそれらの力のモーメントのベクトル和も零（この時任意の点のまわりの力のモーメントの和が零となる）。この条件は、３つの運動法則と剛体が静止したまま（並進運動も回転運動もしない）という条件から得られますが、少し難しい数学が必要なので、この導出は大学で学びます。

力学に必要な物理量（時間、距離、速度、加速度、質量、力）の単位と単位変換

ウィキペディア（物理単位） wikibooks(High_School_Physics/Si_units) ,in English

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